23 双曲线1讲学案 学年高中数学选修11苏教版Word格式文档下载.docx
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0且b>
0,但a与b的大小关系不确定.
3.在双曲线中a、b、c满足c2=a2+b2,与椭圆不同.
用待定系数法求双曲线方程
[例1] 已知双曲线过点P(-,-),Q两点,求双曲线的标准方程.
[思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程,再构造关于a、b、c的方程组求解,从而得出双曲线的标准方程.也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<
0)的形式,将两点代入,简化运算过程.
[精解详析] 法一:
当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a>
0,b>
0),
∵P(-,-),Q两点在双曲线上.
∴
解得即a2=1,b2=3,
∴所求双曲线的标准方程为x2-=1.
当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为
-=1(a>
∵P(-,-),Q两点在双曲线上,
解得(不符合题意,舍去).
综上:
所求双曲线的标准方程为x2-=1.
法二:
设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<
因为双曲线过两点P(-,-),Q,
得解得
所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.
[一点通] 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为:
1.根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)已知双曲线与椭圆+=1有共同的焦点,且过点(,4),求双曲线的方程;
(2)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上.
解:
(1)椭圆+=1的焦点坐标为F1(0,-3),F2(0,3),故可设双曲线的方程为-=1.
由题意,知解得
故双曲线的方程为-=1.
(2)∵焦点在x轴上,c=,
∴设所求双曲线方程为-=1(其中0<
λ<
6).
∵双曲线经过点(-5,2),
∴-=1,∴λ=5或λ=30(舍去).
∴所求双曲线方程是-y2=1.
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)a=4,c=5,焦点在y轴上;
(2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点A(-5,6).
(1)由题设知,a=4,c=5,
由c2=a2+b2,得b2=c2-a2=52-42=9.
因为双曲线的焦点在y轴上,所以所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)由已知得c=6,且焦点在y轴上.因为点A(-5,6)在双曲线上,所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a,即2a=|-|=|13-5|=8,则a=4,b2=c2-a2=62-42=20.
因此,所求双曲线的标准方程是-=1.
曲线方程的讨论
[例2] 若方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线,求实数m的取值范围.
[思路点拨] 由双曲线的焦点在y轴上,得关于m的不等式组,进而解不等式组求m的范围.
[精解详析] 由方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线,得解得m>
5.
所以实数m的取值范围是(5,+∞).
[一点通] 给出方程+=1(mn≠0),当mn<
0时,方程表示双曲线,当时,表示焦点在x轴上的双曲线;
当时,表示焦点在y轴上的双曲线.
3.k>9是方程+=1表示双曲线的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).
解析:
+=1表示双曲线的充要条件是
(9-k)·
(k-4)<0,即k>9或k<4.
因为k>9是k>9或k<4的充分不必要条件.
即k>9是方程+=1表示双曲线的充分不必要条件.
答案:
充分不必要
4.若方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则实数m的取值范围是________;
若该方程表示双曲线,则m的取值范围是________.
①若表示焦点在x轴上的双曲线,则⇒-3<
m<
2.
②若该方程表示双曲线,则
(2-m)(|m|-3)<
0.
解得-3<
2或m>
3.
(-3,2) (-3,2)∪(3,+∞)
双曲线的定义及其标准方程的应用
[例3] 已知F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,P是双曲线左支上的点,且PF1·
PF2=32,试求△F1PF2的面积.
[思路点拨] 本题是有关双曲线的焦点三角形问题,解答本题的关键是求得∠F1PF2的大小.由余弦定理,根据已知条件,结合双曲线的定义即可求得结果.
[精解详析] 双曲线的标准方程为-=1,可知a=3,b=4,c==5.由双曲线的定义,
得|PF2-PF1|=2a=6,将此式两边平方,得PF+PF-2PF1·
PF2=36,
∴PF+PF=36+2PF1·
PF2=36+2×
32=100.
在△F1PF2中,由余弦定理,得
cos∠F1PF2===0,
∴∠F1PF2=90°
,
∴S△F1PF2=PF1·
PF2=×
32=16.
[一点通] 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要考虑定义|PF1-PF2|=2a,其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立关于PF1、PF2、F1F2的方程,解方程组可求得PF1、PF2或PF1·
PF2,再解决相关问题.
5.已知双曲线-=1的左焦点为F,点P为双曲线右支上一点,且PF与圆x2+y2=16相切于点N,M为线段PF的中点,O为坐标原点,则MN-MO=________.
