北京市朝阳区届高三二模理数试题Word下载.docx
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第四次循环:
第五次循环:
第六次循环:
结束循环,输出选B.
点睛:
算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.
3.“”是“”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时,由均值不等式成立。
但时,只需要,不能推出。
所以是充分而不必要条件。
选A.
4.已知函数的最小正周期为,则
A.函数的图象关于原点对称
B.函数的图象关于直线对称
C.函数图象上的所有点向右平移个单位长度后,所得的图象关于原点对称
D.函数在区间上单调递增
【答案】C
【解析】,所以不是奇函数,图象不关于原点对称;
时不是最值,图象不关于直线对称;
所有点向右平移个单位长度后得为奇函数,图象关于原点对称;
因为,所以函数在区间上有增有减,综上选C.
5.现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,每人一张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有不同分法的种数为
A.12B.24C.36D.48
【答案】D
【解析】甲、乙分得的电影票连号有种情况,其余三人有分法,所以共有,选D.
求解排列、组合问题常用的解题方法:
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”;
(2)元素相间的排列问题——“插空法”;
(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”;
(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长的棱长为
A.B.C.D.
【解析】三视图还原图形三棱锥,如下图:
所以最长边为,选C.
7.已知函数且.若函数的图象上有且只有两个点关于轴对称,则的取值范围是
A.B.C.D.
【解析】由题意得与有且仅有一个交点,当时,有且仅有一个交点;
当时,需满足,因此的取值范围是,选D.
涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
8.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺:
礼、乐、射、御、书、数,简称“六艺”.某
中学为弘扬“六艺”的传统文化,分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场
传统文化知识的竞赛.现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐.规定:
每场
知识竞赛前三名的得分都分别为且;
选手最后得分为各场
得分之和.在六场比赛后,已知甲最后得分为26分,乙和丙最后得分都为11分,且乙在其中一场比赛中获得第一名,则下列说法正确的是
A.每场比赛第一名得分为4B.甲可能有一场比赛获得第二名
C.乙有四场比赛获得第三名D.丙可能有一场比赛获得第一名
【答案】C
【解析】若每场比赛第一名得分为4,则甲最后得分最高为,不合题意;
三人总分为,每场总分数为分,所以,因此甲比赛名次为5个第一,一个第三;
而乙比赛名次有1个第一,所以丙没有一场比赛获得第一名,因此选C.即乙比赛名次为1个第一,4个第三,1个第二.
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.双曲线的渐近线方程是,离心率是.
【答案】
(1).
(2).
【解析】渐近线方程是,离心率为
10.若平面向量,,且,则的值是.
【答案】
【解析】由题意得
11.等比数列{an}的前n项和为.已知,则{an}的通项公式,
.
【答案】
(1).
(2).2
【解析】
12.在极坐标系中,圆被直线所截得的弦长为.
【解析】由题意得圆,直线,所以交点为,弦长为
13.已知满足若有最大值8,则实数的值为.
【解析】由图知直线过A点时取最大值8,由得,所以
线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
14.已知两个集合,满足.若对任意的,存在,使得
(),则称为的一个基集.若
,则其基集元素个数的最小值是.
【答案】4
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
在△中,角的对边分别为,且,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求△的面积.
(1)
(2)
16.(本小题满分13分)
从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据,整理得到如下频率分布直方图.
(Ⅱ)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计该市中学生中的全体男生的平均身高;
(Ⅲ)从该市的中学生中随机抽取一名男生,根据直方图中的信息,估计其身高在180cm以上的概率.若从全市中学的男生(人数众多)中随机抽取人,用表示身高在以上的男生人数,求随机变量的分布列和数学期望.
(1)
(2)(3)
(1)根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率及所有小长方形面积之和为1得,解得.
(2)根据平均数等于组中值与对应概率乘积的和得平均值,(3)先确定随机变量的取法:
.再利用组合数求对应概率,列表可得分布列.最后根据数学期望公式求期望.
