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(1-3)
其中T为采样周期,是采样角频率。
设是连续时间信号的双边拉氏变换,即有:
(1-4)
此时理想采样信号的拉氏变换为
(1-5)
作为拉氏变换的一种特例,信号理想采样的傅立叶变换
(1-6)
由式(1-5)和式(1-6)可知,信号理想采样后的频谱是原信号频谱的周期延拓,其延拓周期等于采样频率。
根据Shannon取样定理,如果原信号是带限信号,且采样频率高于原信号最高频率分量的2倍,则采样以后不会发生频谱混淆现象。
在计算机处理时,不采用式(1-6)计算信号的频谱,而是利用序列的傅立叶变换计算信号的频谱,定义序列,根据Z变换的定义,可以得到序列x(n)的Z变换为:
(1-7)
以代替上式中的z,就可以得到序列x(n)的傅立叶变换
(1-8)
式(1-6)和式(1-8)具有如下关系:
(1-9)
由式(1-9)可知,在分析一个连续时间信号的频谱时,可以通过取样将有关的计算转化为序列傅立叶变换的计算。
2.有限长序列分析
一般来说,在计算机上不可能,也不必要处理连续的曲线,通常,我们只要观察、分析在某些频率点上的值。
对于长度为N的有限长序列
(1-10)
一般只需要在之间均匀地取M个频率点,计算这些点上的序列傅立叶变换
(1-11)
其中,是一个复函数,它的模就是幅频特性曲线。
3.信号卷积
一个线性时不变离散系统的响应y(n)可以用它的单位冲激响应h(n)和输入信号x(n)的卷积来表示:
(1-12)
根据傅立叶变换和Z变换的性质,与式(1-12)对应应该有
(1-13)
(1-14)
式(1-12)告诉我们可以通过对两个序列的移位、相乘、累加计算信号响应;
而式(1-14)告诉我们卷积运算也可以在频域上用乘积实现。
三实验内容及步骤
1、分析理想采样信号序列的特性:
产生理想采样信号序列,对信号进行理想采样,可以得到一个理想的采样信号序列:
,其中A为幅度因子,是衰减因子,是频率。
T为采样周期。
根据实验内容的需要,这些参量请设计为在程序运行过程中输入。
首先使。
(1)先选用采样频率为1000Hz,T=1/1000,观察所得理想采样信号的幅频特性,在折叠频率以内和给定的理想幅频特性无明显差异,并做记录;
(2)改变采样频率为300Hz,T=1/300,观察所得到的频谱特性曲线的变化,并做记录;
(3)进一步减小采样频率为200Hz,T=1/200,观察频谱“混淆”现象是否明显存在,说明原因,并记录这时候的幅频特性曲线。
2、离散信号、系统和系统响应的分析:
编写程序产生以下信号
单位脉冲序列:
矩形序列:
系统单位脉冲响应序列,本实验中用到以下两种FIR系统:
(1)观察信号和系统的时域和幅频特性;
利用线性卷积求信号通过系统以后的响应。
比较系统响应和系统的时域及幅频特性。
注意它们之间有无差异,绘出图形。
(2)观察信号和系统的时域和幅频特性,利用线性卷积求系统响应。
判断响应序列图形及序列非零值长度是否与理论结果一致,说出一种定性判断响应序列图形正确与否的方法(提示:
)。
利用序列的傅立叶变换数值计算子程序求出,观察响应序列的幅频特性。
定性判断结果正确与否。
改变信号的矩形宽度,使N=5,重复以上动作,观察变化,记录改变参数前后的差异。
(3)将实验步骤2-
(2)中的信号换为,其中。
重复实验2-
(2)各步骤,改变的参数再重复实验2-
(2)各步骤;
改变参数,重复实验2-
(2)各步骤。
在实验中观察改变和对信号及系统响应的时域和幅频特性的影响,绘制相应的图形。
3、卷积定律的验证。
利用式(1-14)将和系统的傅氏变换相乘,直接求得,将得到的幅频特性曲线和实验2-(3)中得到的曲线进行比较,观察二者有无差异。
验证卷积定律。
4、一个LTI系统的冲激响应为,输入序列为,求系统响应和输出信号y(n)及其频谱;
如果,其结果又如何?
四思考题
1、在分析理想采样信号序列的特性实验中,利用不同采样频率所得到的采样信号序列的傅氏变化频谱,数字频率度量是否相同?
它们所对应的模拟频率是否都相同?
2、在卷积定律的验证实验中,如果选用不同的M值,例如选M=50和M=30,分别做序列的傅氏变换,并求得,所得的结果之间有何差异?
为什么?
