高中数学第一章常用逻辑用语112量词教学案新人教B版选修1Word下载.docx

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短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．

（2）存在性命题

含有存在量词的命题，叫做存在性命题．即是陈述某集合M的有些元素x具有某种性质的命题，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q（x）”的命题，用符号简记为∃x∈M，q（x）．

要点一　全称量词与全称命题

例1　试判断下列全称命题的真假：

（1）∀x∈R，x2＋2>

0；

（2）∀x∈N，x4≥1；

（3）对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

解　

（1）由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>

0，即x2＋2>

0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>

0”是真命题．

（2）由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，

所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．

（3）由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．

所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．

规律方法　判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素都成立．判断全称命题为假时，可以用反例进行否定．

跟踪演练1　判断下列全称命题的真假：

（1）所有的素数是奇数；

（2）∀x∈R，x2＋1≥1；

（3）对每一个无理数x，x2也是无理数．

解　

（1）2是素数，但2不是奇数．

所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．

（2）∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.

所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题．

（3）是无理数，但（）2＝2是有理数．

所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．

要点二　存在量词与存在性命题

例2　判断下列命题的真假：

（1）∃x∈Z，x3<

1；

（2）存在一个四边形不是平行四边形；

（3）有一个实数α，tanα无意义．

（4）∃x∈R，cosx＝.

解　

（1）∵－1∈Z，且（－1）3＝－1<

1，

∴“∃x∈Z，x3<

1”是真命题．

（2）真命题，如梯形．

（3）真命题，当α＝时，tanα无意义.

（4）∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]，而>

∴不存在x∈R，使cosx＝，

∴原命题是假命题．

规律方法　存在性命题是含有存在量词的命题，判定一个存在性命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．

跟踪演练2　判断下列存在性命题的真假：

（1）有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0；

（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；

（3）有些整数只有两个正因数．

解　

（1）由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以，存在性命题“有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0”是假命题．

（2）由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．

（3）由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．

要点三　全称命题、存在性命题的应用

例3　

（1）对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>

m恒成立．求实数m的取值范围；

（2）存在实数x，不等式sinx＋cosx>

m有解，求实数m的取值范围．

解　

（1）令y＝sinx＋cosx，x∈R，

∵y＝sinx＋cosx＝sin（x＋）≥－，

又∵∀x∈R，sinx＋cosx>

m恒成立，

∴只要m<

－即可．

∴所求m的取值范围是（－∞，－）．

（2）令y＝sinx＋cosx，x∈R，

∵y＝sinx＋cosx＝sin（x＋）∈[－，]．

又∵∃x∈R，sinx＋cosx>

m有解，

即可，

∴所求m的取值范围是（－∞，）．

规律方法　有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．

跟踪演练3　

（1）已知关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；

（2）若命题p：

＝sinx－cosx是真命题，求实数x的取值范围．

解　

（1）关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）≥0，即4a－7≥0，

解得a≥，∴实数a的取值范围为[，＋∞）．

（2）由＝sinx－cosx，

得＝sinx－cosx，

∴＝sinx－cosx，

即|sinx－cosx|＝sinx－cosx，

∴sinx≥cosx.

结合三角函数图象，得2kπ＋≤x≤2kπ＋（k∈Z），

此即为所求x的取值范围．

即p：

∀x∈[2kπ＋，2kπ＋]（k∈Z），有＝sinx－cosx是真命题．

1．给出四个命题：

①末位数是偶数的整数能被2整除；

②有的菱形是正方形；

③存在实数x，x>

④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是（　　）

A．四个命题都是真命题

B．①②是全称命题

C．②③是存在性命题

D．四个命题中有两个假命题

答案　C

解析　①④为全称命题；

②③为存在性命题；

①②③为真命题；

④为假命题．

2．下列命题中，不是全称命题的是（　　）

A．任何一个实数乘以0都等于0

B．自然数都是正整数

C．每一个向量都有大小

D．一定存在没有最大值的二次函数

答案　D

解析　D选项是存在性命题．

3．下列存在性命题是假命题的是（　　）

A．存在x∈Q，使2x－x3＝0

B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0

C．有的素数是偶数

D．有的有理数没有倒数

答案　B

解析　对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝（x＋）2＋>

0恒成立．

4．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：

（1）凸n边形的外角和等于2π.

（2）有一个有理数x满足x2＝3.

解　

（1）∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.

（2）∃x∈Q，x2＝3.

（3）∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1.

1.判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是根据命题涉及的意义去判断，命题中有的含有全称量词和存在量词，有的不含全称量词和存在量词，一定要抓实质，不能看表面．

2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；

要确定一个全称命题是假命题，举出一个反例即可．

3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；

若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．

2019-2020年高中数学第一章常用逻辑用语1.2.1“且”与“或”教学案新人教B版选修1-1

[学习目标]　1.理解逻辑联结词“且”、“或”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．

1．观察三个命题：

①5是10的约数；

②5是15的约数；

③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？

命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题．“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思．

2．观察三个命题：

①3>

2；

②3＝2；

③3≥2它们之间有什么关系？

命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．“或”与集合运算中并集A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”的意义相同，有“可兼”的含义．

1．用逻辑联结词构成新命题

（1）一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起

来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．

由“且”的含义，可以用“且”来定义集合A和集合B的交集A∩B＝{x|（x∈A）∧（x∈B）}．

（2）一般地，用逻辑联结词“或”把命题p，q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．

由“或”的含义，可以用“或”来定义集合A和集合B的并集A∪B＝{x|（x∈A）∨（x∈B）}．

2．含有逻辑联结词的命题的真假判断

p

q

p∨q

p∧q

真

假

要点一　含逻辑联结词的命题的构成

例1　指出下列命题的形式及构成它的简单命题：

（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；

（2）菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形．

解　

（1）这个命题是“p∧q”的形式，其中p：

24是8的倍数，q：

24是6的倍数．

（2）这个命题是“p∨q”的形式，其中p：

菱形是圆的内接四边形，q：

菱形是圆的外切四边形．

规律方法

（1）正确理解逻辑联结词“且”“或”是解题的关键．

（2）有些命题并不一定包含“或”“且”这些逻辑联结词，要结合命题的具体含义正确的判定命题构成．

跟踪演练1　分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”形式的命题：

（1）p：

梯形有一组对边平行，q：

梯形有一组对边相等；

（2）p：

－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：

－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

解　

（1）p∧q：

梯形有一组对边平行且有一组对边相等．

p∨q：

梯形有一组对边平行或有一组对边相等．

（2）p∧q：

－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

要点二　判断含逻辑联结词命题的真假

例2　指出下列命题的构成形式并判断命题的真假：

（1）等腰三角形底边上的中线既垂直于底边，又平分顶角；

（2）1是素数或是方程x2＋3x－4＝0的根．

解　

（1）是p∧q形式，其中p：

等腰三角形底边上的中线垂直于底边；

q：

等腰三角形底边上的中线平分顶角．因为p真，q真，所以p∧q真．所以该命题是真命题．

（2）这是p∨q形式命题，其中p：

1是素数；

1是方程x2＋3x－4＝0的根，因为p假，q真，所以p∨q真，故该命题是真命题．

规律方法判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：

（1）逐一判断命题p，q的真假．

（2）根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假．

p∧q为真⇔p和q同时为真，p∧q为假⇔p和q中至少一个为假；

p∨q为真⇔p和q中至少一个为真，p∨q为假⇔p和q同时为假．

跟踪演练2　分别指出下列各组命题构成的“p∧q”和“p∨q”形式的命题的真假：

6<

6，q：

6＝6；

梯形的对角线相等，q：

梯形的对角线互相平分；