中考数学黄金知识点系列专题34因式分解Word格式.docx
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(3)分解因式必须分解到不能再分解为止,每个因式的内部不再有括号,且同类项合并完毕,若有相同因式写成幂的形式,这样才算分解彻底;
(4)注意因式分解中的范围,如x4-4=(x2+2)(x2-2)在实数范围内分解因式,继续进行分解:
x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x2+2)(x+)(x-),题目不作说明,表明是在有理数范围内因式分解.
(5)分解要彻底。
作为结果的代数式的最后运算必须是乘法;
要分解到每个因式都不能再分解为止,每个因式的内部不再有括号,并且同类项合并完毕,若有重因式应写成幂的形式.这些统称分解彻底.
名师点睛☆典例分类
考点典例一、因式分解的意义
【例1】下列四个多项式中,能因式分解的是()
A.a2+1B.a2-6a+9
C.x2+5yD.x2-5y
【答案】B
【解析】
试题分析:
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式,可得答案.
试题解析:
A、C、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式,故A、C、D不能因式分解;
B、是完全平方公式的形式,故B能分解因式;
故选:
B.
考点:
因式分解的意义.
【点睛】 因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形,若结果不是积的形式,则不是因式分解,还要注意分解要彻底.
【举一反三】
(2016山东潍坊第8题)将下列多项式因式分解,结果中不含有因式a+1的是( )
A.a2﹣1B.a2+aC.a2+a﹣2D.(a+2)2﹣2(a+2)+1
【答案】C.
因式分解.
考点典例二、提取公因式法分解因式
【例2】
(2016内蒙古巴彦淖尔第11题)分解因式:
=_____________.
【答案】.
==.故答案为:
.
提公因式法与公式法的综合运用.
【点睛】
(1)首项系数为负数时,一般公因式的系数取负数,使括号内首项系数为正;
(2)当某项正好是公因式时,提取公因式后,该项应为1,不可漏掉;
(3)公因式也可以是多项式.
1.(2016黑龙江哈尔滨第14题)把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是 .
【答案】a(x+a)2.
ax2+2a2x+a3=a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2.
2.分解因式:
x2+3x(x-3)-9=
【答案】
(x-3)(4x+3)
提取公因式法分解因式
考点典例三、运用公式法分解因式
【例3】①(2016辽宁沈阳第11题)分解因式:
2x2﹣4x+2= .
【答案】2(x﹣1)2.
先提取公因式2,再利用完全平方公式进行二次分解即2x2﹣4x+2=2(x2﹣2x+1)=2(x﹣1)2.
分解因式.
②将多项式m2n-2mn+n因式分解的结果是.
【答案】n(m-1)2.
先提取公因式n,再根据完全平方公式进行二次分解.
m2n-2mn+n,
=n(m2-2m+1),
=n(m-1)2.
【点睛】
(1)用平方差公式分解因式,其关键是将多项式转化为a2-b2的形式,需注意对所给多项式要善于观察,并作适当变形,使之符合平方差公式的特点,公式中的“a”“b”也可以是多项式,可将这个多项式看作一个整体,分解后注意合并同类项;
(2)用完全平方公式分解因式时,其关键是掌握公式的特征.
①(2a+1)2-a2=;
(3a+1)(a+1)
直接利用平方差公式进行分解即可.
原式=(2a+1+a)(2a+1-a)=(3a+1)(a+1)
因式分解-运用公式法.
②8(a2+1)-16a=
【答案】8(a-1)2.
考点典例四、综合运用多种方法分解因式
【例4】
(2016山东东营第12题)分解因式:
a3-16a=_____________.
【答案】a(a+4)(a-4).
先提取公因式a,再运用平方差公式分解即可,即a3-16a=a(a2-16)=a(a+4)(a-4).
【点睛】本题考查因式分解,因式分解的步骤为:
一提公因式;
二看公式.公式包括平方差公式与完全平方公式,要能用公式法分解必须有平方项,如果是平方差就用平方差公式来分解,如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍,如果没有两数乘积的2倍还不能分解.解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练,对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项.要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解,一般来说,如果可以提取公因式的要先提取公因式,注意一定要分解彻底.
1.(2016福建南平第13题)分解因式:
=.
原式==.故答案为:
零指数幂.
x3-6x2+9x=
【答案】x(x-3)2
考点典例四、因式分解的应用
【例5】计算:
852-152=()
A.70 B.700 C.4900 D.7000
【答案】D.
