第26讲赫兹接触问题.docx
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第26讲赫兹接触问题
§10.5赫兹接触问题
学习思路:
1881年,赫兹(hertz,H.R)首先研究了弹性球体的接触问题。
本节以弹性球体的接触介绍接触问题的基本概念。
由于球体的接触区域对于弹性球体是局部,因此,弹性球体的接触问题可以以半无限平面分布载荷解为基础,分析接触区域的局部变形。
这里的问题是球体接触压力是未知函数,因此必须首先根据球体的变形确定未知接触压力。
赫兹认为接触区域(半径为a的圆)的压力与接触区域半球面的纵坐标成正比。
根据这一假设和球体变形分析,可以确定接触压力分布函数和接触区域。
进一步的讨论可以确定球体的接触应力和变形。
学习要点:
1.弹性球体变形分析;
2.球体接触压力分析。
设弹性球体的半径分别为A1和A2,变形前两球体在O点接触(相切)。
两个球体在其中心均受集中力F的作用,变形后球体在半径为a的圆形区域接触。
接触区域内任意一点与中心的距离为ρ,并且球体在ρ的沉陷分别为ζ1,ζ2,则
其中 。
由于接触区域对于弹性球体是局部,因此ρ远小球体的半径A1和A2,因此可以采用半无限平面解答分析接触局部变形。
对于两球体距离接触面足够远的任意两点A1和A2,由于相互压缩而相互接近的距离为δ,相对位移分别为w1和w2,则
如果将球体接触面看作弹性半无限体作用圆形区域分布载荷问题,A1和A2为球体接触面上的点,则位移为
其中,E1,ν1和E2,ν2分别为球体R1,R2的弹性模量和泊松比。
则
应该注意的是,这里接触压力q是未知函数,因此,首先必须确定圆形区域的接触分布载荷。
赫兹认为接触区域的接触压力与接触区域半球面的纵坐标成正比。
根据这一假设和球体变形分析,可以确定接触压力分布函数和接触区域,有
其中qmax为接触区域中心的压力, ρsinψ为接触区域内部任意一点与接触区域中心的距离。
如图所示,
因为s长度mn为。
s长度mn中点的压力为q(ρ),所以
因此,,回代可得
因此 。
圆形接触区域的半径为 。
最大接触压力为 。
如果E1=E2=E,ν1=ν2=0.3,则。
圆形接触区域的半径为 。
球体接触为 。
根据上述分析,也可以进一步求解球体的接触应力分布。
§10.6弹性力学热应力问题
学习思路:
弹性体由于环境温度的变化而导致膨胀和收缩,并且伴随产生应力,这种由于温度改变出现的应力称为温度应力,或者热应力。
对于某些在温度变化环境下工作的工程结构,热应力是不容忽视的。
本节将通过简例扼要说明热应力的弹性力学分析方法。
对于热应力问题,平衡微分方程和几何方程是相同的,不同的是物理方程。
通过受热厚壁管道和坝体热应力分析,介绍热应力问题分析和求解的基本方法。
学习要点:
1.热应力的弹性力学分析方法;
2.受热厚壁管道;
3.热弹性势函数和管道热应力;
4.楔形体坝体;
5.坝体热应力。
对于各向同性弹性体,在均匀温度下受热将发生膨胀,如果变形前的三个坐标方向尺寸相同,均为l,变形后各个方向的伸长均为αl,α称为线膨胀系数。
如果温度变化为T,则各个坐标方向的线应变为
如果弹性体所处的环境温度是随着时间和空间变化的,称为温度场。
在直角坐标系,温度场是时间和坐标的函数,有T=T(x,y,z,t)。
如果温度场不随时间变化(),称为定常温度场,即热源强度W=0。
否则均为非定常温度场。
温度场是一种数量场。
热量的传递引起温度的变化,也就是温度梯度的变化。
如果单位时间、单位面积上传递的热量定义为热流密度,显然热流密度与温度梯度成正比,方向相反。
这一规律称为傅立叶定律。
以下给出平面热应力问题的基本方程。
对于热应力问题,平衡微分方程和几何方程是相同的,不同的是物理方程。
平面应力问题,本构方程为
平面应变问题,本构关系为
下面给出受热管道和坝体的热应力分析结果。
对于受热厚壁管道,设管道的内径为a,外径为b。
管道内温度增量为Ta,管道外温度增量为0,管道内无热源时管道内热应力为0。
由于管道为定常温度场,根据热传导方程可以得到
作为轴对称温度场,有。
积分可得。
根据边界条件。
可以得到。
则
。
对于轴对称问题,有 。
平衡微分方程为 。
几何方程 。
本构方程 。
将上述应力分量代入平衡微分方程,有 。
引入热弹性势函数Φ(ρ),使得。
注意到,将Φ(ρ)代入平衡微分方程,可得
求解可得 。
其中 。
令 。
则
注意到上述应力分量在边界ρ=a和ρ=b分别等于常数q1和q2,这与命题边界条件不符。
对这一问题,可以借助平面轴对称问题的解,叠加可以得到管道热应力
对于顶角为2β的楔形体坝体,坝体内部的热应力是一个重要的工程实际问题。
这个问题比较复杂,引起温度变化的原因也是多方面的。
这里仅讨论楔形体坝体中心线的温度变化为T0,坝体两侧面温度变化为零的情况。
设坝体内部的温度变化为
坝体问题属于平面应变问题,但是为了使得问题简化,先按照平面应力问题分析。
