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1=0,所以说1能整除任何整数,1是任何整数的约数.
如果a,b除了1,没有其他的公约数,则称a,b互质,记作:
(a,b)=1
因为整除均在整数范围内考察,所以以下所指之数不特加说明均指整数.
因为符号“∵”,所以的符号“∴”;
【整除性质】
(1)如果数a、b都能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
即如果c︱a,c︱b,那么c︱(a±
b).
(2)如果数a能被自然数b整除,自然数b能被自然数c整除,则数a必能被数c整除。
如果b︱a,c︱b,那么c︱a.
(3)若干个数相乘,如其中有一个因数能被某一个数整除,那么,它们的积也能被这个数整除。
如果(abc……),并且m︱c,那么m︱(abc……).
(4)如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除,那么,这个数能被这两个互质数的积整除。
反之,若一个数能被两个互质数的积整除,那么这个数能分别被这两个互质数整除。
如果b,c互质,并且b︱a,c︱a,那么bc︱a.
例如:
如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×
4)∣12.
反之,如果bc︱a,那么b︱a,c︱a.
(5)a个连续自然数中有并且只有一个数能被a整除。
(6)如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除.
如果b|a,那么bm|am(m为非0整数);
(7)如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd整除.如果b|a,且d|c,那么bd|ac;
【整除判断方法】
1、常见数字的整除判定方法
一些质数整除的数字特征(约数只有1和它本身的数,称为质数):
(1)能被2整除的数,其末位数字只能是0,2,4,6,8;
(2)能被3整除的数,其各位的数字和能被3整除;
(3)能被5整除的数,其末位数字只能是0,5;
(4)能被7整除的数,其末三位与前面隔开,末三位与前面隔出数的差(大减小)能被7整除。
(即能被7整除,7︱-或7︱-);
【第二种方法】若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述【截尾、倍大、相减、验差】的过程,直到能清楚判断为止。
例如,判断133是否7的倍数的过程如下:
先截取末位3,再用剩下的13减去3的2倍,判断差,即13-3×
2=7,所以133是7的倍数;
又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:
613-9×
2=595,59-5×
2=49,所以6139是7的倍数,余类推。
(5)能被11整除的数,其末三位与前面隔开,末三位与前面隔出数的差(大减小)能被11整除(即能被11整除,11︱-或11︱),
【第二种方法】奇数位数字之和与偶数位数字之和,所得的差能被11整除;
【第三种方法】除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:
从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.
判断583能不能被11整除,用583减去11的50倍(583-11×
50=33)余数是33,33能被11整除,583也一定能被11整除。
表示这是一个多位数,而不是q与p、o、c、b、a等数的乘积,下同.
(6)能被13整除的数,末三位与前面隔开,末三位与前面隔出数的差(大减小)能被13整除,那么这个数能被13整除。
【第二种方法】若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除。
如果和太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
例如,判断73957是否13的倍数的过程如下:
先截取末位7,再用剩下的7395加上7的4倍,判断和,即7395+4×
7=7423,再重复上述过程,742+4×
3=754,……75+4×
4=91,91是13的倍数,所以73957是13的倍数;
(7)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述【截尾、倍大、相减、验差】的过程,直到能清楚判断为止。
例如,判断8313是否17的倍数的过程如下:
先截取末位3,再用剩下的831减去3的5倍,判断差,即831-5×
3=816,再重复上述过程,81-5×
6=51,……,51是17的倍数,所以8313是17的倍数;
(8)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果和是19的倍数,则原数能被19整除。
如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述【截尾、倍大、相加、验差】的过程,直到能清楚判断为止。
例如,判断16625是否19的倍数的过程如下:
先截取末位5,再用剩下的1662加上5的2倍,判断和,即1662+2×
5=1672,再重复上述过程,167+2×
2=171,……,17+2×
1=19,19是19的倍数,所以16625是19的倍数;
【了解就行】
(9)若一个整数的末四位与前面隔出数的5倍的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除。
如6938801,末四位为8801,8801-693×
5=5336,而5336=23×
232,能被23整除。
所以6938801也能被23整除。
如2289405,末四位为9405,9405-228×
5=8265,而8265=29×
285,能被29整除。
所以2289405也能被29整除。
【备注】
(以上规律仅在十进制数中成立.)
2.对于合数,先把合数分解质因数,再一个一个的考察.这样就化归为质数整除问题,对于分解质因数。
3.对于一些特殊的合数的判断方法.
