小学奥数之裂项.doc
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小学奥数之裂项.doc
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这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:
(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
(2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
(5)n·n!
=(n+1)!
-n!
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
(关键是找数列的通项结构)
1、分组法求数列的和:
如an=2n+3n
2、错位相减法求和:
如an=n·2^n
3、裂项法求和:
如an=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和:
如an=n
5、求数列的最大、最小项的方法:
①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3
②(an>0)如an=
③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=an^2+bn+c(a≠0)
6、在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解:
(1)当a1>0,d<0时,满足{an}的项数m使得Sm取最大值.
(2)当a1<0,d>0时,满足{an}的项数m使得Sm取最小值.
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
对于较长的复杂算式,单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。
如果算式中每一项的排列都是有规律的,那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。
而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。
通常的做法是:
把算式中的每一项裂变成两项的差,而且是每个裂变的后项(或前项)恰好与上个裂变的前项(或后项)相互抵消,从而达到“以短制长”的目的。
下面我们以整数裂项为例,谈谈裂项法的运用,并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100
分析:
这个算式实际上可以看作是:
等差数列1、2、3、4、5……98、99、100,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。
算式的特点概括为:
数列公差为1,因数个数为2。
1×2=(1×2×3-0×1×2)÷(1×3)
2×3=(2×3×4-1×2×3)÷(1×3)
3×4=(3×4×5-2×3×4)÷(1×3)
4×5=(4×5×6-3×4×5)÷(1×3)
……
98×99=(98×99×100-97×98×99)÷(1×3)
99×100=(99×100×101-98×99×100)÷(1×3)
将以上算式的等号左边和右边分别累加,左边即为所求的算式,右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为(99×100×101-0×1×2)÷3。
解:
1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100
=(99×100×101-0×1×2)÷3
=333300
计算之裂项习题1
计算之裂项习题2
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