五实验报告要求
1、在实验报告中简述实验目的和实验原理要点。
2、总结在上机实验内容中要求比较时域、幅频曲线差异差异部分内容的结果,定性分析它们正确与否,并简要说明这些结果的含义。
3、回答思考题。
4、总结MatLab进行数字信号处理实验项目的时候常用的函数及其功能。
5、总结实验中的主要结论,实验过程总结及感想。
实验二应用FFT对信号进行频谱分析
1.在理论学习的基础上,通过本次实验,加深对快速傅里叶变换的理解,熟悉FFT算法及其程序的编写。
2.熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。
3.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题,以便在实际中正确应用FFT。
二实验原理与方法
一个连续信号的频谱可以用它的傅立叶变换表示为
(2-1)
如果对该信号进行理想采样,可以得到采样序列
(2-2)
同样可以对该序列进行z变换,其中T为采样周期
(2-3)
当的时候,我们就得到了序列的傅立叶变换
(2-4)
其中ω称为数字频率,它和模拟域频率的关系为
(2-5)
式中的是采样频率。
上式说明数字频率是模拟频率对采样率的归一化。
同模拟域的情况相似,数字频率代表了序列值变化的速率,而序列的傅立叶变换称为序列的频谱。
序列的傅立叶变换和对应的采样信号频谱具有下式的对应关系。
(2-6)
即序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓。
从式(2-6)可以看出,只要分析采样序列的频谱,就可以得到相应的连续信号的频谱。
注意:
这里的信号必须是带限信号,采样也必须满足Nyquist定理。
在各种信号序列中,有限长序列在数字信号处理中占有很重要的地位。
无限长的序列也往往可以用有限长序列来逼近。
对于有限长的序列我们可以使用离散傅立叶变换(DFT),这一变换可以很好地反应序列的频域特性,并且容易利用快速算法在计算机上实现当序列的长度是N时,我们定义离散傅立叶变换为:
(2-7)
其中,它的反变换定义为:
(2-8)
根据式(2-3)和(2-7)令,则有
(2-9)
可以得到,是z平面单位圆上幅角为的点,就是将单位圆进行N等分以后第k个点。
所以,X(k)是z变换在单位圆上的等距采样,或者说是序列傅立叶变换的等距采样。
时域采样在满足Nyquist定理时,就不会发生频谱混淆;
同样地,在频率域进行采样的时候,只要采样间隔足够小,也不会发生时域序列的混淆。
DFT是对序列傅立叶变换的等距采样,因此可以用于序列的频谱分析。
在运用DFT进行频谱分析的时候可能有三种误差,分析如下:
(1)混淆现象
从式(2-6)中可以看出,序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓,周期是2π/T,因此当采样速率不满足Nyquist定理,即采样频率小于两倍的信号(这里指的是实信号)频率时,经过采样就会发生频谱混淆。
这导致采样后的信号序列频谱不能真实地反映原信号的频谱。
所以,在利用DFT分析连续信号频谱的时候,必须注意这一问题。
避免混淆现象的唯一方法是保证采样的速率足够高,使频谱交叠的现象不出现。
这就告诉我们,在确定信号的采样频率之前,需要对频谱的性质有所了解。
在一般的情况下,为了保证高于折叠频率的分量不会出现,在采样之前,先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。
(2)泄漏现象
实际中的信号序列往往很长,甚至是无限长序列。
为了方便,我们往往用截短的序列来近似它们。
这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析。
这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数。
而矩形窗函数的频谱不是有限带宽的,从而它和原信号的频谱进行卷积以后会扩展原信号的频谱。
值得一提的是,泄漏是不能和混淆完全分离开的,因为泄露导致频谱的扩展,从而造成混淆。
为了减小泄漏的影响,可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减到最小。
(3)栅栏效应
因为DFT是对单位圆上z变换的均匀采样,所以它不可能将频谱视为一个连续函数。
这样就产生了栅栏效应,从某种角度来看,用DFT来观看频谱就好像通过一个栅栏来观看一幅景象,只能在离散点上看到真实的频谱。
这样的话就会有一些频谱的峰点或谷点被“栅栏”挡住,不能被我们观察到。
减小栅栏效应的一个方法是在源序列的末端补一些零值,从而变动DFT的点数。
这种方法的实质是认为地改变了对真实频谱采样的点数和位置,相当于搬动了“栅栏”的位置,从而使得原来被挡住的一些频谱的峰点或谷点显露出来。
注意,这时候每根谱线多对应的频率和原来的已经不相同了。
从上面的分析过程可以看出,DFT可以用于信号的频谱分析,但必须注意可能产生的误差,在应用过程中要尽可能减小和消除这些误差的影响。
快速傅立叶变换FFT并不是与DFT不相同的另一种变换,而是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。
它是对变换式(2-7)进行一次次的分解,使其成为若干小点数DFT的组合,从而减小运算量。
常用的FFT是以2为基数,其长度。
它的运算效率高,程序比较简单,使用也十分地方便。
当需要进行变换的序列的长度不是2的整数次方的时候,为了使用以2为基的FFT,可以用末尾补零的方法,使其长度延长至2的整数次方。
IFFT一般可以通过FFT程序来完成,比较式(2-7)和(2-8),只要对X(k)取共轭,进行FFT运算,然后再取共轭,并乘以因子1/N,就可以完成IFFT。
1、编写程序产生高斯序列,观察高斯序列的时域和频域特性:
(1)固定信号中的参数p=8,改变q的值,使q分别等于2,4,8。
观察它们的时域和幅频特性,了解q取不同值的时候,对信号时域特性和幅频特性的影响。
(2)固定q=8,改变p,使p分别等于8,13,14,观察参数p变化对信号序列时域及幅频特性的影响。
注意p等于多少时,会发生明显的泄漏现象,混淆现象是否也随之出现?
记录实验中观察到的现象,绘制相应的时域序列和幅频特性曲线。
2、编写程序产生衰减正弦序列,观察衰减正弦序列的时域和幅频特性:
(1)令α=0.1并且f=0.0625,检查谱峰出现的位置是否正确,注意频谱的形状,绘制幅频特性曲线。
(2)改变f=0.4375,再变化f=0.5625,观察这两种情况下,频谱的形状和谱峰出现的位置,有无混淆和泄漏现象发生?
说明产生现象的原因。
3、编写程序产生三角波和反三角波序列,观察三角波序列和反三角波序列的时域和幅频特性:
三角波序列:
反三角序列:
(1)用8点FFT分析信号和的幅
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