等时圆练习题文档格式.docx
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一初速度沿轨道向上抛出,设小球穿过切点时不受阻挡.若该小球恰好能上升到a点,则该小球从b点运动到a点所用时间为多少?
t
「口
0A也是10cm。
杆的上端A
A点由静止开始沿钢绳无
◦自建等时圆
3.在离坡底B为10cm的山坡面上竖直地固定一根直杆,杆咼到坡底B之间有钢绳,一穿心于钢绳上的物体(如图所示)从摩擦地滑下,求它在钢绳上滑行时间(g=10m/s2)
2s
解析:
如图13'
把A0延长到C,使0C=0A=10cm则点0到AB、C三点
的距离相等。
以0为圆心,0A为半径作圆,贝UB、C一定在该圆的圆周上,由结论可知,物体从A到B的时间与从A到C的时间相等,即
tAB二tAc二..2AC/g「220/10=2s。
4.如图所示,在斜坡上有一根旗杆长为L,现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝
AB滑至斜坡底部,又知0B=L。
求小环从A滑到B的时间。
t=2Jg
可以以0为圆心,以L为半径画一个圆。
根据“等时圆”的规律可知,从A滑到B的时间等于从A点沿直径到底端D的时间,所以
5.倾角为30°
的长斜坡上有C、0、B三点,CO=OB=10m,在C点竖直地固定长10m的直杆AO。
A端与C点间和坡底B点间各连有光滑的钢绳,且各穿有钢球(视为质点),将两球从
A点由静止开始,同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端,如图所示,
则小球在钢绳上滑行的时间tAc和tAB分别为(取g=10m/s2)
A.2s和2s
B.s和2s
C^as和4s
D.4s和龍s
A
6.(2011•江西重点中学模拟)如图(甲)是某景点的山坡滑道图片,线部分AE滑行的时间•技术人员通过测量绘制出如图竖直高度,
为了探究滑行者在滑道直(乙)所示的示意图.AC是滑道的D点是AC竖直线上的一点,且有AD=DE=10m,滑道AE可视为光滑,滑g取10m/s2,则滑行者在滑道
行者从坡顶A点由静止开始沿滑道AE向下做直线滑动,
AE上滑行的时间为()
{甲)
(乙)
A.,2s
C..3s答案:
B
2,2s
①设/CAE=0,则由牛顿第二定律得,滑行者的加速度为a=gcos0;
②由几何关系
得,AE=2ADCOSB;
③由运动学公式得,AE=,由以上两式代入数据解得t=2s,故B
正确.
、应用等时圆比较时间
7.如图所示,ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆,a、b、c、
d位于同一圆周上,a点为圆周的最高点,d点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环(图中未画出),三个滑环分别从a、b、c处释放(初速为0),用如t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间,则()
A.t1<
t2<
t3
C.t3>
t1>
t2答案:
D
B.t1>
t2>
D.t1=t2=t3
选任一杆上的环为研究对象,受力分析并建立坐标如图2'
所示,设圆半径为R由
牛顿第二定律得:
mgcost-ma①
再由几何关系,细杆长度L=2Rcosr②
12
设下滑时间为t,则L二一at③
2
由以上三式得,t=2R④
\g
8.如图所示,位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切
于M点,与竖直墙相切于A点,竖直墙上另点B与M的连线和水平面的夹角为60°
C是圆轨道的圆心D是圆轨道上与M靠得很近的点(MD远小于CD),已知在同时刻,a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点;
c球由
C点自由下落到
M点;
d球从
D点由静止出发沿圆轨道运动到
M
点则()
A.
a球最先到达
M点
B.
b球最先到达
C.
c球最先到达
D.
d球最先到达
C
所以C正确。
9.圆01和圆02相切于点P,01、02的连线为一竖直线,如图4所示。
过点P有两条光滑的轨道AB、CD,两个小物体由静止开始分别沿AB、
CD下滑,下滑时间分别为t1、t2,贝V如t2的关系是()
A.t1>
t2
B.t1=t2
C.t1<
D.无法判断
因ABCD处在两个“等时圆”上,所以正确答案为B。
10.如图所示,底边为定长b的直角斜面中,球从光滑直角斜面顶端由静止滑到底端,至少
需要多少时间?
用作图求解。
如图12'
以b为半径、0为圆心作一个圆,作出圆的一条竖直切线MN于圆切于D点。
A点为所作圆的最低点。
由图可看出:
从MN上不同的点由静止滑到A点,以DA时间为最短。
(由“等时圆”可知,图中E、DC各点到达A的时间相等。
)所以小球从底边b为定长的光滑直角斜面上滑下时以45°
的时间为最少,而且此时间与球
11.如图所示,在设计三角形的屋顶时,为了使雨水能尽快地从屋顶流下,并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。
试分析和解:
在屋顶宽度(2L)一定的条件下,
屋顶的倾角应该多大?
