第六节理想流体动力学(1).ppt
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1第六章理想流体动力学第六章理想流体动力学当流体粘度很小且流体质点间的相对运动速度又不大时,粘性切应力是很小的,即可看成理想流体。
理想流体中一般不存在热传导和扩散效应。
论述势流理论的基本内容,引出不可压缩流体平面流动的势函数、流函数概念,重点讨论不可压缩流体平面无旋流动的速度势函数与流函数的关系以及求解势流问题的奇点叠加方法。
从运动学的角度对理想流体旋涡流动的流场作进一步的讨论和分析。
2第六章理想流体动力学第六章理想流体动力学61平面势流610卡门涡街62速度势函数和流函数610空间势流63复势与复速度64几种基本的平面势流65势流的叠加66圆柱体绕流67理想流体的旋涡运动68理想流体旋涡运动的基本定理69旋涡的诱导速度3第一节平面势流首先定义平面流动。
首先定义平面流动。
平面流动平面流动是指对任一时刻,流场中所有决定运动的函数是指对任一时刻,流场中所有决定运动的函数仅与两个坐标及时间有关,亦称为二元或二维流动。
仅与两个坐标及时间有关,亦称为二元或二维流动。
0,0zVz特点特点:
平面有势流动平面有势流动的定义的定义:
在有势质量力的作用下,理想不在有势质量力的作用下,理想不可压缩流体在相互平行的平面内可压缩流体在相互平行的平面内作定常无旋流动,称该流动为平作定常无旋流动,称该流动为平面有势流动,简称面有势流动,简称平面势流平面势流。
xyzo流场中,若任意流体质点的旋转角速度向量,这种流场中,若任意流体质点的旋转角速度向量,这种流动称为流动称为有势流动有势流动或或无旋流动无旋流动。
04为什么要研究平面有势流动?
为什么要研究平面有势流动?
实际流动中并不存在严格的平面流动。
当流动实际流动中并不存在严格的平面流动。
当流动的物理量在某一个方向上的变化相对其它方向上的变化可的物理量在某一个方向上的变化相对其它方向上的变化可以忽略,以忽略,而且此方向上的速度而且此方向上的速度很小时,就可简化为很小时,就可简化为平面流动问题来处理平面流动问题来处理,通过研究这一平面,通过研究这一平面上的运动,就可以了上的运动,就可以了解整个空间的流动。
解整个空间的流动。
如果这种流动是有势如果这种流动是有势的,即流体微团本身的,即流体微团本身没有旋转运动,则这没有旋转运动,则这种流动称为种流动称为平面有势平面有势流动流动。
5第二节速度势函数和流函数一、速度势函数一、速度势函数在无旋流动中,任一流体微团的角速在无旋流动中,任一流体微团的角速度都为零,即:
度都为零,即:
0kjizyx或者:
或者:
yvxvxvzvzvyvxyzxyz;(6-1)yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121由数学分析可知,式(由数学分析可知,式(6-1)三个微分关系式的存在正是)三个微分关系式的存在正是成为某一函成为某一函数全微分的充要条件,即数全微分的充要条件,即:
dzvdyvdxvzyxtzyx,6dzvdyvdxvdzyx(6-2)而当而当t为参变量时,函数为参变量时,函数的全微分为:
的全微分为:
tzyx,dzzdyydxxd(6-3)比较式(比较式(6-2)和()和(6-3)得:
)得:
zvyvxvzyx;(6-4)tzyx,速度势函数。
速度势函数。
由式(由式(6-4)可知,当流动有势时,流体力学的问题将会)可知,当流动有势时,流体力学的问题将会得到很大简化,只要求出,得到很大简化,只要求出,即可求出速度分布,再根据能量方程进而求出流场中的压即可求出速度分布,再根据能量方程进而求出流场中的压强分布。
强分布。
tzyx,7势函数有下列特点:
势函数有下列特点:
tzyx,1、势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影、势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影xyzoMvsv设任意曲线设任意曲线S上一点上一点M(x,y,z)处的速度分量为处的速度分量为Vx,Vy,Vz,则取速度势的方向导数:
则取速度势的方向导数:
dsdzzdsdyydsdxxs其中其中:
zyxvzvyvx,zsdsdzysdsdyxsdsdx,cos,cos,cos将以上关系式代入方向导数式中,则得:
将以上关系式代入方向导数式中,则得:
8szyxvzsvysvxsvs,cos,cos,cos(6-5)式(式(6-5)表明:
速度势函数沿任意方向取偏导数之值等)表明:
速度势函数沿任意方向取偏导数之值等于该方向上的速度分量。
于该方向上的速度分量。
