高二数学最新教案高二下册数学人教版教材优化全析Word文件下载.docx
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∵AC=A′C,AD=A′D,CD=CD,
∴△ACD≌△AC′D.
得∠ACE=∠A′CE.
进而有△ACE≌△AC′E,
得AE=A′E.
∴g是AA′的垂直平分线.于是l⊥g.
(2)当l、g不都通过点B时,过点B作l′、g′,使l′∥l,g′∥g.同理可证l′⊥g′,因而l⊥g.
综上所述,无论l、g是否通过点B,总有l⊥g.由于g是平面α内的任一直线,因而得
l⊥α.
竖立旗杆时,只需让旗杆与地面内的两条相交直线都垂直,就能保证旗杆垂直于地面.
l⊥a,l⊥b,aα,bα,那么l⊥α吗?
解:
不一定.
如图9-4-4所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B⊥BC,A1B⊥AD.AD平面ABCD,BC平面ABCD,但是很明显A1B与平面ABCD不垂直.
由此可见,应用判定定理时,必须注意“两条”是指两条相交直线,否则会引起错误的判断.
(2)直线与平面垂直的判定方法
例如(教材例1):
求证如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.
a∥b,a⊥α(如图9-4-5)
求证:
b⊥α.
证明:
(定义法)设直线m是α内的任意一条直线.
∵a⊥α,
∴a⊥m.
又∵a∥b,
∴b⊥m.
图9-4-5
∴b⊥α.
例如:
如图9-4-6所示,S是矩形ABCD所在平面外一点,且SA⊥平面AC,SA=AD,E、F分别是AB、SC的中点,求证:
EF⊥平面SCD.
取SD的中点G,连AG、GF,
则GF.
又∵ABCD,
∴GF.
又∵AE=,
∴GFAE,即AEFG是平行四边形.
∴AG∥EF.
又∵SA=AD,AG⊥SD.
又∵SA⊥平面AC,
∴SA⊥CD.
又∵CD⊥AD,
∴CD⊥平面SAD.
∴AG⊥CD.
∴AG⊥平面SCD.
∴EF⊥平面SCD.
又例如:
如图9-4-7,在空间四边形ABCD中,BC=AC,AD=BD,BE⊥CD于E,AH⊥BE于H,求证:
AH⊥平面BCD.
(定理法)取AB中点F,连CF、DF,
∵AC=BC,∴CF⊥AB.
图9-4-7
又∵AD=BD,∴DF⊥AB.
又CF∩DF=F,
∴AB⊥平面CDF.
又CD平面CDF,∴CD⊥AB.
AB∩BE=B,
又CD⊥BE,∴CD⊥平面ABE.
∴CD⊥AH.
又AH⊥BE,∴AH⊥平面BCD.
全析提示
3.直线和平面垂直的性质
l⊥α,aαl⊥a.
a∥b,a⊥αb⊥α.
a⊥α,b⊥αa∥b.
(1)性质
性质①如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于平面的任意一条直线.
性质②两条平行线中的一条与平面垂直,那么另一条也与这个平面垂直.
性质③如果两条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
性质④过一点有且只有一条直线和已知平面垂直;
过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.
(2)性质应用
已知直线aα,a⊥b,b⊥α,求证:
a∥α.
设b∩α=P,直线b上任取异于P的一点A,过A点作a′∥a,则a′∩b=A,那么a′与b确定一个平面β,如图9-4-8.
又∵P∈α,P∈β,
图9-4-8
∴α、β相交于c.
∵b⊥α,cα,
∴b⊥c.
又∵b⊥a,a∥a′,
∴b⊥a′.
又∵a′、b、c共面,
∴a′∥c.∴a∥c.
又∵cα,
∴a∥α.
已知l⊥α于A,AP⊥l,求证:
APα.
(反证法)如图9-4-9所示,假设APα,
设AP与l确定的平面为β,α∩β=AM,
∵l⊥α,
∴l⊥AM.
又∵l⊥AP,
则在平面β内,过点A有两条直线垂直于l,这是不可能的,所以APα.
正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF是A1D和AB1的公垂线.求证:
BD1∥EF.
连结A1C1和C1D,如图9-4-10.
∵BB1⊥A1B1,BB1⊥B1C1,
∴BB1⊥面A1C1.
∴BB1⊥A1C1.
又∵A1C1⊥B1D1,
∴A1C1⊥面BB1D1D.
∴BD1⊥A1C1.
同理可证BD1⊥C1D.
∴BD1⊥面A1DC1.
∵ADB1D1,
∴ADC1B1是平行四边形.
∴AB1∥DC1.
∴EF⊥C1D.又∵EF⊥A1D,
∴EF⊥面A1DC1.
∴EF∥BD1.