雨水流下的最短时间是多少?
如图所示,通过屋顶作垂线AC与水平线BD相垂直;
并以
L为半径、0为圆心画一个圆与ACBC相切。
然后,画倾角不同
的屋顶AiB、A2B、A3B...
从图4可以看出:
在不同倾角的屋顶中,只有A2B是圆的弦,
A2B运动的
而其余均为圆的割线。
根据“等时圆”规律,雨水沿时间最短,且最短时间为
而屋顶的倾角则为
12.如图所示,圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、.cO,其下端都固定于底部圆心O,而上端则掴在仓库侧壁,三块滑块与水平面的夫角依谈为30°
、45°
、60°
。
若有三个小孩同时从a、b、c处
三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑,但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上,所
R1224R°
以下滑时间不一定相等。
设圆柱底面半径为R,则—^=-gsin0t2,t2=—少,当B=45°
©
62gsin2日
时,t最小,当0=30°
和60°
时,sin20的值相等。
13.如图所示,在圆锥形内部有三根固定的光滑细杆,A、B、C为圆锥底部同一圆周上的三
个点,三杆aA、bB、cC与水平底面的夹角分别为6°
°
、
3°
每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出),三个滑环分别从a、b、c处由静止释放(忽略阻力),用b、t2、t3依次
将夹角的数值代入得t1=t3>坛选项D正确。
14.★两光滑斜面的高度都为h,甲、乙两斜面的总长度都为I,只是乙斜面由两部分组成,如图7所示,将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放,不计拐角处的能量损失,
问哪一个球先到达斜面底端?
乙球
构想一辅助圆如图7'
所示:
在AF上取一点O,使OA=OC以O点为圆心,以OA为
半径画圆,此圆交AD于E点。
由“等时圆”可知,
tAC二tAE,由
机械能守恒定律可知:
Vc■Ve,Vb二Vd,所以Vbc■Ved。
又因为两斜面的总长度相等,
s
所以SBC:
:
SdE,根据V得,tBC:
tED,所以有t甲t乙,即乙球先到达斜面底端。
三、应用等时圆求距离
15.如图所示,在同一竖直线上有A、B两点,相距为h,B点离地高度为H,现在要在地
面上寻找一点P,使得A、B两点分别向P点安放的光滑木板,满足物体从静止开始分
d=.H2Hh
别由A和B沿木板下滑道
0P。
由“等时圆”特征可知,当A、B处于等时圆周上,且P
点处于等时圆的最低点时,即能满足题设要求。
如图6'
所示,此时等时圆的半径为:
R=0R=H-
所以
0P
H(Hh)
四、等时圆的动态分析
16.如图1,通过空间任一点A可作无限多个斜面,若将若干个小物体从点
倾角各不相同的光滑斜面同时滑下,那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是()
A.球面
B.抛物面
C.水平面
D.无法确定
由“等时圆”可知,同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上,所以A正确。
17.★如图所示,AB是一倾角为B的输送带,P处为原料输入口,为避免粉尘飞扬,在P
与AB输送带间建立一管道(假使光滑)
管道与竖直方向的夹角应为多大?
,使原料从P处以最短的时间到达输送带上,则
B/2
借助“等时圆”,可以过P点的竖直线为半径作圆,要
求该圆与输送带AB相切,如图所示,C为切点,0为圆心。
显然,沿着PC弦建立管道,原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。
因而,要使原料从P处到达输送带上所用时间最短,需沿着PC建立管
道。
由几何关系可得:
PC与竖直方向间的夹角等于B/2。
18.★如图所示,Oa、Ob、Oc是竖直平面内三根固定的光滑细杆,0、
a、b、c四点位于同一圆周上,d点为圆周的最高点,c为最低点,每根杆上套着个小滑环(图中未画出),三个滑环都从图中0点无
初速释放,用ti、t2、t3分别表示滑到a、b、c所用的时间,则()
A.tl=t2=t3
C.t|<
B.t|>
D.t3>
t|>
过0点做cd的平行线,再做OA,OB,OC,的中垂线,找半径,比较半径的大小。
19.★如图所示,MA、MO、MD是竖直平面内三根固定的光滑细杆,
A、B、C、D四点位于同一圆周上,A点为圆周的最高点,D为最低点,每根杆上套着个小滑环(图中未画出),三个滑环都从图
中M点无初速释放,用tl、t2、t3分别表示滑到A、B、C所用的时间,则()
C.tl<
B.tl>
tl>
五、“形似质异”问题的区分
20.还是如图10的圆周,如果各条轨道不光滑,它们的摩擦因数均为
卩,小滑环分别从a、
b、c处释放(初速为0)到达圆环底部的时间还等不等?
不相等
bd的长为2RcosB,bd面上物体下滑的加速度为a=gcos0-卩gsin0,
tbd=
4Rcos日
gcost-'
gsin
=2
可见t与0有关。
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