版高考数学一轮复习第十章概率课时分层作业五十九103几何概型文Word格式文档下载.docx
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【解析】选C.设AC=xcm(0<
x<
12),
则CB=12-x(cm),
则矩形面积S=x(12-x)=12x-x2<
32,即(x-8)(x-4)>
0,解得0<
4或8<
12,在数轴上表示为
由几何概型概率公式,得概率为=.
5.在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤lo≤1”发生的概率为( )
【解析】选A.由-1≤lo≤1得≤x+≤2,即0≤x≤,故所求概率为=.
【变式备选】已知函数f(x)=2x,若在[1,8]上任取一个实数x0,则不等式1≤f(x0)≤8成立的概率是( )
【解析】选C.因为f(x)=2x,1≤f(x0)≤8,所以1≤≤8,所以0≤x0≤3,所以=.
6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的各顶点都在球O表面上,在球O内任取一点M,则点M在正方体ABCD-A1B1C1D1内的概率是( )
A.B.
C.D.
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则外接球的半径为a,所以在球O内任取一点M,则点M在正方体ABCD-A1B1C1D1内的概率是=.
7.(2018·
保定模拟)在区间内随机取出一个数a,使得1∈{x|2x2+ax-a2>
0}的概率为( )
A.B.C.D.
【解析】选D.由题意可知a∈,区间长度为6,因为1∈{x|2x2+ax-a2>
0},所以2+a-a2>
0,则-1<
a<
2,区间长度为3,因此,使得1∈{x|2x2+ax-a2>
0}的概率为P==.
8.(2018·
南昌模拟)已知f(x)=+cosx,在区间(0,π)内任取一点x,使得f′(x)>
0的概率为( )
【解析】选C.因为f(x)=+cosx,所以f′(x)=-sinx,令-sinx>
0,sinx<
当x∈(0,π)时,0<
或<
π,故所求概率为=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
9.欧阳修的《卖油翁》中写到:
“(翁)乃取一葫芦,置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为3cm的圆,中间有边长为1cm的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计),则正好落入孔中的概率是________.
【解析】依题意,所求概率为P==.
答案:
10.(2018·
枣庄模拟)已知向量a=(x,1),b=(2,-1),在区间[-1,1]上随机地取一个数x,则事件“a·
b≥0”发生的概率为________.
【解析】由已知得到事件“a·
b≥0”发生的x的不等式为2x-1≥0,即x≥,所以在区间[-1,1]上随机地取一个数x,则事件“a·
b≥0”发生的概率为:
=.
11.(2018·
渭南模拟)若不等式组表示的平面区域为M,x2+y2≤1所表示的平面区域为N,现随机向区域M内抛一粒豆子,则豆子落在区域N内的概率为________.
【解析】不等式组表示的平面区域为M,即为图中的三角形OAB,A,
B(4,4),
设y=2x-4与x轴的交点为C,则点C坐标为(2,0).
S△AOB=S△OAC+S△OBC
=×
2×
+×
4=.
随机向区域M内抛一粒豆子,豆子落在区域N的部分为图中的阴影部分,面积为,由几何概率的计算公式可得P==.
【变式备选】在关于x,y的不等式组所构成的三角形区域内随机取一点,则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率为________.
【解析】画出关于x,y的不等式组所构成的三角形区域,如图,三角形ABC的面积S1=×
3×
4=6,离三个顶点距离都不大于1的地方的面积
S2=π,所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率P=1-=1-.
1-
1.(5分)(2015·
陕西高考)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为( )
A.+B.-
C.-D.+
【解析】选B.由|z|≤1可得(x-1)2+y2≤1,表示以(1,0)为圆心,半径为1的圆及其内部,满足y≥x的部分为如图阴影所示,
由几何概型概率公式可得所求概率为:
P==
=-.
2.(5分)(2018·
南阳模拟)在区间[-1,3]上随机取一个数x,若x满足|x|<
m的概率为0.75,则m=( )
A.0B.1C.2D.3
【解题指南】根据概率求出满足|x|<
m的区间长度,进而确定(-m,m)与[-1,3]的交集,求出m.
【解析】选C.因为区间[-1,3]的区间长度为3-(-1)=4,所以随机地取一个数x,若x满足|x|<
m的概率为0.75,则满足条件的区间长度为4×
0.75=3.
因为m>
0,得|x|<
m的解集为
{x|-m<
m}=(-m,m),
所以(-m,m)与[-1,3]的交集的区间长度为3,
因此x所在的区间为[-1,2),可得m=2.
3.(5分)(2018·
昆明模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中任取一点M,则满足∠AMB>
90°
的概率为( )
【解析】选A.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中任取一点M,满足∠AMB>
的区域为半径为1的球体的,体积为·
·
π·
13=,所以所求概率为=.
【变式备选】
(2018·
长沙模拟)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与点B1不重合),且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为点F,G.若AB=2AA1=2a,EF=a,B1E=B1F,在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点,则该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为________.
【解题指南】解题关键是用间接法表示几何体A1ABFE-D1DCGH的体积.
【解析】在等腰直角三角形B1EF中,因为斜边EF=a,
所以B1E=B1F=a,根据几何概型概率公式,得
P=
=
=1-
=1-=1-·
a·
a=1-=.
4.(12分)(2018·
济南模拟)已知向量a=(2,1),b=(x,y).
(1)若x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量a∥b的概率.
(2)若x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量a,b的夹角是钝角的概率.
【解析】
(1)设“a∥b”为事件A,由a∥b,得x=2y.
所有基本事件为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),共12个基本事件.其中A={(0,0),(2,1)},包含2个基本事件.
则P(A)==,即向量a∥b的概率为.
(2)设“a,b的夹角是钝角”为事件B,由a,b的夹角是钝角,可得a·
b<
0,即2x+y<
0,且x≠2y.
基本事件为
所表示的区域,
B=,
则由图可知,P(B)==,
即向量a,b的夹角是钝角的概率是.
【变式备选】已知集合A=[-3,3],B=[-2,2],设M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合M内随机取出一个元素(x,y).
(1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x2+y2=4内的概率.
(2)求以(x,y)为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率.
(1)A=[-3,3],B=[-2,2],设M={(x,y)|x∈A,y∈B},表示的区域的面积为6×
4=24.
圆x2+y2=4的面积为4π,
所以以(x,y)为坐标的点落在圆x2+y2=4内的概率为P1==.
(2)由题意,到直线x+y=0的距离不大于的点夹在两条平行直线x+y-2=0与x+y+2=0之间,如图所示,
故所求事件的概率为
P2==.
5.(13分)已知关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1.
(1)设集合A={-1,1,2,3,4,5}和B={-2,-1,1,2,3,4},分别从集合A,B中随机取一个数作为a和b,求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.
(2)设点(a,b)是区域内的随机点,求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.
【解析】要使函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a>
0且-≤1,即a>
0且2b≤a.
(1)所有(a,b)的取法总数为6×
6=36个,满足条件的(a,b)有(1,-2),(1,-1),(2,-2),(2,-1),(2,1),(3,-2),(3,-1),(3,1),(4,-2),(4,-1),(4,1),(4,2),
(5,-2),(5,-1),(5,1),(5,2)共16个,所以,所求概率P==.
(2)如图,求得区域的面积为×
8×
8=32.
由求得P,
所以区域内满足a>
0且2b≤a的面积为
×
所以,所求概率P==.
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- 高考 数学 一轮 复习 第十 概率 课时 分层 作业 五十九 103 几何 概型文