北师大版度高中数学必修1同步习题模块综合检测Word格式.docx
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应满足解得f(x)的定义域为(-1,1)∪(1,+∞),故选C.
C
4已知幂函数y=f(x)的图像经过点,则f(4)的值为( )
A.16B.2
C.D.
设幂函数为y=xα,
∵幂函数y=f(x)的图像经过点,
∴=2α,
解得α=-,y=,f(4)=,故选C.
5下列函数图像中,能用二分法求零点的是( )
由函数图像可得,A中的函数没有零点,故不能用二分法求零点,故排除A.B和D中的函数有零点,但函数在零点附近两侧的符号相同,故不能用二分法求零点,故排除.只有C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反,故能用二分法求函数的零点,故选C.
6三个数0.76,60.7,log0.76的大小关系为( )
A.0.76<
log0.76<
60.7
B.0.76<
60.7<
log0.76
C.log0.76<
0.76
D.log0.76<
0.76<
由对数函数y=log0.7x的图像和性质,
可知log0.76<
0,由指数函数y=0.7x,y=6x的图像和性质,可知0.76<
1,60.7>
1,所以log0.76<
60.7.故选D.
7已知函数f(x)=,其定义域是[-8,-4),则下列说法正确的是( )
A.f(x)有最大值,无最小值
B.f(x)有最大值,最小值
C.f(x)有最大值,无最小值
D.f(x)有最大值2,最小值
函数f(x)==2+,即有f(x)在[-8,-4)上是减少的,
则x=-8处取得最大值,且为,由x=-4取不到,即最小值取不到,故选A.
A
8函数f(x)=的零点个数为( )
A.2B.3C.4D.5
根据函数f(x)=绘出图像大致如图,由图像可知零点个数为2.
9函数f(x)=2|x|-1在区间[-1,2]的值域是( )
A.[1,4]B.
C.[1,2]D.
函数f(x)=2t-1在R上是增函数,
∵-1≤x≤2,∴0≤|x|≤2,∴t∈[0,2].
∴f(0)≤f(x)≤f
(2),即≤f(x)≤2.
∴函数的值域是.故选B.
10已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( )
A.1B.0C.-1D.2
函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,
∵x∈[0,1],∴函数f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上是增加的.
∴当x=0时,f(x)有最小值f(0)=a=-2,
当x=1时,f(x)有最大值f
(1)=3+a=3-2=1,故选A.
11已知f(x)是偶函数,对任意的a,b∈[0,+∞)都有<
0,若f(lgx)>
f
(1),则x的取值范围是( )
A.B.∪(1,+∞)
C.D.(0,1)∪(10,+∞)
由于f(x)是偶函数,对任意的a,b∈[0,+∞)都有<
0,
则偶函数f(x)在[0,+∞)是减少的,
则f(lgx)>
f
(1),即为f(|lgx|)>
f
(1),
即有|lgx|<
1,即-1<
lgx<
1,则<
x<
10,故选C.
12若函数f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是( )
A.B.
由题意可得解得≤a<
故选A.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13已知f(x+1)=x2-2x,则f
(2)= .
令x+1=t,∴x=t-1.
∴f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3.
∴f(x)=x2-4x+3.∴f
(2)=-1.
-1
14若f(x)=+a是奇函数,则a= .
∵f(x)=+a是奇函数,
∴f(-x)=-f(x)对于任意的x≠0都成立.
∴+a=--a.
∴+a=-a.
∴2a==1.∴a=.
15已知函数y=f(x)在(0,3)上是增函数,函数y=f(x+3)是偶函数,则f,f,f
(2)的大小关系为 .
∵f(x+3)是偶函数,
∴f(x)的图像关于直线x=3对称.
∴f=f,f=f.
又f(x)在(0,3)上是增函数,
∴f<
f
(2)<
f,
即f<
f.
f<
f
16给出下列五个命题:
①函数y=f(x),x∈R的图像与直线x=a可能有两个不同的交点;
②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相等函数;
③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2,存在x0,当x>
x0时,有2x>
x2成立;
④对于函数y=f(x),x∈[a,b],若有f(a)·
f(b)<
0,则f(x)在(a,b)内有零点;
⑤已知x1是方程x+lgx=5的根,x2是方程x+10x=5的根,则x1+x2=5.