能被4整除的数,末两位数能被4整除;
能被8整除的数,末三位数能被8整除;
能被25整除的数,末两位数能被25整除;
能被125整除的数,末三位能被125整除;
能被9整除的数,其数字和一定是9的倍数;
能被10整除的数,其末位是0;
能被12整除的数,则这个数能同时被3和4整除;
4.若干个数相乘,求其末尾有多少个连续的0,只要把这个乘积中的因数2与5的个数分别找出来,其中较少的因数个数就是积的末尾连续的0的个数.
※5.如果一个数能同时被多个整数整除,那么一定能被这些数的最小公倍数整除,而求多个数的最小公倍数,则可以采用如下两种方法:
①短除法
求两个或以上数的最小公倍数,可以使用短除法.
②分解质因数
将一组数的每个数严格分解质因数,然后提出每个质因数的最高次所对应的数,将这些提出的数相乘,求出积就是最小公倍数.
※【还有试商法判断】
【题型精讲】
【例1】已知道六位数20□279是13的倍数,求□中的数字是几?
【解析】本题为基础题型,利用13的整除判定特征即可知道。
【提示】能被13整除的数,末三位与前面隔开,末三位与前面隔出数的差(大减小)能被13整除,那么这个数能被13整除。
解:
截取后三位279与剩下的数做差,即279-20□,也就是79-□能被13整除,又□只能取0,1,2,……9这几个数,分别代入知,只有79-1满足条件,也就是□是1时满足。
答:
□中的数字是1。
【巩固】六位数20□□08能被99整除,□□是多少?
【解析】本题为合数整除问题,首先需要把99分解为多个互质数相乘的形式,再根据整除性质判断,即99=9×
11。
解:
99=9×
11,若六位数20□□08能被99整除,那么它必须同时能被9和11整除。
若使六位数20□□08能被9整除,那么其各位数字之和必须能被9整除,即2+0+□1+□2+0+8=10+□1+□2能被9整除(设□1为千位数字,□2为百位数字),那么□1+□2可能为8,17,26,……,又因为□1和□2只能取0,1,……9中这10个数字,所以□1+□2≤18,所以□1+□2只能为8或17;
若使六位数20□□08能被11整除,那么奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除,即8+□2+0-(0+□1+2)=6+□2-□1能被11整除,那么□1-□2可能为6,5,16,……,又因为□1和□2只能取0,1,……9中这10个数字,所以□1-□2≤9,所以□1-□2只能为5或6;
这样,若六位数20□□08能被99整除,必须同时满足□1+□2为8或17;
并且□1-□2为5或6;
并且□1、□2为0到9的整数,所以由和差公式知:
①当□1+□2=8,并且□1-□2=6时,解得□1=7,□2=1,所以原六位数为207108;
②当□1+□2=8,并且□1-□2=5时,解得□1=6.5,□2=1.5,不符合题意;
③当□1+□2=17,并且□1-□2=6时,解得□1=11.5,□2=5.5,不符合题意;
④当□1+□2=17,并且□1-□2=5时,解得□1=11,□2=6,不符合题意;
满足条件的□□是71,原六位数为207108。
【巩固】六位数20□□08能被49整除,□□中的数是多少?
【提示】49为合数,答案为05或54,即200508或205408。
首先用200008÷
49=4081……39,那么若使原数能被49整除,只需数□□39能被49整除即可,数□□39由于末位数为9,而和9相乘,结果个位数为9的数只有1,所以□□39除以49的商个位数必为1,这时商乘以49时个位没有进位,而被除数十位是3,又4+9的个位为3,所以商的十位数也只能为1,即商可能是11,111,211……,
又这个数最大可能为9939,9939÷
49<
203,即商只能为11或111,所以49×
11=539或49×
111=5439,所以□□为05或54,原六位数为200508或205408。
□□中的数是05或54。
【例2】173□是个四位数字。
数学老师说:
“我在这个□中先后填人3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。
”问:
数学老师先后填入的3个数字的和是多少?
【提示】分别利用9、11、6的整除性质判断。
1)能被9整除时各个数位的和:
1+7+3+□=11+□能被9整除,又□≤9,所以□只能为7,四位数为1737;
2)能被11整除时,首先用173□减去11的150倍后,
即173□-11×
150=173□-1650=80+□能被11整除即可,又□≤9,所以□只能为8,四位数为1738;
3)能被6整除时,首先用1730÷
6=288……2,那么若使原数能被6整除,只需数□+2能被6整除即可,又□≤9,所以□只能为4,四位数为1734;
三个数字之和:
7+8+4=19.
数学老师先后填入的3个数字的和是19。
【巩固】某个七位数1993□□□能够同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除,那么它的最后三位数字依次是多少?
【提示】采用试除法比较方便,若使得7位数能够同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除,只需让七位数能被2,3,4,5,6,7,8,9的最小公倍数整除即可。
而[2,3,4,5,6,7,8
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