如图,设F′是双曲线的右焦点,连接PF′,因为M,O分别是FP,FF′的中点,所以MO=PF′,又FN==5,由双曲线的定义知PF-PF′=8,故MN-MO=-PF′+MF-FN=(PF-PF′)-FN=×
8-5=-1.
-1
6.如图所示,已知定圆F1:
x2+y2+10x+24=0,定圆F2:
x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
圆F1:
(x+5)2+y2=1,圆F2:
(x-5)2+y2=42,
∴F1(-5,0),半径r1=1;
F2(5,0),半径r2=4.
设动圆M的半径为R,则MF1=R+1,MF2=R+4,
∴MF2-MF1=3<F1F2=10.
∴动圆圆心M的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支,
且a=,c=5.
∴b2=25-=.
∴动圆圆心M的轨迹方程为-=1.
1.用定义法求双曲线的标准方程时,要注意是一支还是两支.
2.用待定系数法求双曲线的标准方程时,要先判断焦点所在的位置,设出标准方程后,由条件列出a,b,c的方程组.
[对应课时跟踪训练(十)]
1.双曲线-=1上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为________.
设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,不妨设PF1=11,根据双曲线的定义知|PF1-PF2|=2a=10,∴PF2=1或PF2=21,而F1F2=14,∴当PF2=1时,1+11<
14(舍去),∴PF2=21.
21
2.已知点F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,I是△PF1F2的内心,且S△IPF2=S△IPF1-λS△IF1F2,则λ=________.
设△PF1F2内切圆的半径为r,则由S△IPF2=S△IPF1-λS△IF1F2⇒×
PF2×
r=×
PF1×
r-λ×
F1F2×
r⇒PF1-PF2=λF1F2,根据双曲线的标准方程知2a=λ·
2c,∴λ==.
3.若方程+=1(k∈R)表示双曲线,则k的范围是________.
依题意可知:
(k-3)(k+3)<
0,求得-3<
k<
-3<
3
4.已知椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则实数a=________.
由双曲线-=1可知a>
0,且焦点在x轴上,根据题意知4-a2=a+2,即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2(舍去).故实数a=1.
1
5.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2=(,0),M是此双曲线上的一点,且满足·
=0,||·
||=2,则该双曲线的方程是________.
∵·
=0,∴⊥.
∴||2+||2=40.
∴(||-||)2
=||2-2||·
||+||2
=40-2×
2=36.
∴|||-|||=6=2a,a=3.
又c=,∴b2=c2-a2=1,
∴双曲线方程为-y2=1.
-y2=1
6.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)以椭圆+=1的长轴端点为焦点,且经过点P(5,);
(2)过点P1(3,-4),P2(,5).
(1)因为椭圆+=1的长轴端点为A1(-5,0),A2(5,0),所以所求双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0).
由双曲线的定义知,|PF1-PF2|
=|-|
=|-|=8,即2a=8,则a=4.又c=5,所以b2=c2-a2=9.
故所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<
0),分别将点P1(3,-4),P2(,5)代入,得解得故所求双曲线的标准方程为-=1.
7.设F1,F2为双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=120°
.求△F1PF2的面积.
由已知得a=2,b=1;
c==,
由余弦定理得:
F1F=PF+PF-2PF1·
PF2cos120°
即
(2)2=(PF1-PF2)2+3PF1·
PF2
∵|PF1-PF2|=4.∴PF1·
PF2=.
PF2·
sin120°
=×
×
=.
8.如图,在△ABC中,已知|AB|=4,且三内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.
以AB边所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图所示).则A(-2,0),B(2,0).设边BC、AC、AB的长分别为a、b、c,由正弦定理得sinA=,sinB=,sinC=(R为△ABC外接圆的半径).
∵2sinA+sinC=2sinB,∴2a+c=2b,即b-a=.
从而有|CA|-|CB|=|AB|=2<
|AB|.
由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).∵a=,c=2,∴b2=6.
∴顶点C的轨迹方程为-=1(x>
).
2.3.2 双曲线的几何性质
双曲线的简单几何性质
歌曲《悲伤双曲线》的歌词如下:
如果我是双曲线,你就是那渐近线,如果我是反比例函数,你就是那坐标轴,虽然我们有缘,能够坐在同一平面,然而我们又无缘,漫漫长路无交点.
双曲线的对称轴、对称中心是什么?
坐标轴;
原点.
过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲线有交点吗?
有一个交点.
双曲线的几何性质
图形
性质
焦点
焦距
2c
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≥a或y≤-a,x∈R
顶点
a,0)
a)
对称性
关于x轴、y轴、坐标原点对称
轴长
实轴长=2a,虚轴长
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