毕节专版中考数学复习 专题8 二次函数与几何图形的综合精讲试题文档格式.docx
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结合相似三角形判定方法,如果一个角为直角,只需两直角边之比分别相等,此时要对对应边分类讨论.
中考重难点突破
二次函数与线段的长
例1 (2018·
遂宁中考改编)如图,已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3,且与x轴相交于A,B两点(B点在A点右侧),与y轴交于C点.
(1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标;
(2)若M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN=3时,求点M的坐标.
【解析】
(1)由抛物线的对称轴x=3,利用二次函数的性质即可得到a的值,进而可得出抛物线的解析式,再利用抛物线与x轴交点的纵坐标为0可求出点A,B的坐标;
(2)根据二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.由点B,C的坐标,利用待定系数法可得直线BC的解析式.设点M的横坐标为m,可表示点M的纵坐标.又由MN∥y轴,可表示出点N的横纵坐标,进而可用m的代数式表示出MN的长,结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程,分类讨论即可得出结果.
【答案】解:
(1)∵抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3,∴-=3,解得a=-,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4.
当y=0时,-x2+x+4=0,
解得x1=-2,x2=8.
∴点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(8,0);
(2)当x=0时,y=-x2+x+4=4,
∴点C的坐标为(0,4).
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0).
将B(8,0),C(0,4)代入y=kx+b,得
解得
∴直线BC的解析式为y=-x+4.
设点M的坐标为,则点N的坐标为,
∴MN=
=.
又∵MN=3,∴=3.
当-m2+2m≥0,即0≤m≤8时,-m2+2m=3,解得m1=2,m2=6,
此时点M的坐标为(2,6)或(6,4).
同理,当-m2+2m<0,即m>
8或m<
0时,点M的坐标为(4-2,-1)或(4+2,--1).
综上所述,点M的坐标为(2,6),(6,4),(4-2,-1)或(4+2,--1).
1.(2018·
安顺中考改编)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,3).
(1)若直线y=mx+n经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标.
解:
(1)依题意,得
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
令y=0,则-x2-2x+3=0,
解得x1=1,x2=-3,
∴点B(-3,0).
把B(-3,0),C(0,3)代入y=mx+n,得
∴直线BC的解析式为y=x+3;
(2)设直线BC与x=-1的交点为M,连接AM.
∵点A,B关于抛物线的对称轴对称,
∴MA=MB,
∴MA+MC=MB+MC=BC,
∴当点M为直线BC与x=-1的交点时,MA+MC的值最小.
把x=-1代入y=x+3,得y=2,
∴M(-1,2).
二次函数与图形的面积
例2 (2018·
达州中考改编)如图,抛物线经过原点O(0,0),A(1,1),B(,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接OA,过点A作AC⊥OA交抛物线于点C,连接OC,求△AOC的面积.
(1)设交点式y=ax,然后把A点坐标代入求出a,即可得到抛物线的解析式;
(2)延长CA交y轴于点D,易得OA=,∠DOA=45°
则可判断△AOD为等腰直角三角形,由此可求出D点坐标,利用待定系数法求出直线AD的解析式,再结合抛物线的解析式可得关于x的一元二次方程,解方程可得点C的坐标,利用三角形面积公式及S△AOC=S△COD-S△AOD进行计算,进而得出△AOC的面积.
(1)设抛物线的解析式为y=ax.
把A(1,1)代入y=ax,可得a=-,
∴抛物线的解析式为y=-x,
即y=-x2+x;
(2)延长CA交y轴于点D.
∵A(1,1),∠OAC=90°
∴OA=,∠DOA=45°
∴△AOD为等腰直角三角形,
∴OD=OA=2,∴D(0,2).
由点A(1,1),D(0,2),得直线AD的解析式为y=-x+2.
令-x2+x=-x+2,解得x1=1,x2=5.
当x=5时,y=-x+2=-3,∴C(5,-3),
∴S△AOC=S△COD-S△AOD=×
2×
5-×
1=4.
2.(2018·
眉山中考改编)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l:
x=2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接PE,PO,当m为何值时,四边形AOPE的面积最大?
