立体几何题型的解题技巧适合的总结提高用Word格式.docx
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例5(2007年北京卷文)
如图,在中,,斜边.可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角的直二面角.是的中点.
()求证:
平面平面;
()求异面直线与所成角的大小.
例6.(2006年广东卷)如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8,BC是⊙O的直径,AB=AC=6,OE//AD.
(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小;
(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.
考点5直线和平面所成的角
例7.(2007年全国卷Ⅰ理)
四棱锥中,底面为平行四边形,侧面底面.已知,,,.
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小.
考点6二面角
例8.(2007年湖南卷文)
如图,已知直二面角,,,,,,直线和平面所成的角为.
(I)证明;
(II)求二面角的大小.
例9.(2006年重庆卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,DAB为直角,AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.
(Ⅰ)试证:
CD平面BEF;
(Ⅱ)设PA=k·
AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.
考点7利用空间向量求空间距离和角
例10.(2007年江苏卷)
如图,已知是棱长为的正方体,
点在上,点在上,且.
(1)求证:
四点共面;
(2)若点在上,,点在上,
,垂足为,求证:
(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小,求.
例11.(2006年全国Ⅰ卷)
如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线,MN是它们的公垂线段,点A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN
(I)证明ACNB;
(II)若,求NB与平面ABC所成角的余弦值.
考点8简单多面体的有关概念及应用,主要考查多面体的概念、性质,主要以填空、选择题为主,通常结合多面体的定义、性质进行判断.
例12.如图
(1),将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最大.
例13.如图左,在正三角形ABC中,D、E、F分别为各边的中点,G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点,将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后,GH与IJ所成角的度数为()
A、90°
B、60°
C、45°
D、0°
例14.长方体ABCD-A1B1C1D1中,
1设对角线D1B与自D1出发的三条棱分别成α、β、角
求证:
cos2α+cos2β+cos2=1
2设D1B与自D1出发的三个面成α、β、角,求证:
cos2α+cos2β+cos2=2
考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算
例15.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=a,BC=CA=AA1=a,
A1在底面△ABC上的射影O在AC上
1求AB与侧面AC1所成角;
2若O恰好是AC的中点,求此三棱柱的侧面积.
例16.等边三角形ABC的边长为4,M、N分别为AB、AC的中点,沿MN将△AMN折起,使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30°
,则四棱锥A—MNCB的体积为()
A、B、C、D、3
例17.如图,四棱锥P—ABCD中,底面是一个矩形,AB=3,AD=1,又PA⊥AB,PA=4,∠PAD=60°
1求四棱锥的体积;
2求二面角P-BC-D的大小.
例18.(2006年全国卷Ⅱ)已知圆O1是半径为R的球O的一个小圆,且圆O1的面积与球O的表面积的比值为,则线段OO1与R的比值为.
【专题训练与高考预测】
一、选择题
1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=1,D在BB1上,
且BD=1,若AD与侧面AA1CC1所成的角为,则的值为
()
A.B.
C.D.
2.直线a与平面成角,a是平面的斜线,b是平面
内与a异面的任意直线,则a与b所成的角()
A.最小值,最大值B.最小值,最大值
C.最小值,无最大值D.无最小值,最大值
3.在一个的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成角,则此直线与二面角的另一平面所成的角为()
A.B.C.D.
4.如图,直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,
,则对角线A1C与侧面DCC1D1所成
的角的正弦值为()
A.B.
5.已知在中,AB=9,AC=15,,它所在平面外一点P到三顶点的距离都是14,那么点P到平面的距离为()
A.13B.11C.9D.7
6.如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点,则点B到平面AMN的距离是()
C.D.2
7.将,边长MN=a的菱形MNPQ沿对角线NQ折成的二面角,则MP与NQ间的距离等于()
8.二面角的平面角为,在内,于B,AB=2,在内,于D,CD=3,BD=1,M是棱上的一个动点,则AM+CM的最小值为()
9.空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则P与Q的最短距离为()
10.在一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为a,现有一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为()
A.B.C.D.
