高三数学 31导数的概念第三课时大纲人教版选修Word文档下载推荐.docx
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2.根据函数的可导性与连续性的关系,培养学生的逻辑推理能力和思辩能力.
3.由切线的斜率与瞬时速度的关系,加深学生对特殊与一般、运动与静止的理解,培养学生的直觉思维中的类比能力.
4.培养学生的总结、归纳、抽象与概括的能力,培养学生的分析问题和解决问题的能力,培养学生实际动手操作的能力.
教学重点
导数的定义、导函数的概念是本节课的教学重点内容,它是研究函数的基本性质的基础,求导数的方法也是重点内容.
教学难点
导数概念的理解,通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念,从导数的定义归纳出求导数的方法.关于函数y=f(x)在点x0处可导,与y=f(x)在x=x0处连续的辨析是难点.
教学方法
建构主义理论指导下的课堂教学——在教师的正确引导下,由学生已学过的有关知识,如函数的极限、瞬时速度、曲线的切线斜率等概念,让学生积极主动地建构出函数y=f(x)在x0处的导数的概念,由函数y=f(x)在x=x0处的导数建构出函数y=f(x)在开区间(a,b)上的导函数的定义.
教具准备
实物投影仪(或幻灯片、幻灯机).
教学过程
Ⅰ.课题导入
1.概念的引入
[师]同学们,前面我们已经学习了曲线在点P0(x0,y0)处的切线斜率及切线方程的求法.请同学们回忆一下,切线的斜率是怎样定义的?
[生1]在P0(x0,y0)附近,设Q点是曲线上的点,其坐标为Q(x0+Δx,y0+Δy),当Δx→0时,割线P0Q的斜率的极限,就是曲线在点P0处的切线的斜率,即
.
[师]运用函数的极限研究了物体运动规律如瞬时速度、瞬时加速度等等.那么瞬时速度是如何定义的呢?
[生2]如果物体的运动规律是s=s(t),那么物体在时刻t的瞬时速度v,就是物体在t到t+Δt这段时间内,当Δt→0时平均速度的极限,即.
[生3](突然站起)请问老师,物体的瞬时加速度是否可以用瞬时速度在Δt→0时的平均加速度的极限来定义呢?
[师]生3提问得好.我们广大同学就应该有这种精神,敢于质疑,勇于探索和创新.他问的问题仍然是研究物体运动规律的变化性.物体的运动规律(瞬时速度)v=v(t),那么物体在时刻t的瞬时加速度a(t),就是物体在t到t+Δt这段时间内,当Δt→0时平均加速度的极限,即.
(学生提出问题质疑老师,这一点在以往的常规教学中还是不常见到的,在新的形势下,教师应有为学生学习服务的意识,不单纯是讲授知识,而还应该传道解惑也.教师的工作方法、学识的渊博、热情的态度、人格的力量都能深深地影响学生的一辈子,可以让更多的学生有更好的发展,让所有的学生都有较好的发展,所以,我们课堂教学应鼓励学生大胆提问,找出问题)
[师]刚才两位同学所述都是正确的.切线的斜率和瞬时速度都是极限问题,这是共性问题,今天我们共同来学习新的内容(教师板书课题):
导数的概念(三).
Ⅱ.讲授新课
[师]我们知道,Δt是时间增量,Δs是位移增量,对于一般的函数y=f(x),Δx称为自变量在x0处的增量,Δy称为函数的增量.切线的斜率与瞬时速度都是以极限来定义的,而且在形式上也是类似的.
[板书]
切线的斜率,
瞬时速度.
s=s(t)
y=f(x)
Δt时间增量
Δx自变量x在x0处的增量
Δs位移增量
Δy函数在x0处的增量(函数的增量)
平均速度
函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率
瞬时速度
,即为f(x)在x0处的切线斜率
我们把函数y=f(x)在x=x0处的函数的平均变化率的极限,即叫做f(x)在x0处的导数.现请同学们概括并叙述导数的定义.
[生4]函数y=f(x),如果当Δx→0时,有极限,就说函数y=f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率),记作f′(x0)或y′|x=x0.
[师]如何用数学符号来表示呢?
[生5]f′(x0)=y′|x=x0=.
[师]大家认为这个定义中应注意到什么问题?
请同学们先讨论一下,然后再总结.
(教室内的气氛开始活跃了,同学们争先恐后地发言,发表自己的见解.只有在宽松和谐的氛围中学习,才能实现有意义的建构)
[生6]如果Δx→0时,要先有极限,才有f(x)在点x0处可导,进而才能得到f(x)在点x0处的导数.
[师]回答得很好!
同学们能否从导数的定义,概括出求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法和步骤?
[生7]求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是:
(1)求函数y=f(x)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率;
(3)取极限,得函数f′(x0)=.
[师]同学们,刚才同学7总结得是否全面呢?
[生](众生)总结得很全面.
[师]我们根据导数的定义和求导数的步骤,来研究上节课中求自由落体在t=3时的瞬时速度,其中.求它在t=3时的瞬时速度实质就是求在时刻t=3处的导数.请同学们来说说看.
[生8]第一步:
先写出位移函数的增量Δs=g(3+Δt)2-g·
32=g[(Δt)2+6·
Δt].
第二步:
求出t由3到3+Δt内的位移的平均变化率.
第三步:
对取极限,即
=3g=3×
9.8=29.4(m/s).
故自由落体在t=3时的瞬时速度就是v=29.4m/s.
[师]从这个题目中我们可以得出什么样的结论呢?