对于弹性力学平面应力问题的位移解法,热弹性势函数Φ满足
即 。
取热弹性势函数,代入上式,可得
所以 。
回代可得 。
根据上述热弹性势函数,可以得到应力分量的特解
其中 。
上述应力分量特解在边界的值为
为了消除与原命题不符的上述应力场,类似地叠加一个相反的应力场。
为此考虑应力函数
因为Φ为双调和函数,所以
根据平面问题的极坐标解,可以求解应力场,叠加可以得到楔形体坝体的热应力计算公式
根据上述应力表达式,最大拉应力在坝体边界,有。
§10.7弹性波初等理论
学习思路:
变形物体受突加载荷作用后,将产生变形。
这种变形和与之伴随而生的应力并不能立即传递到物体的其它部分。
在开始时刻,物体的变形仅仅在加载区域的临近区域产生,而这个邻域以外的部分则仍处于未扰动状态。
其后,物体的变形和应力便以波的形式向远处传播。
由于载荷作用时间与波的传播过程相比要短的多,因此,物体运动方式主要表现为波的传播。
根据介质的物理性质,边界条件和载荷的作用方式,波的传播过程将呈现各种不同的特性。
本节主要介绍弹性波的基本理论,主要介绍概念为:
1.讨论弹性波和波动方程。
这个问题通过半无限长弹性杆件说明,因此不存在波的反射问题的;
2.根据波动方程分析质点的运动速度与瞬时应力的关系;
3.讨论弹性波的相向运动。
由于有限长杆件的弹性波问题必然存在波的反射;
4.介绍部分常见弹性应力波。
弹性波问题是一个相当复杂的问题。
根据扰动源、介质性质和物体形态的不同,将使得问题出现各种复杂,但是有趣的现象。
此外还有其它形式传播的弹性波,非弹性波。
这些弹性波问题对应一定的工程技术应用问题。
本节介绍的仅仅是弹性波理论的初等理论。
学习要点:
1.弹性应力波及波动方程;
2.质点的运动速度与瞬时应力;
3.应力波的相向运动;
4.膨胀波与畸变波。
首先以半无限长弹性细杆为例研究弹性应力波在杆内向远处传播的规律。
设材料的弹性模量为E,密度为ρ。
设杆件所受载荷比较小,使得杆端应力σ≤σsd,σsd为材料的动屈服极限。
同时设载荷为压力,则杆件传播的是弹性压缩波。
因此设压缩应力为正,则运动方程(波动方程)为
其中是一个与应力大小无关的常数,为杆件中弹性纵波的波速。
对于金属材料而言,其数量级为每秒几千米(弹性横波的波速一般是纵波的一半)。
一般材料的C0值可以查表得到。
应该指出,波的传播速度u和在波传播中材料质点的运动速度v是两个不同的物理量,不能相互混淆。
材料的质点受到扰动后,只能在平衡位置附近运动,其运动速度称为质点的速度v。
而质点将所受到的干扰相继传播到相邻质点的速度,称为波的传播速度u。
对于波动方程这个二阶微分方程可以改写作与之等价的一阶偏微分方程组,如果令,则,所以。
波动方程可以写作 。
上述方程写作矩阵形式,有
即 。
其中 。
进一步分析可以看到,质点的运动速度与瞬时应力σ成正比,它比较波速要小的多,并且可以根据波动方程直接求解得到。
实际上,对于现在讨论的半无限长弹性细杆在端部受动力作用,而且没有反向波,则波动方程的解可以简化为
因此,可以得到
上式根据本构方程和几何方程得到的应力σ是拉伸为正,而弹性波问题中规定压应力为正,所以应力相差一个符号,考虑这一因素,比较σ和v的表达式,可以得到
或者σ=ρC0v=Zs。
上述分析中规定压应力为正,常数Zs=ρC0。
上述公式表明:
1.质点的运动速度v与瞬时应力σ成正比,比例常数Zs=ρC0称为声阻抗率,其单位为Pa·s/m。
2.如果杆件端部受到压力,则波的传播方向u与质点的运动速度v方向和应力方向σ一致。
反之,如果杆件端部受到拉力作用,则波的传播方向与质点的运动v速度方向和应力σ方向相反。
3.可以解释或者推导为:
在t时刻,假设杆件端部的应力是不变的,因而杆件的受压缩长度为,在x>的杆件内,没有受到扰动。
在扰动段内,。
因此,杆件端部的总位移为。
在这个时间内,杆件端部的位移同时应该为vt,令二者相等,则可以得到质点的运动速度v与瞬时应力σ的关系。
对于有限长杆件,干扰作用的弹性应力波将在杆件端部产生反射,因此需要考虑两个相向运动的应力波的作用。
假如两个相向运动的应力波的应力分别为σ1和σ2,符号相同。
由于弹性波的控制方程是线性的,所以当两个波相遇时,其重叠部分的应力和速度可以使用叠加法计算。
但是应该注意,这里是代数值叠加,应该注意符号。
对于相同符号的应力波相遇之后,在波形重合部分的应力为两应力波应力之和,符号不变,而速度则为二者之差,符号与二者中绝对值最大的相同。
两弹性波分离后,则各自按照原来的波形传播。
如果两个相向运动的应力波应力符号相反,则两波相遇之后,其波形重合部分的应力为两应力波应力之差,符号与二者中绝对值最大的相同,而速度则为二者之和。
两弹性波分离后,仍然各自按照原来的波形传播。
显然,如果两个应力值相等,波的长度相同,但应力符号相同的波相遇之后,应力加倍,而质点速度相
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