并求出其最大值.解:
(1)由抛物线的对称性易得D(3,0),设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3).
把A(0,3)代入y=a(x-1)(x-3),得3=3a,
解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3;
(2)由题意知P(m,m2-4m+3).
∵OE平分∠AOB,∠AOB=90°
∴∠AOE=45°
∴△AOE是等腰直角三角形,
∴AE=OA=3,
∴E(3,3).
易得OE的解析式为y=x.
过点P作PG∥y轴,交OE于点G,则G(m,m),
∴PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3.
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE
=×
3×
3+PG·
AE
=+×
(-m2+5m-3)×
3
=-m2+m
=-+.
∵-<0,
∴当m=时,四边形AOPE的面积最大,最大值是.
二次函数与特殊三角形
例3 (2018·
枣庄中考改编)如图,已知二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),连接AB,AC.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标.
(1)根据待定系数法即可得出答案;
(2)分别以A,C两点为圆心,AC长为半径画弧,与x轴交于三个点,由AC的垂直平分线与x轴交于一个点,即可求得点N的坐标.
(1)∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点C(8,0),
∴解得
∴二次函数的表达式为y=-x2+x+4;
(2)∵A(0,4),C(8,0),
∴AC==4.
①以点A为圆心,AC长为半径作圆,交x轴于点N,则AN=AC,故△NAC是以NC为底边的等腰三角形,此时N点坐标为(-8,0);
②以点C为圆心,AC长为半径作圆,交x轴于点N,则CN=CA,故△ACN是以NA为底边的等腰三角形,此时N点坐标为(8-4,0)或(8+4,0);
③作AC的垂直平分线,交x轴于点N,则NA=NC,故△ANC是以AC为底边的等腰三角形,此时点N为BC的中点.令y=-x2+x+4=0,解得x1=8,x2=-2,此时N点坐标为(3,0).
综上所述,点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标为(-8,0),(8-4,0),(3,0)或(8+4,0).
3.(2018·
兰州中考)如图,抛物线y=ax2+bx-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点,与y轴交于点C,连接AB,AC,BC.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求证:
AB平分∠CAO;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形?
若存在,求出点M的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)解:
将A(-3,0),B(5,-4)代入y=ax2+bx-4,得
∴抛物线的表达式为y=x2-x-4;
(2)证明:
∵AO=3,OC=4,
∴AC=5.
取D(2,0),则AD=AC=5.
由两点间的距离公式可知BD==5.∵C(0,-4),B(5,-4),∴BC=5.
∴AD=AC=BD=BC.
∴四边形ACBD是菱形,
∴∠CAB=∠BAD,∴AB平分∠CAO;
(3)解:
如图,抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F,
过点A,B分别作M′A⊥AB,MB⊥AB,交对称轴于点M′,M.
抛物线的对称轴为x=,
AE=.
∵A(-3,0),B(5,-4),∴tan∠EAB=.
∵∠M′AB=90°
∴tan∠M′AE=2.∴M′E=2AE=11,∴M′.
同理,tan∠MBF=2.
又∵BF=,∴FM=5,∴M.
综上所述,抛物线的对称轴上存在点M或,使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形.
二次函数与四边形
例4 (2018·
河南中考改编)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=x-5经过点B,C.
(2)过点A的直线交直线BC于点M,当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;
(1)利用直线BC的解析式确定点B,C的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式;
(2)先利用抛物线的解析式求出A点坐标,再判断△OCB为等腰直角三角形,继而得到∠OBC=∠OCB=45°
则△AMB为等腰直角三角形,进而求出点M的坐标,根据抛物线和直线BC的解析式设点P,Q的坐标,根据平行四边形的对角线互相平分,即可列出等式方程,解方程即可得到点P的横坐标.
(1)当x=0时,y=-5,则C(0,-5).
当y=0时,y=x-5=0,解得x=5,则B(5,0).
把B(5,0),C(0,-5)代入y=ax2+6x+c,得
∴抛物线的解析式为y=-x2+6x-5;
(2)令y=-x2+6x-5=
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