最新考研高等数学模拟训练考题含答案解析Word文件下载.docx
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(3).
,
3.试证:
方程只有一个实根.
证明:
设,则为严格单调减少的函数,因此至多只有一个实根.而,即为的一个实根,故只有一个实根,也就是只有一个实根.
4.设a为非零常数,b为正常数,求y=ax2+bx在以0和为端点的闭区间上的最大值和最小值.
得不可能属于以0和为端点的闭区间上,
而,
故当a>
0时,函数的最大值为,最小值为;
当a<
0时,函数的最大值为,最小值为.
5.在半径为r的球中内接一正圆柱体,使其体积为最大,求此圆柱体的高.
设圆柱体的高为h,则圆柱体底圆半径为,
令,得
即圆柱体的高为时,其体积为最大.
6.判定下列曲线的凹凸性:
(1)y=4x-x2;
,故知曲线在内的图形是凸的.
由sinhx的图形知,当时,,当时,,
故y=sinhx的曲线图形在内是凸的,在内是凹的.
;
,故曲线图形在是凹的.
(4)y=xarctanx.
故曲线图形在内是凹的.
7.用定积分的几何意义求下列积分值:
解:
由几何意义可知,该定积分的值等于由x轴、直线x=1、y=2x所围成的三角形的面积,故原式=1.
.
由几何意义可知,该定积分的值等于以原点为圆心,半径为R的圆在第一象限内的面积,故原式=.
8.证明下列不等式:
证明:
当时,即
由积分的保序性知:
即
(2)
当时,
即
9.求由方程所确定的隐函数的导数.
方程两边对x求导,有
又
故.
10.设星形线的参数方程为x=acos3t,y=asin3t,a>
0求
d)星形线所围面积;
e)绕x轴旋转所得旋转体的体积;
f)星形线的全长.
(1)
.
(3)xt′=3acos2tsint
yt′=3asin2tcost
xt′2+yt′2=9a2sin2tcos2t,利用曲线的对称性,
11.求正弦交流电经过半波整流后得到电流
的平均值和有效值。
有效值
故有效值为.
12.求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率:
(1)y=ax+b;
(其中a,b∈R,a≠0)
y′=a即为边际函数.
弹性为:
增长率为:
.
(2)y=aebx;
边际函数为:
y′=abebx
(3)y=xa
y′=axa-1.
13.某父母打算连续存钱为孩子攒学费,设建行连续复利为5%(每年),若打算10年后攒够5万元,问每年应以均匀流方式存入多少钱?
设每年以均匀流方式存入x万元,则
5=
即5=20x(e0.51)
≈0.385386万元=3853.86元.
习题六
14.一动点沿抛物线y=x2运动,它沿x轴方向的分速度为3cm·
s-1,求动点在点(2,4)时,沿y轴的分速度.
当x=2时,(cm·
s-1).
15.将下列函数展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间:
(1)f(x)=ln(2+x);
(2)f(x)=cos2x;
(3)f(x)=(1+x)ln(1+x);
(4);
(5);
(6);
(1)
由于,(-1<
x≤1)
故,(-2≤x≤2)
因此,(-2≤x≤2)
(2)
由,(-∞<
x<
+∞)
得
所以
,(-∞<
(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)
由,(-1≤x≤1)
(-1≤x≤1)
(4)
由于(-1≤x≤1)
故
(5)
(6)由,x∈(-∞,+∞)
得,x∈(-∞,+∞)
16.将函数展开成x的幂级数.
由于
所以(|x|≤1)
17.写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数,其中f(x)在[-π,π)上的表达式为:
(3)
(4).