2、存在势函数的流动一定是无旋流动、存在势函数的流动一定是无旋流动设某一流动存在势函数,其流动的角速度分量为:
设某一流动存在势函数,其流动的角速度分量为:
11022yzxvvyzyzzyw轾骣骣FF抖抖骣=-=-=犏琪琪琪抖抖抖桫桫桫臌同理:
同理:
0zy所以流动无旋的充要条件是流场有速度势函数存在。
所以流动无旋的充要条件是流场有速度势函数存在。
93、等势面与流线正交、等势面与流线正交在任意瞬时,速度势函数取相同值的那些点构成流动空间在任意瞬时,速度势函数取相同值的那些点构成流动空间的一个连续曲面,叫的一个连续曲面,叫等势面。
等势面。
过等势面上一点过等势面上一点A并在该面并在该面上任取一微元矢量上任取一微元矢量,求它与该点速度矢量,求它与该点速度矢量的标量积:
的标量积:
kdzjdyidxLdkvjvivvzyxddzzdyydxxdzvdyvdxvLdvzyx0,dLdLdd故在等势面上势函数的增量为沿因为0Ldv上式说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的。
上式说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的。
又因为速度矢量与流线平行,所以又因为速度矢量与流线平行,所以等势面与流线正交。
等势面与流线正交。
VoLdc104、对于不可压缩流体,势函数是调和函数、对于不可压缩流体,势函数是调和函数不可压缩流体的连续方程为:
不可压缩流体的连续方程为:
0zvyvxvzyx对于有势流动:
对于有势流动:
zvyvxvzyx;0222222zyx(6-8)式(式(6-8)说明任何不可压缩流体无旋运动的势函数,)说明任何不可压缩流体无旋运动的势函数,必满足拉普拉斯(必满足拉普拉斯(Laplace)方程。
满足拉普拉斯方程)方程。
满足拉普拉斯方程的函数为调和函数,其解具有可叠加性。
的函数为调和函数,其解具有可叠加性。
11拉普拉斯方程实质上是连续方程的一种特殊形式。
拉普拉斯方程实质上是连续方程的一种特殊形式。
这样,求解有势流动的问题,归结为求解满足一定边界这样,求解有势流动的问题,归结为求解满足一定边界条件的拉普拉斯方程。
拉普拉斯方程为二阶线性偏微分条件的拉普拉斯方程。
拉普拉斯方程为二阶线性偏微分方程,已有多种成熟的求解方法。
求解这一方程,比用方程,已有多种成熟的求解方法。
求解这一方程,比用求解非线性的欧拉运动微分方程及连续性微分方程来确求解非线性的欧拉运动微分方程及连续性微分方程来确定要简单得多。
定要简单得多。
12例例6-1:
有一个速度大小为有一个速度大小为V(定值),沿(定值),沿X轴方向轴方向均匀流动,求其速度势函数。
均匀流动,求其速度势函数。
解:
解:
首先判断流动是否有势:
首先判断流动是否有势:
021021021yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx流动无旋,故流动无旋,故为有势流动。
为有势流动。
vx,0y0z
(1)(3)
(2)13由(由
(1)式积分可得:
)式积分可得:
为积分函数zyfzyfvx,由(由
(2)和()和(3)式确定)式确定,则:
,则:
czyf,cvx令令C=0(这对所代表的流场无影响)(这对所代表的流场无影响)故有:
故有:
vxyxocc14在平面流动中,不可压缩流体的连续方程为:
在平面流动中,不可压缩流体的连续方程为:
二、流函数二、流函数0yvxvyx上式可写成:
上式可写成:
yvxvyx(6-9)由数学分析可知,式(由数学分析可知,式(6-96-9)正是成为某一)正是成为某一函数全微分的充分必要条件,即函数全微分的充分必要条件,即ddyxvxvy-+tyx,dddyxvxvyy=-+(6-10)15当当tt为参变量时,函数的全微分为:
为参变量时,函数的全微分为:
tyx,yyxxddd(6-11)对比(对比(6-10)和()和(6-11)两式得:
)两式得:
yxvxvyyy=-=(6-12)符合上式条件的函数称为符合上式条件的函数称为二维不可压缩流场的流函数。
二维不可压缩流场的流函数。
不可压缩流体的平面流动,无不可压缩流体的平面流动,无论其是无旋流动还是有旋流动,以及流体有、无粘性,均存论其是无旋流动还是有旋流动,以及流体有、无粘性,均存在流函数,可见流函数比速度势更具普遍性。
在流函数,可见流函数比速度势更具普遍性。
tyx,16流函数有下列特点:
流函数有下列特点:
tyx,1等流函数线是流线等流函数线是流线即沿同一条流线,流函数值为常数。
即沿同一条流线,流函数值为常数。
等流函数线上,常数等流函数线上,常数,即,即yx,0dddyvxvxy由此得由此得:
yxvyvxdd这就是流线方程!
