量子力学的矩阵形式及表象理论Word文档格式.docx
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(1)半壁δ位阱的散射21
(2)有限深方位阱22
3.8一维谐振子的代数解法23
(1)能量本征值24
(2)能量本征函数25
(3)讨论和结论28
3.9相干态30
(1)湮灭算符的本征态30
(2)相干态的性质31
第三章一维定态问题
现将所学得的原理和方程应用于最简单的问题:
一维、不显含时间的位势,即一维定态问题。
当
则薛定谔方程有特解
而满足
事实上,当有一定性质时,如或时,三维问题可化为一维问题处理,所以一维问题是解决三维问题的基础。
在解一维问题之前,先介绍一些解的性质。
需要指出,现讨论的是实函数,从而保持不含时间的S.eq中E为实数。
3.1一般性质
设粒子具有质量m,沿x轴运动,位势为。
于是有
。
由于是满足一定条件或边条件下的解,所以不是所有E都有非零解。
一维运动的分立能级(束缚态),一般是不简并的
简并度(degeneracy):
一个力学量的测量值,可在n个独立的(线性无关的)波函数中测得,则称这一测量值是具有n重简并度。
(某能量本征值有n个独立的定态相对应,则称这能量本征值是n重简并的)。
证:
假设是具有同样能量的波函数
(1)
(2)
从而得
于是(c是与x无关的常数)。
对于束缚态
(或在有限区域有某值使)
所以,
从而有
若不是处处为零,则有
从而有。
二者仅差一常数因子,所以是同一波函数。
也就是说,一个E只对应一个独立的波函数,因此,是不简并的。
应当注意ⅰ.分立能级是不简并的。
而对于连续谱时,若一端,那也不简并。
但如两端都不趋于0(如自由粒子),则有简并。
ⅱ.当变量在允许值范围内(包括端点),波函数无零点,就可能有简并存在。
(因常数c≠0)。
ⅲ.当有奇异点,简并可能存在。
因这时可能导致处处为零。
推论:
一维束缚态的波函数必为实函数(当然可保留一相因子)。
证
令(都是实函数)
则
这表明和都是能量为E的解。
但对束缚态,没有简并,所以只有一个解,因而和应是线性相关的。
所以
因此,
所以波函数只能取这一形式(A,都为实数,为实函数)。
由此可得另一推论:
一维束缚态,其几率流密度矢恒为0(因波函数为实函数)。
(3)
(4)
所以
从而证明得
这在物理上是显然的,因如果不正交,那就有(是与正交的)。
从态叠加原理看,体系可能处于态,也可处于态,即在中可测得的本征值为E1,其几率,这与是能量E2的本征态的假设相矛盾,所以必须为零,与一定正交。
(3)振荡定理
当分立能级按大小顺序排列,一般而言,第n+1条能级的波函数,在其取值范围内有n个节点(即有n个x点使,不包括边界点或∞远)。
基态无节点(当然处处不为零的波函数没有这性质,如(它是简并的)),同样,多体波函数由于反对称性,而可能无这性质)。
(4)在无穷大位势处的边条件
项先讨论有有限大小的间断点,由方程
即
由于连续,连续,或有些点是有限大小的间断点,因此存在,即存在,也就是的导数存在,所以连续,即波函数导数连续。
而在位势是无穷时又如何呢?
设
令,
所以,
得解
要求波函数有界,所以C=0,
要求波函数处连续,且导数连续
当E给定,
所以,∴
于是,当,方程有解
。
这表明,在无穷大的位势处,波函数为0,边界上要求波函数连续,但并不要求再计及导数的连续性。
但是,几率密度和几率流密度矢总是连续的。
3.2阶梯位势
讨论最简单的定态问题
(1)当
令,
由波函数有界C=0
在处,波函数连续,
波函数导数连续,
解得
定态解:
我们看到,对E没有限制,任何E都可取,即取连续值,因它不是束缚态(,并不趋于0),但它不简并(因,)。
讨论:
A.处,经典粒子不能去的地方,但仍有一定的几率发现量子力学粒子,当然随x增大发现它的几率下降;
B.区域,有沿x方向的平面波和沿x反方向的平面波,且振幅相同,构成一驻波。
这一驻波,在()处为0。
显然,每一点的几率密度不随t变(定态)。
C.几率流密度矢:
i.透射几率流密度矢()(因是实函数)
ⅱ.在区域,向有向右的几率流密度,即入射几率流密度矢
=
iii.在区域,也有向左的几率流密度,即反射几率流密度矢
所以,总几率流密度矢为0(事实上,在处,为实函数)
这表明,当,入射粒子完全被反射回来,没有几率流流入到区域中。
定义:
1.反射系数,现R=1;
2.透射系数,现T=0。
(2)当,求粒子从左向右方入射的解。
由初条件,粒子由左向右入射,由于在处位势有间断点,所以区域有入射波,也有反射波,但在处,位势无间断点,只有入射波,无反射波,所以C=0。
由波函数及其导数连续,有
得,。
结果有。
A.在时,区域有一沿x方向传播的平面波,波数为k1(但这并不是指粒子具有动量为,因这要全空间)。
显然,=
=。
从而得反射系数=
透射系数=