其中正确的序号是 .
对于①,函数表示每个x对应唯一的y值,是一种对应关系,根据定义进行判定即可判断①错;
对于②,函数y=log2x2与函数y=2log2x的定义域不等,故不是相等函数,故②错;
对于③,当x0取大于等于4的值都可使当x>
x2成立,故③正确;
对于④,只有函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,才有f(a)·
0,f(x)在(a,b)内有零点,故④错;
对于⑤,∵x+lgx=5,∴lgx=5-x.
∵x+10x=5,∴10x=5-x.
∴lg(5-x)=x.如果作变量代换y=5-x,
则lgy=5-y.
∵x1是方程x+lgx=5的根,x2是方程x+10x=5的根,
∴x1=5-x2,∴x1+x2=5.故正确.
③⑤
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17(10分)计算:
(1);
(2)log225·
log3·
log5.
解
(1)原式=
=+1-1
=2·
=2.
(2)原式=log252·
log32-4·
log53-2==16.
18(12分)已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<
-1},B={x|-1≤x<
1}.
(1)求∁UA,A∩(∁UB);
(2)若C={x|1-a≤x≤2a+1},且C⊆A,求实数a的取值范围.
解
(1)∵全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<
1},
∴∁UA={x|-1≤x≤3},∁UB={x|-5≤x<
-1或1≤x≤3}.
∴A∩(∁UB)={x|-5≤x<
-1}.
(2)∵C={x|1-a≤x≤2a+1},
当1-a>
2a+1,即a<
0时,C=⌀,满足C⊆A;
当1-a≤2a+1,即a≥0时,C≠⌀,
由C⊆A得,-5≤1-a≤2a+1≤-1,a无解.
综上所述,满足C⊆A的实数a的取值范围为(-∞,0).
19(12分)已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且函数f(x+1)=f(x)+x+1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在x∈[-1,2]上的值域;
(3)令g(x)=f(x)-,判断函数g(x)是否存在零点,若存在,求出所有零点;
若不存在,请说明理由.
解
(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),f(0)=0,则c=0.
由题意f(x+1)=f(x)+x+1,得
a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,
即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,
∴
解得a=b=.
∴f(x)=x2+x.
(2)f(x)=,x∈[-1,2],
最小值为f=-,最大值为f
(2)=3,
∴f(x)在[-1,2]上的值域是.
(3)由g(x)=f(x)-=0,
可得x2+x-=0,
∴x3+x2-2=0.
∴(x-1)(x2+2x+2)=0.
∴x=1,即函数g(x)的零点是1.
20(12分)为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料,如下表所示.
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积y随最大积雪深度x变化的图像;
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并画出图像;
(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25cm,则可以灌溉土地多少公顷?
解
(1)描点作图①如下所示:
图①
图②
(2)从图①中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y=a+bx.
取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),
代入y=a+bx,得
可算得a≈2.4,b≈1.8.
这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图像如图②,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.
(3)由y=2.4+1.8×
25,求得y=47.4,
即当积雪深度为25cm时,可以灌溉土地47.4公顷.
21(12分)已知f(x)=g(x)=.
(1)求y=g(x)的解析式,并画出其图像;
(2)写出方程xf[g(x)]=2g[f(x)]的解集.
解
(1)当x<
1时,x-1<
0,x-2<
此时g(x)==1.
当1≤x<
2时,x-1≥0,x-2<
此时g(x)=.
当x≥2时,x-1>
0,x-2≥0,
此时g(x)==2.
故y=g(x)=其图像如图.
(2)∵g(x)>
∴f[g(x)]=2,x∈R.
∴方程xf[g(x)]=2g[f(x)]即为x2=其解集为{-,2}.
22(12分)已知函数f(x)=.
(1)求证:
函数f(x)在区间(-1,+∞)上是增加的;
(2)设g(x)=f(2x),求证:
函数g(x)是奇函数;
(3)在
(2)的前
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