习题题三求解 的迭代法Word格式文档下载.docx
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迭代法发散
特征方程可用
原因是,
故。
即
(2)迭代法
迭代法收敛
更方便地
2、
特征值,故迭代法收敛。
取
迭代到此为止
能解释这种规律吗?
因(3重根),故存在非奇异矩阵使得
故
这是因为迭代收敛,故必为常数,此为问题的解。
一般地,,则,即迭代法第步为收敛!
(本例迭代3步)
特征值,于是
迭代发散。
迭代法至少有一个零特征根。
3、
(1)用迭代法和迭代法收敛;
(2)用迭代法到为止,取;
(3)用迭代法,取同
(2)一样的终止准则与初值;
(1)为对角占优矩阵,故迭代法和迭代法收敛;
(2)迭代格式
,取
迭代结果为
1
0.6000
2.2727
-1.1000
1.875
2
1.0473
1.7159
-0.8052
0.8852
0.9898
3
0.9326
2.0860
-1.1214
1.1309
0.3701
4
…
4、是否可约?
如果是,请求出置换矩阵。
欲使,须找出左下角的零子块。
已知中的零元素在
把的第2行与第3行对换,
第2列与第3列对换,即可实现
得
,故是可约的。
6、H为n阶实对称阵,A为n阶实对称正定阵,研究迭代格式(*)如果正定,证明:
迭代格式(*)从任一初始向量均收敛.
证明:
如欲证(*)收敛,只需证明
设H的任一特征向量为,y为对应特征向量,即.
又正定,故对于y必有
另一方面由的正定性知
解,从而.
这样就证明了,从而迭代必收敛
7、矩阵A对称正定,,证明:
若2D-A正定,解Jacobi迭代求解Ax=b必收敛.
设求解Ax=b的Jacobi迭代阵,特征值为,相应特征向量为y,即
两边乘D:
.
两边再加上,即
故
于是(*)
由于A正定,故.从而D也正定;
又2D-A正定,故(*)右端为正..
这样
则
8、设矩阵A对称正定,证明迭代对任意初始向量都收敛到的解.
改写迭代式为显式
因A对称正定,,故必非奇异,有逆,故
迭代阵
设B的特征值为,对应特征向量为u,故,从而有
为了求,在上式两边与u做内积:
因A正定,,故
于是,即.
所以该迭代收敛,且一定收敛于方程的解.
9、设为对称正定矩阵,对角元素为1.构作的高斯-塞德尔迭代(SG-S迭代)法如下:
分解
证明该迭代收敛.
把SG-S迭代写成不动点迭代的标准形式
把
(1)改写为
再把(3)代入
(2):
欲证SG-S迭代收敛,须证明.
L为严格下三角矩阵
又
也即
于是
在B的左右两端各乘和,得,即,
注意到是正定对称矩阵,故与B的特征值皆为实数,相应特征向量也u也为实数,故
B的特征向量u可写为:
把B的表达式代入:
两边做关于u的内积:
左边:
右边:
所以迭代收敛.
10、设矩阵A非奇异,试证用Gauss-Seidel迭代求解必收敛。
设,因为A非奇异,故
即正定
正定阵为系数阵的线性方程组,用G-S迭代必收敛
11、设A为正交阵,B=2I-A,证明:
线性方程组用G-S迭代必收敛.
[分析]如果证明B非奇异,即正定,则G-S迭代收敛.
而证明B非奇异的方法之一,是证明B的特征值均非零.
设为A的特征值,对应特征向量为u.即:
两边与做内积:
如果能直接的A的特征值为,则更好.
B=2I-A,B的特征值不为零,从而B非奇异,从而正定.
于是G-S迭代收敛.
12、设求解Ax=b的迭代法收敛,试求证:
对,迭代法也收敛
记.
记B的特征值为,G的特征值为
是1与的凸组合
当时,
于是
(2)收敛.
13、设矩阵A对称正定,.证明:
如2D-A对称正定,则求解Ax=b的Jacobi迭代必收敛.
设Jacobi迭代阵的特征值为,对应特征向量为,即:
两边加上,得:
两边与做内积,
因为对称正定,恒正,A正定,故D也正定,从而也恒定,因此
又从(*)可得:
由(+)和(++)得,即,从而Jacobi迭代收敛.
