中考数学题型专项九圆的证明与计算Word文档格式.docx
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∴∠ACB=90°
.
∵∠D=30°
,∴∠A=30°
∴AB=2BC=2.
∴AC=.
∴S△AOC=×
AC·
OF=.
∵∠AOC=120°
,OA=1,
∴S扇形AOC==.
∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC=-.
类型2 与圆的切线有关的计算与证明
3.如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB于点E,∠POC=∠PCE.
(1)求证:
PC是⊙O的切线;
(2)若OE∶EA=1∶2,PA=6,求⊙O的半径.
(1)证明:
∵CD⊥AB,
∴∠CEP=90°
∴∠PCE+∠P=90°
∵∠POC=∠PCE,
∴∠POC+∠P=90°
,即∠OCP=90°
∴PC是⊙O的切线.
(2)∵∠POC=∠PCE,∠P=∠P,
∴△CEP∽△OCP.
∴=.
设半径为R,则OE=,EA=.
∴CP2=OP·
EP.
∴(R+6)2-R2=(6+R)·
(+6).
解得R=3(R=0舍去).
∴⊙O的半径为3.
4.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB为直径,过点B的切线与AC的延长线交于点D,E是BD中点,连接CE.
CE是⊙O的切线;
(2)若AC=4,BC=2,求BD和CE的长.
连接OC.
∵BD是⊙O的切线,
∴∠CBE=∠A,∠ABD=90°
∴∠ACO+∠BCO=90°
,∠BCD=90°
∵E是BD中点,
∴CE=BD=BE.
∴∠BCE=∠CBE=∠A.
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A.
∴∠ACO=∠BCE.
∴∠BCE+∠BCO=90°
,
即∠OCE=90°
,CE⊥OC.
∴CE是⊙O的切线.
(2)∵∠ACB=90°
∴AB===2.
∵tanA====,
∴BD=AB=.
∴CE=BD=.
5.拟)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,点D在AB延长线上,且∠BCD=∠A.
DC是⊙O的切线;
(2)若∠A=30°
,AC=2,求图中阴影部分的面积.
,即∠ACO+∠BCO=90°
∴∠A=∠ACO.
∵∠A=∠BCD,
∴∠ACO=∠BCD.
∴∠BCD+∠BCO=90°
∴DC是⊙O的切线.
(2)过点O作OE⊥AC于点E.
∵AC=2,∴AE=.
∵∠A=30°
∴OE=1,AO=2,∠AOC=120°
∴S扇AOC==,
S△AOC=×
2×
1=.
∴S阴影=-.
6.拟)如图,△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,∠DBC=∠BAC.
BC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,∠BAC=30°
,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π).
∵AB为⊙O直径,
∴∠ADB=90°
∴∠BAC+∠ABD=90°
∵∠DBC=∠BAC,
∴∠DBC+∠ABD=90°
∴AB⊥BC.
∵OB为⊙O的半径,
∴BC是⊙O切线.
(2)连接OD,过O作OM⊥BD于点M.
∵∠BAC=30°
∴∠BOD=2∠A=60°
∵OB=OD,
∴△OBD是等边三角形.
∴OB=BD=OD=2.
∴BM=DM=1.
由勾股定理得:
OM=.
∴S△DOB=×
∴阴影部分的面积S=S扇形DOB-S△DOB=-=π-.
7.拟)如图,AB是⊙O的直径,点F,C是⊙O上两点,且==,连接AC,AF,过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D,垂足为D.
CD是⊙O的切线;
(2)若CD=2,求⊙O的半径.
∵=,∴∠FAC=∠BAC.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
∴∠FAC=∠OCA.∴OC∥AF.
∵CD⊥AF,∴OC⊥CD.
∴CD是⊙O的切线.
(2)连接BC.
∵AB为直径,∴∠ACB=90°
∵==,∴∠BOC=×
180°
=60°
∴∠BAC=30°
.∴∠DAC=30°
在Rt△ADC中,CD=2,∴AC=2CD=4.
在Rt△ACB中,BC=AC=×
4=4,
∴AB=2BC=8.
∴⊙O的半径为4.
8.拟)如图,在△ABC中,∠CAB=90°
,以AB为直径的⊙O交CB于点D,点E是AC的中点,连接OE、DE.
(1)判断ED与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若tanC=,DE=2,求BD的长.
(1)结论:
ED与⊙O相切.理由如下:
连接OD.
∵点E是AC的中点,点O是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线.
∴OE∥BC.
∴∠EOA=∠B,∠EOD=∠ODB.
又∵OD=OB,∠ODB=∠B,
∴∠EOA=∠EOD.
又∵OA=OD,OE=OE,
∴△AOE≌△DOE(SAS).
∴∠EAO=∠EDO.
又∵∠EAO=90°
,∴∠EDO=90°
∴OD⊥ED.