(1)函数f(x)满足狄利克雷定理的条件,x=nπ,n∈z是其间断点,在间断占处f(x)的傅里叶级数收敛于
,在x≠nπ,有
于是f(x)的傅里叶级数展开式为
(x≠nπ)
(2)函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f(x),注意到f(x)为偶函数,从而f(x)cosnx为偶函数,f(x)sinnx为奇函数,于是
,,
(n=1,2,…)
所以,f(x)的傅里叶级数展开式为:
(-∞<
∞)
(3)函数在x=(2n+1)π(n∈z)处间断,在间断点处,级数收敛于0,当x≠(2n+1)π时,由f(x)为奇函数,有an=0,(n=0,1,2,…)
(x≠(2n+1)π,n∈z)
(4)因为作为以2π为周期的函数时,处处连续,故其傅里叶级数收敛于f(x),注意到f(x)为偶函数,有bn=0(n=1,2,…),
所以f(x)的傅里叶级数展开式为:
x∈[-π,π]
18.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数,它们在一个周期内的表达式分别为:
(1)f(x)=1-x2;
(1)f(x)在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在每一点都收敛于f(x),由于f(x)为偶函数,有bn=0(n=1,2,3,…)
,
(2),
而函数f(x)在x=3(2k+1),k=0,±
1,±
2,…处间断,故(x≠3(2k+1),k=0,±
2,…)
19.求矩形脉冲函数的傅氏变换
20.计算下列对坐标的曲线积分:
(1),其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧;
(2)其中L为圆周(x-a)2+y2=a2(a>
0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);
(3),其中L为圆周x=Rcost,y=Rsint上对应t从0到的一段弧;
(4),其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行);
(5),其中Γ为曲线x=kθ,y=acosθ,z=asinθ上对应θ从0到π的一段弧;
(6),其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线;
(7),其中Γ为有向闭拆线ABCA,这里A,B,C依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1);
(8),其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧.
(1)L:
y=x2,x从0变到2,
(2)如图11-1所示,L=L1+L2.其中L1的参数方程为
图11-1
L2的方程为y=0(0≤x≤2a)
(3)
(4)圆周的参数方程为:
x=acost,y=asint,t:
0→2π.
(5)
(6)直线Γ的参数方程是t从1→0.
(7)(如图11-2所示)
图11-2
,x从0→1
,z从0→1
(8)
21.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积:
(1)星形线x=acos3t,y=asin3t2ex2;
(2)双纽线r2=a22cos2θ;
(3)圆x2+y2=2ax.
(2)利用极坐标与直角坐标的关系x=rcosθ,y=rsinθ得
从而xdy-ydx=a2cos2θdθ.
于是面积为:
(3)圆x2+y2=2ax的参数方程为
22.证明:
在整个xOy平面内除y轴的负半轴及原点外的开区域G内是某个二元函数的全微分,并求出这样的一个二元函数.
证:
,,显然G是单连通的,P和Q在G内具有一阶连续偏导数,并且.
,(x,y)∈G
因此在开区域G内是某个二元函数u(x,y)的全微分.
由
知.
23.求下列微分方程的通解:
;
特征方程为
解得
故原方程通解为
故原方程通解为.
24.求下列函数在所示点的导数:
(1),在点;
(2),在点;
(3),在点;
(4)在点.
25.设某企业固定成本为50,边际成本和边际收入分别为
C′(x)=x2-14x+111,R′(x)=100-2x.
试求最大利润.
设利润函数L(x).
则L(x)=R(x)-C(x)-50
由于L′(x)=R′(x)-C(x)=(100-2x)-(x2-14x+111)=-x2+12x-11
令L′(x)=0得x=1,x=11.
又当x=1时,L″(x)=-2x+12>
0.当x=11时L″(x)<
0,故当x=11时利润取得最大值.且最大利润为
L(11)=
26.利用适当的变换化下列方程为齐次方程,并求出通解:
设,则原方程化为
令
代回并整理得
作变量替换,令
原方程化为
令,则得
分离变量,得
积分得
代回并整理得
作变量替换则
令则
原方程可化为
积分得
27.指出下列各平面的特殊位置,并画出其图形:
(1)y=0;
(2)3x-1=0;
(3)2x-3y-6=0;
(4)x–y=0;
(5)2x-3y+4z=0.
(1)y=0表示xOz坐标面(如图7-2)
(2)3x-1=0表示垂直于x轴的平面.(如图7-3)
图7-2图7-3
(3)2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y=-2的平面.(如图7-4)
(4)x–y=0表示过z轴的平面(如图7-5)
(5)2x-3y+4z=0表示过原点的平面(如图7-6).
图7-4图7-5图7-6
28.求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量.
n1={3,-1,7},n2={1,-1,2}.
29.建立以点(1,3,-2)为中心,且通过坐标原点的球面方程.
球的半径为
设(x,y,z)为球面上任一点,则(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14
即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.
30.指出下列方程表示怎样的曲面,并作出图形:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
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