[生]瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数,即v=s′|t=t0.
[师]我们可以根据开区间上连续函数的定义,类似地定义函数在开区间上可导.
[生]如果函数f(x)在开区间(a,b)内任一点x0处可导,即f′(x0)=y′|x=x0在x0处是存在的,由于x0是开区间(a,b)上的任意一点,当x0取遍(a,b)内的所有值时,这个极限都是存在的,就称函数f(x)在开区间(a,b)内可导.
[师]你的理解和解释是很好的.一般地,如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导,那么对于(a,b)内每一个确定的点x0,对应着一个确定的导数f′(x0),根据函数的定义,在(a,b)内构成一个新的函数,把这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数,前提是f(x)在(a,b)内可导.它的数学符号如何表示呢?
[生9]f′(x)=y′=,从这个定义中我们学到了由特殊到一般的科学思维方法,体现了动与静的辩证关系.
[师]当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)等于函数f(x)在开区间(a,b)内的导函数f′(x)在点x0处的函数值.f′(x0)可以直接根据f(x)在点x0处的导数得到,也可以先求f(x)在开区间(a,b)内的导数f′(x),然后再将x=x0代入f′(x)中得到.
(稍停顿一会,让学生体会、反思)
[师]你们能举一个例子吗?
[生10]刚才研究的自由落体运动在t=3时的瞬时速度就可以用导函数的方法来解.
∵,∴任意时刻t的瞬时速度为
∴当t=3时,v(3)=s′(3)=s′|t=3=g·
3=9.8×
3=29.4(m/s).
v(t)=g·
t叫做的导函数.
[师]举的例子很恰当.我们从f(x)在x0处可导的定义可以知道,f(x)在x0处有定义,那么我们来看一下f(x)在x0处是否有极限?
是否连续呢?
[生11]如果函数y=f(x)在x0处可导,那么f(x)在x0处一定有极限,且连续.
[众生]这是需要证明的.如果能证明出来才能说明你的猜想是正确的.
[生11]用定义法证明:
已知f′(x0)=,我们要证的目标是,
即.
令x=x0+Δx,当Δx→0时,x→x0.
∴
=f′(x0)·
0+f(x0)=f(x0).
∴.
∴f(x)在x0处一定有极限,且连续.
[师]妙,妙极了!
他不仅给出了猜想,而且证明了自己的猜想.这种先猜后证是众多科学家、发明家常用的方法.生11在证明过程中灵活运用代数式的变形,由f(x0+Δx)经过添项去项配凑出导数定义的基本结构形式.
[师]刚才的命题逆命题是否成立呢?
[生12]如果函数f(x)在x=x0处连续,那么函数y=f(x)在x0处可导.例如函数y=x2,y=x3等等.
[师]你的举例能代表证明吗?
[生13]他的结论是错误的.例如,函数y=f(x)=|x|在x0处连续,但在x=0处不可导.
因为在x0处有
,
∴y=|x|在x=0处连续.
但
当Δx>0时,;
当Δx<0时,.
∴,即函数y=f(x)=|x|在x=0处不可导,也就是其导数不存在.这就说明:
f(x)在x0处连续,但未必可导.
[师]回答得完全正确,我们要学会辩证地看问题.你们能得到什么样的结论呢?
[生14]如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点x0处连续,反之未必成立.也就是说:
函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件.
2.课本例题
[例1]求函数y=x2在点x=1处的导数
[师]求函数在某一点处的导数的方法和步骤是什么呢?
[生15]①求函数增量Δy;
②求函数的变化率;
③求极限.
[生16]解:
Δy=(1+Δx)2-12
=2·
Δx+(Δx)2,
∴=2+0=2.
∴y′|x=1=2.
(学生在黑板上板演,教师在下面巡视指导,与学生共同研究,发现问题及时解决)
[师]刚才我在下面发现有的同学求时漏掉了(Δx)2,但他的结果仍然是2.若把题目变为求y=x2的导数y′,又如何求呢?
[生17]Δy=(x+Δx)2-x2=2x·
∴
[例2]已知,求y′.
[师]求一个函数在区间上的导数的方法是什么?
[生18]与求函数在一点处的导数的方法和步骤是一样的,也是三个步骤,只是把x0换成x即可.(然后该生走向黑板,边写边讲)
解:
[师]回答得很好,求解也是完全正确的.从这道题可以看出求函数的导数也主要是求极限的值,所以极限是求函数的导数的基础,求极限的一些基本方法和思想要熟记于心.同时本题运用了分子有理化的变化技巧.若将本题变为求函数的导数y′,又如何求解呢?
[生19](自然而大方地走向讲台)求解的导数的思想方法和步骤与前面生18的完全相同,具体的是:
[师]生19板演得非常正确,下面的同学在运算中存在不少的问题,例如对不知道如何处理,而生19给出分子有理化的方法,这一点我们在学习函数的极限时也讲过.所以我们应该积累一点代数的变形技巧才行.
3.精选例题
[例1]已知y=x3-2x+1,求y′,y′|x=2.(投影放出)
[生20]解:
Δy=(x+Δx)3-2(x+Δx)+1-(x3-2x+1)
=x3+3x2·
Δx+3x·
(Δx)2+(Δx)3-2x-2Δx+1-x3+2x-1
=(Δx)3+3x·
(Δx)2+(3x2-2)Δx.
∴=(Δx)2+3x·
Δx+3x2-2.
∴[(Δx)2+3x·
Δx+3x2-2]=3x2-2.
又
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