∵OD是⊙O的半径,
∴ED是⊙O的切线.
(2)连接AD.
∴∠ADC=180°
-∠ADB=90°
在Rt△ADC中,∵点E是斜边AC的中点,
∴AC=2ED=4.
∵tanC==,
∴设AD=x,CD=2x.∵AD2+DC2=AC2,
∴(x)2+(2x)2=42.
解得x=±
(负根不合题意,舍去).
∴AD=x=.
在Rt△ADC中,∠C+∠CAD=90°
又∵∠BAD+∠CAD=90°
∴∠BAD=∠C.
∴tan∠BAD=tanC=.
又在Rt△ADB中,∵tan∠BAD=,
∴BD=AD·
tan∠BAD=×
9.拟)已知:
如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P,连接PD.
PD是⊙O的切线;
(2)求证:
PD2=PB·
PA;
(3)若PD=4,tan∠CDB=,求直径AB的长.
连接OC、OD.
设AB与CD交于点E.
∵CP为⊙O的切线,
∴OC⊥CP.
∴∠OCP=90°
∵OD=OC,AB⊥CD,
∴∠ODE+∠DOE=∠OCE+∠COE=90°
又∵∠ODE=∠OCE,
∴∠DOE=∠COE.
又∵OD=OC,OP=OP,
∴△ODP≌△OCP(SAS).
∴∠ODP=∠OCP=90°
∴PD是⊙O的切线.
(2)证明:
∵∠PDB+∠ODB=∠ADO+∠ODB=90°
∴∠PDB=∠ADO.
又∵OA=OD,∴∠A=∠ADO.
∴∠PDB=∠A.
又∵∠DPB=∠APD,
∴△PBD∽△PDA.
∴=,
即PD2=PB·
PA.
(3)设BE=x,则DE=2x,BD=x.
∵∠CDB+∠ADC=∠A+∠ADC=90°
∴∠A=∠CDB.
∴tanA=.
∴AE=2DE=4x,AB=AE+BE=5x,AD=2x.
由
(2)知△PBD∽△PDA.
得PB=8-5x.
又∵PD2=PB·
PA,
∴16=(8-5x)(5x+8-5x).
得x=.
∴AB=5x=6.
10.拟)如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.
∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=2,CE∶EB=1∶4,求CE,AF的长.
连接BD.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠DAB+∠ABD=90°
∵AF是⊙O的切线,
∴∠FAB=90°
即∠DAB+∠CAF=90°
∴∠CAF=∠ABD.
∵BA=BC,∠ADB=90°
∴∠ABC=2∠ABD.
∴∠ABC=2∠CAF.
(2)连接AE.∵AB是⊙O直径,
∴∠AEB=90°
设CE=x,
∵CE∶EB=1∶4,
∴EB=4x,BA=BC=5x,AE=3x.
在Rt△ACE中,AC2=CE2+AE2.
即
(2)2=x2+(3x)2.
∴x=2(x=-2舍去).
∴CE=2.
∴EB=8,BA=BC=10,AE=6.
∵tan∠ABF==,
∴AF=.
11.拟)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,过点O作OD⊥AB于点D,延长DO交⊙O于点P,过点P作PE⊥AC于点E,作射线DE交BC的延长线于点F,连接PF.
(1)若∠POC=60°
,AC=12,求劣弧PC的长;
(结果保留π)
OD=OE;
(3)求证:
PF是⊙O的切线.
(1)∵AC=12,
∴CO=6.
∴l==2π.
∵PE⊥AC,OD⊥AB,
∴∠PEA=∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中,
∴△POE≌△AOD(AAS).
∴OD=OE.
(3)证明:
连接AP,PC.
∵OA=OP,∴∠OAP=∠OPA.
由
(2)得OD=EO,∴∠ODE=∠OED.
又∵∠AOP=∠EOD,∴∠OPA=∠ODE.
∴AP∥DF.
∵AC是直径,∴∠APC=90°
∴∠PQE=90°
,即PC⊥EF.
又∵DP∥BF,∴∠ODE=∠EFC.
∵∠OED=∠CEF,∴∠CEF=∠EFC.
∴CE=CF.
∵PC为EF的中垂线,
∴∠EPQ=∠QPF.
∵△CEP∽△CPA,
∴∠EPQ=∠EAP.
∴∠QPF=∠EAP.
∴∠QPF=∠OPA.
∵∠OPA+∠OPC=90°
∴∠QPF+∠OPC=90°
∴OP⊥PF.
∴PF是⊙O的切线.
12.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AE平分∠BAC交⊙O于点E,交BC于点D,过点E作直线l∥BC.
(1)判断直线l与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F,求证:
BE=EF;
(3)在
(2)的条件下,若DE=4,DF=3,求AF的长.
(1)直线l与⊙O相切.
连接OE、OB、OC.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE.
∴∠BOE=∠
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