直接利用平方差进行分解,再计算即可.
原式=(85+15)(85-15)
=100×
70
=7000.
D.
(1)利用因式分解,将多项式分解之后整体代入求值;
(2)一个问题有两个未知数,只有一个条件,根据已知式右边等于0,若将左边转化成两个完全平方式的和,而它们都是非负数,要使和为0,则每个完全平方式都等于0,从而使问题得以求解.
1.若ab=2,a-b=-1,则代数式a2b-ab2的值等于.
【答案】-2.
因式分解-提公因式法.
2.若ab=3,a-2b=5,则a2b-2ab2的值是
直接提取公因式ab,进而将已知代入求出即可.
∵ab=3,a-2b=5,
则a2b-2ab2=ab(a-2b)=3×
5=15.
课时作业☆能力提升
一、选择题
1.下列因式分解中正确的个数为()
①x3+2xy+x=x(x2+2y);
②x2+4x+4=(x+2)2;
③-x2+y2=(x+y)(x-y).
A.3个B.2个C.1个D.0个
【答案】C.
直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可.
解:
①x3+2xy+x=x(x2+2y+1),故原题错误;
②x2+4x+4=(x+2)2;
正确;
③-x2+y2=(x+y)(y-x),故原题错误;
故正确的有1个.
C.
因式分解-运用公式法;
2.(2016湖北宜昌第14题)小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:
a﹣b,x﹣y,x+y,a+b,x2﹣y2,a2﹣b2分别对应下列六个字:
昌、爱、我、宜、游、美,现将(x2﹣y2)a2﹣(x2﹣y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是( )
A.我爱美B.宜晶游C.爱我宜昌D.美我宜昌
(x2﹣y2)a2﹣(x2﹣y2)b2=(x2﹣y2)(a2﹣b2)=(x﹣y)(x+y)(a﹣b)(a+b),因为x﹣y,x+y,a+b,a﹣b四个代数式分别对应爱、我,宜,昌,所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”,故答案选C.
3.下列四个选项中,哪一个为多项式8x2-10x+2的因式()
A.2x-2B.2x+2
C.4x+1D.4x+2
【答案】A.
4.(2016山东滨州第3题)把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)(x﹣3)则a,b的值分别是( )
A.a=2,b=3B.a=﹣2,b=﹣3C.a=﹣2,b=3D.a=2,b=﹣3
【答案】B.
根据多项式乘以多项式的法则可得(x+1)(x﹣3)=x•x﹣x•3+1•x﹣1×
3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3,对比系数可以得到a=﹣2,b=﹣3.故答案选B.
整式的乘法.
5.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式,则m的值可以是( )
A.4B.-4C.±
2D.±
4
6.若分解因式x2+mx-15=(x+3)(x-5),则m的值为( )
A.-2B.2C.-5D.5
先把等式的右边化为x2-2x-15的形式,再求出m的值即可.
∵(x+3)(x-5)=x2-2x-15,
∴m=-2.
故选A.
7.(昌平区一模)把x2y-4y分解因式,结果正确的是( )
A.y(x2-4)B.y(x+2)(x-2)C.y(x+2)2D.y(x-2)2
【答案】B.
8.把x3-xy2分解因式,正确的结果是( )
A.(x+xy)(x-xy)B.x(x2-y2)C.x(x-y)2D.x(x-y)(x+y)
提公因式法与公式法的综合运用.
二、填空题
9.分解因式:
ab-2a=
【答案】a(b-2).
观察原式,公因式为a,然后提取公因式即可.
ab-2a=a(b-2).(提取公因式)
10.(2016山东威海第15题)分解因式:
(2a+b)2﹣(a+2b)2= .
【答案】3(a+b)(a﹣b).
直接利用平方差公式分解可得:
原式=(2a+b+a+2b)(2a+b﹣a﹣2b)=3(a+b)(a﹣b).
11.(2016黑龙江哈尔滨第14题)把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是 .
因式分解.
12.(2016年福建龙岩第11题)因式分解:
a2﹣6a+9= .
(a-3)2.
直接运用完全平方公式分解即可.a2-6a+9=(a-3)2.
13.(2016山东东营第12题)分解因式:
先提取公因式a,再运用平方差公式分解即可,即a3-16a=a(a2-16)=a(a
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