电子科技大学自主招生数学试题及答案Word文档下载推荐.doc

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三动点D,E,M满足=t,=t,=t,t∈[0,1].（Ⅰ）求动直线DE斜率的变化范围;

（Ⅱ）求动点M的轨迹方程.

y

x

O

M

D

A

B

C

－1

－2

1

2

E

6.

已知函数f（x）=kx3－3x2+1（k≥0）.

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间;

（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0,求k的取值范围.

【参考答案】

1解:

（Ⅰ）记"

甲投进"

为事件A1,"

乙投进"

为事件A2,"

丙投进"

为事件A3,

则P（A1）=,P（A2）=,P（A3）=,

∴P（A1A2A3）=P（A1）·

P（A2）·

P（A3）=×

×

=

∴3人都投进的概率为

（Ⅱ）设“3人中恰有2人投进"

为事件B

P（B）=P（A2A3）+P（A1A3）+P（A1A2）

=P（）·

P（A2）·

P（A3）+P（A1）·

P（）·

P（）

=（1－）×

+×

（1－）×

（1－）=

∴3人中恰有2人投进的概率为

2.解:

（Ⅰ）f（x）=sin（2x－）+1－cos2（x－）

=2[sin2（x－）－cos2（x－）]+1

=2sin[2（x－）－]+1

=2sin（2x－）+1

∴T==π

（Ⅱ）当f（x）取最大值时,sin（2x－）=1,有2x－=2kπ+

即x=kπ+（k∈Z）∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+,（k∈Z）}.

A1

B1

α

β

l

第2题解法一图

F

第2题解法二图

3.解法一:

（Ⅰ）如图,连接A1B,AB1,∵α⊥β,α∩β=l,AA1⊥l,BB1⊥l,

∴AA1⊥β,BB1⊥α.则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.

Rt△BB1A中,BB1=,AB=2,∴sin∠BAB1==.∴∠BAB1=45°

.

Rt△AA1B中,AA1=1,AB=2,sin∠ABA1==,∴∠ABA1=30°

故AB与平面α,β所成的角分别是45°

30°

（Ⅱ）∵BB1⊥α,∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB,∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.

在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°

∴AB1=B1B=.∴Rt△AA1B中,A1B===.由AA1·

A1B=A1F·

AB得A1F===,

∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE==,∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin.

解法二:

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如图,建立坐标系,则A1（0,0,0）,A（0,0,1）,B1（0,1,0）,B（,1,0）.在AB上取一点F（x,y,z）,则存在t∈R,使得=t,即（x,y,z－1）=t（,1,－1）,∴点F的坐标为（t,t,1－t）.要使⊥,须·

=0,即（t,t,1－t）·

（,1,－1）=0,2t+t－（1－t）=0,解得t=,∴点F的坐标为（,－,）,∴=（,,）.设E为AB1的中点,则点E的坐标为（0,,）.∴=（,－,）.

又·

=（,－,）·

（,1,－1）=－－=0,∴⊥,∴∠A1FE为所求二面角的平面角.

又cos∠A1FE=====,

∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos.

4.解:

∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.

又10Sn－1=an－12+5an－1+6（n≥2）,②

由①－②得10an=（an2－an－12）+6（an－an－1）,即（an+an－1）（an－an－1－5）=0

∵an+an－1>

0,∴an－an－1=5（n≥2）.

当a1=3时,a3=13,a15=73.a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;

当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n－3.

5.解法一:

如图,（Ⅰ）设D（x0,y0）,E（xE,yE）,M（x,y）.由=t,=t,

知（xD－2,yD－1）=t（－2,－2）.∴同理.

∴kDE===1－2t.∴t∈[0,1],∴kDE∈[－1,1].

（Ⅱ）∵=t∴（x+2t－2,y+2t－1）=t（－2t+2t－2,2t－1+2t－1）=t（－2,4t－2）=（－2t,4t2－2t）.∴,∴y=,即x2=4y.∵t∈[0,1],x=2（1－2t）∈[－2,2].

即所求轨迹方程为:

x2=4y,x∈[－2,2]

（Ⅰ）同上.

第5题解法图

（Ⅱ）如图,=+=+t=+t（－）=（1－t）+t,

=+=+t=+t（－）=（1－t）+t,

=+=+t=+t（－）=（1－t）+t

=（1－t2）+2（1－t）t+t2.

设M点的坐标为（x,y）,由=（2,1）,=（0,－1）,=（－2,1）得

消去t得x2=4y,∵t∈[0,1],x∈[－2,2].

故所求轨迹方程为:

6.解:

（I）当k=0时,f（x）=－3x2+1∴f（x）的单调增区间为（－∞,0],单调减区间[0,+∞）.

当k>

0时,f'

（x）=3kx2－6x=3kx（x－）

∴f（x）的单调增区间为（－∞,0],[,+∞）,单调减区间为[0,].

（II）当k=0时,函数f（x）不存在最小值.

当k>

0时,依题意f（）=－+1>

0,

即k2>

4,由条件k>

0,所以k的取值范围为（2,+∞）