14.给定方程组,(*)。
设非奇异对角矩阵,则对,(+),使用Jacobi迭代与G-S迭代的收敛性与(*)相同。
故
因此,结论成立。
15.设A为n阶对称正定阵,证明:
当参数满足时,下列迭代格式收敛:
k=0,1,2,……
设A的特征值为,则迭代阵的特征值
16.证明:
对任何二阶线性方程组,Jacobi迭代与G-S迭代同时收敛或发散。
因此,Jacobi迭代收敛的充要条件为<
另一方面:
;
;
<
可见:
G-S迭代收敛的充要条件为<
这样,两种迭代收敛的充要条件相同。
17.设为对称正定阵。
、分别为其最大与最小特征值。
给定跌带格式
,k=0,1……n
(1)求的范围,使迭代收敛
(2)求最佳,使迭代收敛最快
(1)方法一
使迭代收敛的充要条件为:
迭代矩阵的特征值为,i=1,2……n
欲使,对所有的成立,
应有:
方法二
本迭代格式为Richardson迭代:
k=0,1,……
选择合适的可加快迭代收敛。
对于一般的A,分析比较复杂。
(P147)。
现在讨论特殊情况,设A为对称正定矩阵,那么A的特征值为实数,
这样Richardson迭代矩阵的特征值应满足:
如果,,那么,至少有一个特征值大于1,即;
如果,,那么,特征值可能小于1
为此,进一步假设A为对称正定阵,这样欲使,即,
即有:
,
第一个条件意味着:
第二个条件要求:
综合起来为:
时Richardson迭代收敛
(2)进一步问题是:
什么是最优参数?
此问题等价于:
取何值时最小?
因为
因此,求解极小化问题:
A对称正定时,,
以为自变量,函数为两条直线
把它们话在一张图上,取代在数域取正的斜率的部分,与数域取负的斜率的部分的变量处达到。
此时:
18.求解,其中,
(1)推导SOR迭代法的迭代阵的特征值与Jacobi迭代阵的关系
(2)求出最佳的SOR迭代参数使SOR的收敛速度最快
(3)当时,SOR迭代的谱半径与A的条件数有何关系
解:
(1)Jacobi迭代阵
,,
SOR迭代阵
记的特征值为
因,故
即
19.若A为对称正定阵,、分别为其最大与最小特征值,为求解,设计若下迭代方法:
(双参数Richardson迭代)
(1)给出:
上述迭代法的相容性条件
(2)找出:
、,使迭代速度尽可能快。
(1)把前一式代入后一式:
如果迭代收敛,的极限为,则应有:
(*)
合并同类项后有:
如果矩阵为非奇异,则向量为零向量,从而为的解。
而这个条件意味着,,也即
换言之不是矩阵A的特征值,这就是使上述迭代相容的条件
(2)(*)该迭代法的迭代矩阵是
如记A的特征值为,i=1,2,……,n,那么B的特征值:
问题是要选择、使
取最小
20.求解,已知A的特征值分布在右半平面中以(a,0)为圆心,r(r<
a)为半径的闭圆中,使用的迭代法为:
。
问能否找到实参数,使得迭代法收敛?
最优参数是什么?
还是对第17题:
Richardson迭代法的进一步研究。
设A的特征值,则。
(这里为复数模)
那么Richardson迭代的迭代阵的特征值则为
故迭代收敛
二、根据迭代收敛条件构作收敛等价方程组。
1.适当调整方程组的未知数的排列顺序,使其G-S迭代收敛。
A=
由知
再由
=
2.给定Ax=b,其中A=,b=,用迭代式Richardson格式
.K=0,1,2….求解Ax=b,问取什么实数
时,可使迭代最快?
迭代阵的特征方程
当0<
a<
1/2时,ρ(B)<
a=2/5时,ρ(B)=3/5此时收敛最快
3.设实数a≠0,考察矩阵…….Ax=b建立Jacobi迭代与G-S迭代的计算公式,讨论a取何值时迭代收敛。
当且仅当时,J法收敛,即时,J法收敛
故当且仅当2a2<
1时,G-S迭代收敛,即时,G-S收敛。
4.设Ax=b:
系数阵为求使Jacobi迭代收敛的a的取值范围。
当a≠0时,
可得
由得
5.用G-S迭代法解,其中a为实数,求使方法收敛的a应满足的条件
6.设为不可简约弱对角化矩阵,且0<
w≤1,证明Ax=b的SOR方法收敛。
证:
SOR迭代的迭代阵
我们的问题是求证当0<
w≤1时,即的任一特征值
用反证法,设存在特征值,满足则
因故
或
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