(3)点到平面的距离
①定义
从平面外一点引这个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这一定义实际上给出了求点到面距离的方法,即转化为求此点与垂足间的距离.
②点到平面距离的求法
已知△ABC所在平面外一点P到A、B、C三点的距离均为a,且PA、PB、PC两两垂直,求P到平面ABC的距离.
图9-4-11
解法一:
(几何法)如图9-4-11所示,由已知得AB=BC=CA=,则ABC是等边三角形.过P作PO⊥面ABC于O,连结OA、OB、OC,则OP是P到平面ABC的距离,△PAO≌△PBO≌△PCO.
∴OA=OB=OC,即O是△ABC的外心.
∴OA=.
∴OP=.
∴P到平面ABC的距离是.
解法二:
(等体积法)
由已知得AB=BC=CA=,则△ABC是等边三角形.设P到平面ABC的距离为h.
∵PA⊥PB,PA⊥PC,
∴PA⊥平面PBC.
∴VA-PBC=·
PA=.
又∵VA-PBC=VP-ABC,
∴·
·
h=.
∴h=.
∴点P到平面ABC的距离为.
如图9-4-12所示,已知正三角ABC的边长为6cm,点O到△ABC的各顶点的距离都是4cm,求点O到这个三角形所在平面的距离.
图9-4-12
过O作OH⊥面ABC于H,延长AH交BC于E.
∵OA=OB=OC,
∴HA=HB=HC,
即H是正三角形ABC的中心.
∴E是BC的中点.
在Rt△BHE中,BE==·
ABsin60=(cm).
∴OH=
==2(cm),
即点O到平面ABC的距离是2cm.
(4)直线到与它平行平面的距离
一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.这一定义实际上给出了求直线和平面距离的方法,即转化为求直线上某一点到平面的距离.
②直线和平面距离的求法
例如(教材例2):
已知一条直线l和一个平面α平行,求证:
直线l上各点到平面α的距离相等.
如图9-4-13,在l上任取A、B两点,且作AA′⊥α于A′,BB′⊥α于B′,则AA′∥BB′.
设AA′与BB′确定一个平面β,那么有α∩β=A′B′.
∵l∥α,lβ,
∴l∥A′B′.
∴AA′=BB′.
由A、B是l上任取的两点,可知直线l上各点到平面α的距离相等.
已知边长为a的两个正方形ABCD和CDEF成120°
的二面角,如图9-4-14,求直线CD和平面AEF的距离.
(定义法)
∵CD∥EF,CD平面AEF,EF平面AEF.
图9-4-14
∴CD∥平面AEF.在平面ADE内,过点D作DH⊥AE,垂足为H,
∴DC⊥AD,DC⊥DE.
∴DC⊥平面AED,EF∥CD,EF⊥平面ADE.
∴EF⊥HD,又HD⊥AE.
∴HD⊥平面AEF.
∴HD的长是CD到平面AEF的距离,DC⊥AD,DC⊥ED.
∴∠ADE是两正方形组成的二面角的平面角,
∴∠ADE=120°
.在△DAE中,
AE=,
∴HD====.
∴CD到平面AEF的距离为.
由上例可得,求直线到与它平行平面距离的常用方法:
定义法,即根据定义,转化为求点到平面的距离.
4.斜线在平面内的射影
(1)定义
过一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面内的射影,这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线.与平面相交,但不垂直的直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫斜足,从平面外一点向平面引斜线,这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.从斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影,垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影.
(2)应用
(2004年全国高考)已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影有可能是
①两条平行直线
②两条互相垂直的直线
③同一条直线
④一条直线及其外一点
在上面的结论中,正确结论的编号是______.(写出所有正确结论的编号).
如图9-4-15所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与BC1在平面AC上的射影分别是点A和BC,故④正确;
AB1与BC1在平面AC上的射影分别是AB和BC,故②正确;
A1D1和BC1在平面AC上的射影分别是AD和BC,故①正确.
图9-4-15
假设a、b在α上的射影是同一条直线,那么a、b上所有的点在同一平面内,即a、b共面,这与a、b异面矛盾,假设不成立,即③不可能.
故填①、②、④.
(3)斜线段的性质
①斜线段的性质
射影定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:
a.射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长;
b.相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长;
c.垂线段比任何一条斜线都短.
②斜线段性质的应用
求证过直角三角形斜边的中点,且垂直于它所在平面的直线上任一点到三角形各顶点的距离相等.
已知Rt△ABC中,∠ACB=,D是AB的中点,PD⊥面ABC.求证:
PA=PB=PC.
如图9-4-16,连结DC.
∵D是AB的中点,
图9-4-16
∴DA=DB=DC.
又∵PD⊥面ABC,
∴PA=PB=PC.
5.直线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在这个平面内的射线所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.规定:
一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;
一条直线和平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是0°
的角.
两个结论:
(不难证明,自己试一试)
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