八年级数学全等三角形添加辅助线Word格式.docx
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例5.如图,分别是外角和的平分线,它们交于点。
为的平分线。
例6.如图,是的边上的点,且,,是的中线。
例7.如图,在中,,,为上任意一点。
同步练习
一、选择题:
1.能使两个直角三角形全等的条件是()
A.两直角边对应相等B.一锐角对应相等
C.两锐角对应相等D.斜边相等
2.根据下列条件,能画出唯一的是()
A.,,B.,,
C.,,D.,
3.如图,已知,,增加下列条件:
①;
②;
③;
④。
其中能使的条件有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
(第3题)(第4题)(第5题)(第6题)
4.如图,已知,,,则等于()
A.B.C.D.无法确定
二、填空题:
5.如图,在中,,的平分线交于点,且,,则点到的距离等于__________;
6.将一张正方形纸片按如图的方式折叠,为折痕,则的大小为_________;
三、解答题:
7.如图,为等边三角形,点分别在上,且,与 交于点。
求的度数。
8.如图,,,为上一点,,,交延长线于点。
9.如图,已知AE⊥AD,AF⊥AB,AF=AB,AE=AD=BC,AD//BC.求证:
(1)AC=EF,
(2)AC⊥EF
10.已知:
如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
,∠1=∠2,CE⊥BD的延长线于E.求证:
BD=2CE.
11、如图,△ABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DG⊥CE于G。
(1)求证:
G是CE的中点;
(2)∠B=2∠BCE。
12、在△ABC中,AB≠AC,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF∥BA交AE于点F,DF=AC,求证:
AE平分∠BAC。
13、如图,在△ABC中,∠B=22.50,∠C=600,AB的垂直平分线交BC于点D,BD=,AE⊥BC于点E,求EC的长。
答案
例1.思路分析:
从结论入手,全等条件只有;
由两边同时减去得到,又得到一个全等条件。
还缺少一个全等条件,可以是,也可以是。
由条件,可得,再加上,,可以证明,从而得到。
解答过程:
,
在与中
∴(HL)
,即
在与中
(SAS)
解题后的思考:
本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法:
一方面从问题或结论入手,看还需要什么条件;
另一方面从条件入手,看可以得出什么结论。
再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系,从而得出解题思路。
小结:
本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件,而且告诉我们如何去分析一个题目,得出解题思路。
例2.思路分析:
直接证明比较困难,我们可以间接证明,即找到,证明且。
也可以看成将“转移”到。
那么在哪里呢?
角的对称性提示我们将延长交于,则构造了△FBD,可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB,可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。
延长交于
(ASA
又。
解题后的思考:
由于角是轴对称图形,所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。
例3.思路分析:
可以利用全等三角形来证明这两条线段相等,关键是要找到这两个三角形。
以线段为边的绕点顺时针旋转到的位置,而线段正好是的边,故只要证明它们全等即可。
,为延长线上一点
利用旋转的观点,不但有利于寻找全等三角形,而且有利于找对应边和 对应角。
利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法,但有时不容易找到需证明的三角形。
这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。
例4.思路分析:
关于四边形我们知之甚少,通过连接四边形的对角线,可以把原问题转化为全等三角形的问题。
连接
//,//
,
(ASA)
连接四边形的对角线,是构造全等三角形的常用方法。
例5.思路分析:
要证明“为的平分线”,可以利用点到的距离相等来证明,故应过点向作垂线;
另一方面,为了利用已知条件“分别是和的平分线”,也需要作出点到两外角两边的距离。
过作于,于,于
平分,于,于
,且于,于
题目已知中有角平分线的条件,或者有要证明角平分线的结论时,常过角平分线上的一点向角的两边作垂线,利用角平分线的性质或判定来解答问题。
例6.思路分析:
要证明“”,不妨构造出一条等于的线段,然后证其等于。
因此,延长至,使。
延长至点,使,连接
又
三角形中倍长中线,可以构造全等三角形,继而得出一些线段和角相等,甚至可以证明两条直线平行。
例7.思路分析:
欲证,不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。
由于结论中是差,故用两边之差小于第三边来证明,从而想到构造线段。
而构造可以采用“截长”和“补短”两种方法。
法一:
在上截取,连接
在中,
,即AB-AC>
PB-PC。
法二:
延长至,使,连接
(SAS)
当已知或求证中涉及线段的和或差时,一般采用“截长补短”法。
具体作法是:
在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段,称为“截长”;
或者将一条较短线段延长,使其等于另外的较短线段,然后证明这两条线段之和等于较长线段,称为“补短”。
本题组总结了本章中常用辅助线的作法,以后随着学习的深入还要继续总结。
我们不光要总结辅助线的作法,还要知道辅助线为什么要这样作,这样作有什么用处。
同步练习的答案
1.A2.C3.B4.C
5.46.
7.解:
为等边三角形
8.证明:
(AAS)
9.证明:
(1)∵AD//BC,∴∠B+∠DAB=180°
又∵∠DAB+∠4+∠EAF+∠3=360°
,∠3=∠4=90°
∴∠DAB+∠EAF=180°
∴∠B=∠EAF
在△ABC和△FAE中
∴△ABC≌△FAE(SAS)∴AC=EF
(2)∵△ABC≌△FAE
∴∠1=∠F又∵∠1+∠3=∠2+∠F
∴∠2=∠3又∵∠3=90°
∴∠2=90°
∴AG⊥EF,即AC⊥EF
10.
证明:
延长BA、CE交于点F.∵∠3=90°
,∴∠5+∠F=90°
又∵BE⊥CE,∴∠4=90°
,∠7=90°
∴∠1+∠F=90°
,∠6=180°
-90°
=90°
∴∠1=∠5
在△ABD和△ACF中 ∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=FC
在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC∴FC=2EC∴BD=2EC
11.提示:
连结ED
12、延长FE到G,使EG=EF,连结CG,证△DEF≌△CEG
13、连结AD,DF为AB的垂直平分线,AD=BD=,∠B=∠DAB=22.50
∴∠ADE=450,AE=AD==6
又∵∠C=600
∴EC=
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