试题解析:
解:
(Ⅰ)根据题意得:
.
解得.
(Ⅱ)设样本中男生身高的平均值为,则
所以估计该市中学全体男生的平均身高为.
(Ⅲ)从全市中学的男生中任意抽取一人,其身高在以上的概率约为.
由已知得,随机变量的可能取值为.
所以;
;
随机变量的分布列为
因为~,所以.
求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:
第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;
第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率;
第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;
第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度.
17.(本小题满分14分)
如图1,在△中,,,分别为边的中点,点分别为线段的中点.将△沿折起到△的位置,使.点为线段上的一点,如图2.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)线段上是否存在点使得平面?
若存在,求出的长,若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)当时,求直线与平面所成角的大小.
(1)见解析
(2)在线段上存在中点,使平面.
且(3)
(1)先根据等腰三角形性质得.再由折叠中不变的垂直关系得,根据线面垂直判定定理得平面,即得.最后再根据线面垂直判定定理得平面,即得.
(2)利用空间向量研究线面平行关系,即通过平面法向量与直线方向向量垂直进行研究,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出平面法向量,利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角,最后根据平面法向量与直线方向向量数量积为零列式求解参数.(3)利用空间向量求线面角,仍是先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出平面法向量,利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角,最后根据线面角与向量夹角之间互余关系列式求线面角大小.
(Ⅰ)
因为,
所以△为等边三角形.
又因为点为线段的中点,
所以.
由题可知,
所以平面.
因为平面,所以.
又,所以平面.
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面,,如图
建立空间直角坐标系,则,,
,,,.
设平面的一个法向量为,
,
所以即
令,所以,所以
假设在线段上存在点,使平面.
设,.
又,所以.
所以.则.
所以.
解得,.
则在线段上存在中点,使平面.
且
(Ⅲ)因为,又,所以.
所以.又因为,
因为设直线与平面所成角为,
则
直线与平面所成角为.
18.(本小题满分13分)
已知椭圆:
的上下顶点分别为,且点.分别为椭圆的左、右焦点,且.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)点是椭圆上异于,的任意一点,过点作轴于,为线段
的中点.直线与直线交于点,为线段的中点,为坐标原点.求
的大小.
(1)
(2)见解析
(1)由顶点坐标得再在中利用椭圆几何条件得.
(2)利用向量数量积研究的大小.先设,则得.求出直线与直线交点,得.再根据向量数量积得,根据代入化简得,即得.
(Ⅰ)依题意,得.又,
在中,,所以.
所以椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)设,,则,.
因为点在椭圆上,所以.即.
又,所以直线的方程为.
令,得.
又,为线段的中点,所以.
所以,.
因为
,
所以..
19.(本小题满分14分)
已知函数,.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若曲线在点处的切线与曲线切于点,求
的值;
(Ⅲ)若恒成立,求的最大值.
(1)先明确函数定义域,再求函数导数,根据导函数符号确定单调区间,
(2)由导数几何意义得切线斜率为,则得,.即得(3)不等式恒成立问题,一般转化为对应函数最值问题:
先利用导数研究函数最值:
当时,在上单调递增.仅当时满足条件,此时;
当时,先减后增,,再变量分离转化为,最后利用导数研究函数
最值,可得的最大值.
(Ⅰ),则.
令得,所以在上单调递增.
令得,所以在上单调递减.
(Ⅱ)因为,所以,所以的方程为.
依题意,,.
于是与抛物线切于点,
由得.
所以
(Ⅲ)设,则恒成立.
易得
(1)当时,
因为,所以此时在上单调递增.
①若,则当时满足条件,此时;
②若,取且
此时,所以不恒成立.
不满足条件;
(2)当时,
令,得由,得;
由,得
所以在上单调递减,在上单调递增.
要使得“恒成立”,必须有
“当时,”成立.
所以.则
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