这就是流线方程!
yxvxvyyy=-=将将代入上式代入上式ddd0xyxyyyy抖=+=抖17即即d0y=所以沿着流线:
所以沿着流线:
(),xytconsty=因此找到流函数后,不但可以因此找到流函数后,不但可以知道流场中各点的速度,而且可以绘制流线,更加直观知道流场中各点的速度,而且可以绘制流线,更加直观地表达流场。
地表达流场。
tyx,2两条流线的流函数之差等于通过这两条流线间单位厚两条流线的流函数之差等于通过这两条流线间单位厚度的流体流量度的流体流量dsdxdyxvyvxyoBAvds1y2y如图所示,在流函数值为的如图所示,在流函数值为的两条流线间任作一曲线两条流线间任作一曲线ABAB,dsds为为AABB线上的微元线段,过微元线段处的线上的微元线段,过微元线段处的速度为,则通过速度为,则通过dsds的单位厚度流量为的单位厚度流量为:
12yy,xyvvivj=+rr18ddddxyqvyvxdydxyxyyy抖=-=+=抖dsdxdyxvyvxyoBAvds1y2y沿沿AB线段积分,可得通过线段积分,可得通过AB的流量:
的流量:
dBBBAAAqdqyyy=-蝌由于沿流线流函数值为常数,所以有:
由于沿流线流函数值为常数,所以有:
21qyy=-(6-13)即平面流动中,通过任意两条即平面流动中,通过任意两条流线间单位厚度的流量,等于这两流线间单位厚度的流量,等于这两条流线上的流函数值之差。
条流线上的流函数值之差。
同时同时,流经任意柱面,流经任意柱面AB(单位厚度)(单位厚度)的流量只取决于的流量只取决于A、B处的处的流函流函数值,而与曲线数值,而与曲线ABAB的形状无关。
的形状无关。
193、在有势流动中,流函数也是调和函数、在有势流动中,流函数也是调和函数对于平面有势流动有对于平面有势流动有:
102yxzvvxyw骣=-=琪抖桫yxvvxy=抖将将yxvxvyyy=-=代入上式代入上式得得:
22220xyyy抖+=抖所以在平面有势流动中,流函数也是调和函数,也所以在平面有势流动中,流函数也是调和函数,也满足拉普拉斯方程。
这样,解平面有势流动问题也可变为解满足拉普拉斯方程。
这样,解平面有势流动问题也可变为解满足一定初、边条件的流函数的拉普拉斯方程问题。
满足一定初、边条件的流函数的拉普拉斯方程问题。
20例例6-2:
设某一平面流动的流函数:
设某一平面流动的流函数:
试求该流动的速度分量,并求通过点和点试求该流动的速度分量,并求通过点和点的连接线的连接线AB的流量。
的流量。
解:
解:
2213/2/xyvvvmsms=+=+=(),3xytxyy=-+()1,0A()2,3BABq()()31/33/xyvxymsyyvxymsxxyy抖=-+=抖抖=-=-+=抖即流场中所有各点处的速度大小相等,方向相同。
即流场中所有各点处的速度大小相等,方向相同。
03arc
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