大物课后习题答案.docx
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大物课后习题答案
1-3一质点在平面上运动,运动方程为
=3+5,=2+3-4.
式中以s计,,以m计.
(1)以时间为变量,写出质点位置矢量的表示式;
(2)求出=1s时刻和=2s时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移;(3)计算=0s时刻到=4s时刻内的平均速度;(4)求出质点速度矢量表示式,计算=4s时质点的速度;(5)计算=0s到=4s内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算=4s时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式).
解:
(1)
(4)
则
(6)
这说明该点只有方向的加速度,且为恒量。
1-4在离水面高h米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S处,如题1-4图所示.当人以(m·)的速率收绳时,试求船运动的速度和加速度的大小.
图1-4
解:
设人到船之间绳的长度为,此时绳与水面成角,由图可知
将上式对时间求导,得
题1-4图
根据速度的定义,并注意到,是随减少的,
∴
即
或
将再对求导,即得船的加速度
1-6已知一质点作直线运动,其加速度为=4+3,开始运动时,=5m,=0,求该质点在=10s时的速度和位置.
解:
∵
分离变量,得
积分,得
由题知,,,∴
故
又因为
分离变量,
积分得
由题知,,∴
故
所以时
1-8质点沿半径为的圆周按=的规律运动,式中为质点离圆周上某点的弧长,,都是常量,求:
(1)时刻质点的加速度;
(2)为何值时,加速度在数值上等于.
解:
(1)
则
加速度与半径的夹角为
(2)由题意应有
即
∴当时,
1-10以初速度=20抛出一小球,抛出方向与水平面成幔_60°的夹角,
求:
(1)球轨道最高点的曲率半径;
(2)落地处的曲率半径.
(提示:
利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解:
设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示.
题1-10图
(1)在最高点,
又∵
∴
(2)在落地点,
而
∴2-3
(1)
于是质点在2s时的速度
(2)
2-4
(1)∵
分离变量,得
即
∴
(2)
(3)质点停止运动时速度为零,即t→∞,
故有
(4)当t=时,其速度为
即速度减至v0的.
2-7由题知,小球落地时间为0.5s.因小球为平抛运动,故小球落地的瞬时向下的速度大小为v1=gt=0.5g,小球上跳速度的大小亦为v2=0.5g.设向上为y轴正向,则动量的增量
Δp=mv2-mv1方向竖直向上,
大小|Δp|=mv2-(-mv1)=mg
碰撞过程中动量不守恒.这是因为在碰撞过程中,小球受到地面给予的冲力作用.另外,碰撞前初动量方向斜向下,碰后末动量方向斜向上,这也说明动量不守恒.
2-12
(1)由题知,F合为恒力,
∴A合=F·r=(7i-6j)·(-3i+4j+16k)
=-21-24=-45J
(2)
(3)由动能定理,ΔEk=A=-45J
2-15弹簧A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时,有
题2-15图
FA=FB=Mg
又FA=k1Δx1
FB=k2Δx2
所以静止时两弹簧伸长量之比为
弹性势能之比为
2-20两小球碰撞过程中,机械能守恒,有
即①
3-7观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系和中,甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为4s,而乙测得这两个事件的时间间隔为5s.求:
(1)相对于的运动速度.
(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离.
解:
甲测得,乙测得,坐标差为′
(1)∴
解出
(2)
∴
负号表示.
3-8一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行.如果宇航员希望把这路程缩短为3光年,则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?
解:
∴
3-11根据天文观测和推算,宇宙正在膨胀,太空中的天体都远离我们而去.假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为0.50s,且这颗星正沿观察方向以速度0.8c离我们而去.问这颗星的固有周期为多少?
解:
以脉冲星为系,,固有周期.地球为系,则有运动时,这里不是地球上某点观测到的周期,而是以地球为参考系的两异地钟读数之差.还要考虑因飞行远离信号的传递时间,
∴′
则
3-16静止在S系中的观测者测得一光子沿与轴成角的方向飞行.另一观测者静止于S′系,S′系的轴与轴一致,并以0.6c的速度沿方向运动.试问S′系中的观测者观测到的光子运动方向如何?
