高考数学二轮复习专题07三角恒等变换与解三角形讲学案文Word格式.docx
- 文档编号:14747977
- 上传时间:2022-10-24
- 格式:DOCX
- 页数:47
- 大小:1.46MB
高考数学二轮复习专题07三角恒等变换与解三角形讲学案文Word格式.docx
《高考数学二轮复习专题07三角恒等变换与解三角形讲学案文Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学二轮复习专题07三角恒等变换与解三角形讲学案文Word格式.docx(47页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(4)tan==.
4.正弦定理
===2R(2R为△ABC外接圆的直径).
5.余弦定理
a2=b2+c2-2bccosA,
b2=a2+c2-2accosB,
c2=a2+b2-2abcosC.
6.面积公式
S△ABC=bcsinA=acsinB=absinC.
7.解三角形
(1)已知两角及一边,利用正弦定理求解;
(2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一,需讨论;
(3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解;
(4)已知三边,利用余弦定理求解.
8.“变”是解决三角问题的主题,变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是,强化变换意识,抓住万变不离其宗——即公式不变,方法不变,要通过分析、归类把握其规律.
考点一 三角恒等变换及求值
例1、【2017山东,文7】函数最小正周期为
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为,所以其周期,故选C
【变式探究】
(1)(2016·
高考全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=________.
【答案】-
∴θ=α-,
∴tan=tan=-tan.
如图,在Rt△ACB中,不妨设∠A=α,由sinα=可得,
BC=3,AB=5,AC=4,
∴∠B=-α,∴tanB=,
∴tan=-tanB=-.
(2)(2016·
高考全国卷Ⅲ)若tanα=,则cos2α+2sin2α=( )
A. B.
C.1D.
【答案】A
(3)设α∈,β∈,且tanα=,则( )
A.3α-β=B.3α+β=
C.2α-β=D.2α+β=
【解析】通解:
由tanα=得=,即sinαcosβ=cosα+sinβcosα,所以sin(α-β)=cosα,又cosα=sin,所以sin(α-β)=sin,又因为α∈,β∈,所以-<α-β<,0<-α<,因为α-β=-α,所以2α-β=,故选C.
【方法规律】1.三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换:
特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan45°
等;
(2)项的分拆与角的配凑:
如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等;
(3)降幂与升幂:
正用二倍角公式升幂,逆用二倍公式降幂;
(4)弦、切互化:
切化弦,弦化切,减少函数种类.
2.解决条件求值问题的三个关注点
(1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表示未知角.
(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.
(3)求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知求这个角的某种三角函数值,然后结合角的取值范围,求出角的大小.
【变式探究】已知sin=,cos2α=,则sinα等于( )
A.B.-
C.-D.
考点二 正、余弦定理的简单应用
例2、【2017课标3,文15】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°
,b=,c=3,则A=_________.
【答案】75°
【解析】由题意:
,即,结合可得,则.
高考全国卷Ⅲ)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA=( )
A.B.
C.D.
【答案】D
设BC边上的高为AD,则BC=3AD,DC=2AD,所以AC==AD.由正弦定理,知=,即=,解得sinA=,故选D.
优解:
设出BC长度求边,用正弦定理求sinA.
设BC=3,则高AD=BD=1,DC=2.
∴AC=,
∴sinA==.
(2)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为________.
【答案】
形时,S=×
22×
sin60°
=.
【方法技巧】
1.解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;
如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;
以上特征都不明显时,则考虑两个定理都有可能用到.
2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角恒等变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”.
【变式探究】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,且c=,C=,则△ABC的面积是( )
C.D.或
考点三 正余弦定理的综合应用
例3、【2017课标1,文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。
已知,a=2,c=,则C=
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由题意得
,
即,所以.
由正弦定理得,即,
因为c<
a,所以C<
A,
所以,故选B.
【变式探究】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinC=-3cosAcosB,tanAtanB=1-,c=.