11.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在点P,使,则棱AD的长的取值范围是()
12.将正方形ABCD沿对角线AC折起,使点D在平面ABC外,则DB与平面ABC所成的角一定不等于()
二、填空题
1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1的中点,则下列四个命题:
1E到平面ABC1D1的距离是;
2直线BC与平面ABC1D1所成角等于;
3空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成
面积最小值为;
4BE与CD1所成的角为
2.如图,在四棱柱ABCD---A1B1C1D1中,P是A1C1
上的动点,E为CD上的动点,四边形ABCD满
足___________时,体积恒为定值(写上
你认为正确的一个答案即可)
3.边长为1的等边三角形ABC中,沿BC边高线AD
折起,使得折后二面角B-AD-C为60°
则点A到
BC的距离为_________,点D到平面ABC的距离
为__________.
4.在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细绳,
AM、BN、AB的长度为60cm,在MN处挂长为60cm
的木条,MN平行于横梁,木条的中点为O,若木条
绕过O的铅垂线旋转60°
,则木条比原来升高了
_________.
5.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点A在平面内.其余顶点在的同侧,正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别是1、2和4.P是正方体其余四个顶点中的一个,则P到平面的距离可能是:
①3;
②4;
③5;
④6;
⑤7.
以上结论正确的为.
(写出所有正确结论的编号)
6.如图,棱长为1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔(不计小孔直径)O1、O2、O3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器,容器存水的最大容积是_______m3.
三、解答题
1.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,底面边长为a,D为BC为中点,M在BB1上,且BM=B1M,又CM⊥AC1;
(1)求证:
CM⊥C1D;
(2)求AA1的长.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是矩形且AD=2,AB=PA=,PA⊥底面ABCD,E是AD的中点,F在PC上.
(1)求F在何处时,EF⊥平面PBC;
(2)在
(1)的条件下,EF是不是PC与AD的公垂线段.若是,求出公垂线段的长度;
若不是,说明理由;
(3)在
(1)的条件下,求直线BD与平面BEF所成的角.
3.如图,四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形,SD垂直于底面ABCD,SB=.
(1)求证BCSC;
(2)求面ASD与面BSC所成二面角的大小;
(3)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的
大小.
4.在直角梯形ABCD中,D=BAD=90,AD=DC=AB=a,(如图一)将△ADC沿AC折起,使D到.记面AC为,面ABC为.面BC为.
(1)若二面角AC为直二面角(如图二),求二面角BC的大小;
(2)若二面角AC为60(如图三),求三棱锥ABC的体积.
5.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.
(1)求证AM//平面BDE;
(2)求二面角ADFB的大小;
(3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与
BC所成的角是60.
总结
一、选择题的特点与答题技巧
选择题有单项选择和多项选择之分,通常占卷面分数的30%—40%左右,主要测试考生对基本知识、基本方法的掌握程度,具有很大的灵活性。
命题者常常使迷惑答案具有同等吸引力。
因此,不把考试大纲要求掌握的内容吃透,你是很难回答有经验的命题者所设计的选择题的。
答好选择题,当然必须掌握一定的知识。
但如果再掌握一些答题技巧,就将使你如虎添翼。
下面的提示有助于你掌握答题的技巧:
(l)计划答题时间,保持稳定的答题速度。
前已述及,采用选择题型,其中最主要的原因是一份试题可以覆盖大量的材料。
因此,选择题考试通常要求在短时间内作答。
在考试开始时,你应该看一看试题的分量,并且对每道题应占用的时间迅速作出估计。
也许你会发现,每道选择题允许作答的时间不到一分钟。
在某些情况下,这似乎不大可能。
但你不必担心,有不少问题可能只需几秒钟就可作出选择。
这样,你就有足够时间去考虑相对较难的问题。
保持稳定的答题速度,也是很必要的。
一般的做法是:
首先通读并回答你知道的问题,跳过没有把握作答的问题。
然后重新计算你的时间,看看余下的每道题要花多少时间。
在一道题上花过多的时间是不值的,即使你答对了,也可能得不偿失。
通过对历届考试试题的分析,命题者在一份试题中所包括的题量,往往比规定的合理(正常)答题时间所完成的题量小,也就是说,按照正常的答题速度,试题规定的考试时间应该有一定的富余。
(2)按题目要求答题。
在阅卷中发现,有不少考生连题目的要求都没看一下就开始答题了。
比如单项选择题要求选择一个最佳答案,显然,除最佳
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