解:
系中光子运动速度的分量为
由速度变换公式,光子在系中的速度分量为
光子运动方向与轴的夹角满足
在第二象限为
在系中,光子的运动速度为
正是光速不变.
3-17
(1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c,须对它作多少功?
(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c,又须对它作多少功?
解:
(1)对电子作的功,等于电子动能的增量,得
J=
(2)
)
4-2劲度系数为和的两根弹簧,与质量为的小球按题4-2图所示的两种方式连接,试证明它们的振动均为谐振动,并分别求出它们的振动周期.
题4-2图
解:
(1)图(a)中为串联弹簧,对于轻弹簧在任一时刻应有,设串联弹簧的等效倔强系数为等效位移为,则有
又有
所以串联弹簧的等效倔强系数为
即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为的弹簧振子系统,故小球作谐振动.其振动周期为
(2)图(b)中可等效为并联弹簧,同上理,应有,即,设并联弹簧的倔强系数为,则有
故
同上理,其振动周期为
4-5一个沿轴作简谐振动的弹簧振子,振幅为,周期为,其振动方程用余弦函数表示.如果时质点的状态分别是:
(1);
(2)过平衡位置向正向运动;
(3)过处向负向运动;
(4)过处向正向运动.
试求出相应的初位相,并写出振动方程.
解:
因为
将以上初值条件代入上式,使两式同时成立之值即为该条件下的初位相.故有
4-7有一轻弹簧,下面悬挂质量为的物体时,伸长为.用这个弹簧和一个质量为的小球构成弹簧振子,将小球由平衡位置向下拉开后,给予向上的初速度,求振动周期和振动表达式.
解:
由题知
而时,(设向上为正)
又
∴
4-8图为两个谐振动的曲线,试分别写出其谐振动方程.
题4-8图
解:
由题4-8图(a),∵时,
即
故
由题4-8图(b)∵时,
时,
又
∴
故
4-12试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅:
(1)
(2)
解:
(1)∵
∴合振幅
(2)∵
∴合振幅
4-13一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,振动方程为
试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相,并写出谐振方程。
解:
∵
∴
∴
其振动方程为
(作图法略)
5-7一平面简谐波沿轴负向传播,波长=1.0m,原点处质点的振动频率为=2.0Hz,振幅=0.1m,且在=0时恰好通过平衡位置向轴负向运动,求此平面波的波动方程.
解:
由题知时原点处质点的振动状态为,故知原点的振动初相为,取波动方程为则有
5-8已知波源在原点的一列平面简谐波,波动方程为=cos(),其中,,为正值恒量.求:
(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长;
(2)写出传播方向上距离波源为处一点的振动方程;
(3)任一时刻,在波的传播方向上相距为的两点的位相差.
解:
(1)已知平面简谐波的波动方程
()
将上式与波动方程的标准形式
比较,可知:
波振幅为,频率,
波长,波速,
波动周期.
(2)将代入波动方程即可得到该点的振动方程
(3)因任一时刻同一波线上两点之间的位相差为
将,及代入上式,即得
.
5-14如题5-14图所示,有一平面简谐波在空间传播,已知P点的振动方程为=cos().
(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程;
(2)写出距点距离为的点的振动方程.
解:
(1)如题5-14图(a),则波动方程为
如图(b),则波动方程为
题5-14图
(2)如题5-14图(a),则点的振动方程为
如题5-14图(b),则点的振动方程为
5-24汽车驶过车站时,车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz变到了1000Hz,设空气中声速为330m·s-1,求汽车的速率.
解:
设汽车的速度为,汽车在驶近车站时,车站收到的频率为
汽车驶离车站时,车站收到的频率为
联立以上两式,得
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