这表明,有一部分波被反射回来(区域),这与经典很不一样(经典认为全部进入区域,仅速度发生变化)。
显然
3.3位垒穿透
根据经典力学,一个具有能量E<
V0的粒子,从沿x方向入射,则应完全被反射回去;
而当E>
V0时,则应完全透射到的区域中去,但这种描述都不是精确的。
从量子力学观点看,如果E比V0大得不太多,仍有一部分被反射;
如E比V0小得不太多,仍有一部分被透射过去。
V0
从左向右入射,所以在区域有解eikx(入射波);
(反射波)区域有解(透射波)。
这形式是普遍的,只要远离作用区,而具体A、B、S则要根据位置的具体形式来确定。
而沿x方向的几率流密度为,
,
所以只要求得即可。
对于有方程
有解
其中
由,处,,连续
由前二式
由后两式得
从而得
由
(1)得
(2)
这时只要将,并由,得
从而有
(3)结果讨论
A.(或)即几率流密度矢连续。
当时,仍有一定几率流透射过去,而且敏感于。
,或a很大时,则T下降得很快。
,。
B.当时,仍有一定几率流被反射回去。
但当时,T=1,即完全透射过去。
这种现象称为共振透射(仅在条件下发生),这时
,
被称为共振能级。
这种现象是量子现象,过多地用经典语言去解释会产生失误:
如一种解释,认为,所以,,即位垒宽是半波长的整数倍时,则经过多次反射而透射出去的波的位相相同,从而出现共振透射。
但是,在区域中某点,你并不能说有动量,所以谈不上粒子有波长,而被边界来回碰撞形成相干叠加。
3.4方位阱穿透
这时只要将即可。
其中,。
当时,则同样出现,即共振透射。
这时,
(n取值应保证En大于零)
如果我们将位势在处选取为,那在和区域,入射能量,而区域,粒子能量为,即
,。
3.5一维无限深方位阱
(1)能量本征值和本征函数
,
有解
其中。
要求波函数在处连续(当然,并不要求导数连续),于是有
要求A,B不同时为0,则必须系数行列式为0。
,即
ⅰ.
代入方程
ⅱ.
代入方程.
,
相应的本征能量为。
(2)结果讨论
A.根据一定边条件,要求(处,波函数连续),薛定谔方程自然地给出能级的量子化。
B.一个经典粒子处于无限深位阱中,可以安静地躺着不动。
但对量子粒子而言,。
所以,,,即不能精确为0。
因此,无限深方位势的粒子最低能量不为0。
C.对基态:
,而。
所以,无节点,是偶函数。
第一激发态:
,而。
有一节点,是奇函数。
第二激发态:
有二个节点,是偶函数。
可证明,第n个能级,有个节点,函数奇偶性为。
3.6宇称,一维有限深方势阱,双位势
(1)宇称
前面无限深位势的能量本征函数有两类形式:
显然
我们把以偶函数描述的态称为偶宇称态,以奇函数描述的态称为奇宇称态。
本征函数以奇偶宇称来分类,并不是偶然的,这种对称性必然是因体系在某种变换下的不变性所致。
这种对称性只有在量子物理学中才有。
事实上,这是由于,即位势在的变换下不变的结果。
下面对这一问题进行一些讨论:
如位势为偶,即,当是方程的解,即满足
.
在变换下,有
于是有,。
所以,当是解,则也是解。
A.当能级不简并时:
令为宇称算符,我们有
即.
因此,当体系在对称位势下运动(空间反射是对称的),若能级不简并,其所处的状态,也是宇称算符的本征态,而本征态为,即所处状态或为偶宇称态或为奇宇称态,即所得的解必有确定宇称。
B.当能级简并时:
那当然不一定处于有确定的宇称态下,但奇、偶部分分别是解。
前面已证明,是解,则也是解。
由于能级是简并的,所以不一定为。
如果(即和是线性无关的),则可作线性组合,
,。
这两个波函数也是解,而前者为偶宇称解,后者为奇宇称解;
而且两者是线性无关的。
所以在能级简并时,我们也可选具有一定宇称的态来描述体系所处的状态。
因此,在一维对称位势下,我们总可选具有确定的宇称态作为能量本征态,而这将使问题处理简化。
宇称的概念是量子力学所特有的,它不仅在求解上简化,它还能对一些反应过程作出判断。
当体系的在变换下不变,体系所处状态若有确定的宇称,那以后任何时刻都保持这宇称;
如体系所处的不具有确定的宇称,那以后任何时刻其所处奇、偶宇称态的几率不变。
(2)有限对称方位阱
,仅讨论束缚态,
即。
由于是一维对称势的束缚态。
因此,能级
是不简并的,其解必具有确定的宇称。
所以,只要在区域中求解即可。
A.偶宇称解:
由于,有解
其中,,。
由于是偶宇称解,所以其导数为奇函数,即在处,导数为零的解。
于是,要求;
另外,要求解有界。
所以可能解为
利用处,波函数及其导数连续,,
所以,在处,有
令,
则
而,
由这两个方程→
()。
相应波函数
B.奇宇称解:
由于是奇宇称解,波函数在处应为0,于是A=0。
得解
同理在连续,得,另外
从而求得→()
而相应波函数为
C.讨论
1.当
两方程仅交一点,所以只有一个解,而在区域中无零点,即为基态
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