(1)求的值;
(2)若+=1,求△ABC的周长与面积.
【解析】
(1)由sinC=-3cosAcosB可得sin(A+B)=-3cosAcosB,
即sinAcosB+cosAsinB=-3cosAcosB,因为tanAtanB=1-,所以A,B≠,两边同时除以cosAcosB,得到tanA+tanB=-3,因为tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,tan(A+B)===-,所以tanC=
【方法规律】
1.注意利用第
(1)问的结果:
在题设条件下,如果第
(1)问的结果第
(2)问能用得上,可以直接用,有些题目不用第
(1)问的结果甚至无法解决,如本题即是在第
(1)问的基础上求解.
2.写全得分关键:
在三角函数及解三角形类解答题中,应注意解题中的关键点,有则给分,无则不得分,所以在解答题时一定要写清得分关键点,如第
(1)问中,没有将正弦定理表示出来的过程,则不得分;
第
(2)问中没有将面积表示出来则不得分,只有将面积转化为得分点⑦才得分.
【变式探究】在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,2acosC+2ccosA=a+c.
(1)若=,求的值;
(2)若C=,且c-a=8,求△ABC的面积S.
解:
(1)∵2acosC+2ccosA=a+c
由正弦定理:
2sinAcosC+2sinCcosA=sinA+sinC
∴sinA+sinC=2sin(A+C)=2sin(π-B)=2sinB
∴a+c=2b ①
∵=,∴= ②
由①②得:
(2)∵c-a=8,a+c=2b,
∴b=a+4,c=a+8,
∵C=.
由余弦定理得:
(a+8)2=a2+(a+4)2-2a·
(a+4)cos,
解得:
a=6,∴b=10.
所以S=absinC=×
6×
10×
=15.
考点四 三角形的交汇问题
例4、已知向量m=(sinx,-1),n=,函数f(x)=(m+n)·
m
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象,在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,若a=3,g=,sinB=cosA,求b的值.
∴cosA=±
∵在△ABC中,sinB=cosA>0,∴sinB=.
=,
∴b===3.
【方法规律】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支,内容繁杂,且平面向量与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题,都会出现交汇问题中的难点,对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”,再利用三角函数的相关知识进行求解.
【变式探究】在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sin(A+C),),向量n=,且m∥n.
(1)求角B的大小;
(2)若sinAsinC=sin2B,求a-c的值.
1.【2017课标1,文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。
所以,故选B.
2.【2017课标3,文6】函数的最大值为()
A.B.1C.D.
3.【2017课标II,文3】函数的最小正周期为
A.B.C.D.
【解析】由题意,故选C.
4.【2017课标3,文4】已知,则=()
A.B.C.D.
【解析】.
所以选A.
5.【2017山东,文4】已知,则
A.B.C.D.
【解析】由得,故选D.
5.【2017山东,文7】函数最小正周期为
【解析】因为,所以其周期,故选C.
7.【2017浙江,13】已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.
点D为AB延长线上一点,BD=2,连结CD,则△BDC的面积是______,cos∠BDC=_______.
综上可得,△BCD面积为,.
8.【2017北京,文9】在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.
若sin=,则sin=_________.
【答案】
【解析】因为角与角的终边关于轴对称,所以,所以.
9.【2017课标3,文15】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°
1.【2016高考新课标2文数】若,则()
(A)(B)(C)(D)
2.【2016高考新课标3文数】若,则()
(A)(B)(C)1(D)
由,得或,所以,故选A.
3.【2016年高考四川文数】=.
【解析】由二倍角公式得
1.【2016高考新课标3文数】在中,,边上的高等于,则()
2.【2016高考新课标2文数】的内角的对边分别为,若,,,则.
【解析】因为,且为三角形的内角,所以,,又因为,所以.
3.【2016高考天津文数】在△ABC中,若,BC=3,,则AC=()
(A)1(B)2(
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 数学 二轮 复习 专题 07 三角 恒等 变换 三角形 讲学
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)