中考数学压轴题提高练习题详解答案Word格式文档下载.docx
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∵a>0,∴当20≤x≤100时,y随着x的增大…10分
令x=20,y=60,得k=60 ①
令x=100,y=100,得a×
802+k=100②
由①②解得,∴。
………14分
2、(常州)已知与是反比例函数图象上的两个点.
(1)求的值;
(2)若点,则在反比例函数图象上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形为梯形?
若存在,求出点的坐标;
若不存在,请说明理由.
解:
(1)由,得,因此.2分
(2)如图1,作轴,为垂足,则,,,因此.
由于点与点的横坐标相同,因此轴,从而.
当为底时,由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点,
故不符题意.3分
当为底时,过点作的平行线,交双曲线于点,
过点分别作轴,轴的平行线,交于点.
由于,设,则,,
由点,得点.
因此,
解之得(舍去),因此点.
此时,与的长度不等,故四边形是梯形.5分
如图2,当为底时,过点作的平行线,与双曲线在第一象限内的交点为.
由于,因此,从而.作轴,为垂足,
则,设,则,
由点,得点,
因此.
此时,与的长度不相等,故四边形是梯形.7分
如图3,当过点作的平行线,与双曲线在第三象限内的交点为时,
同理可得,点,四边形是梯形.9分
综上所述,函数图象上存在点,使得以四点为顶点的四边形为梯形,点的坐标为:
或或.10分
3、(福建龙岩)如图,抛物线经过的三个顶点,已知轴,点在轴上,点在轴上,且.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)写出三点的坐标并求抛物线的解析式;
(3)探究:
若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点,是否存在是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点坐标;
不存在,请说明理由.
(1)抛物线的对称轴………2分
(2)…………5分
把点坐标代入中,解得………6分
…………………………………………7分
(3)存在符合条件的点共有3个.以下分三类情形探索.
设抛物线对称轴与轴交于,与交于.
过点作轴于,易得,,,
1以为腰且顶角为角的有1个:
.
8分
在中,
9分
②以为腰且顶角为角的有1个:
在中,10分
11分
③以为底,顶角为角的有1个,即.
画的垂直平分线交抛物线对称轴于,此时平分线必过等腰的顶点.
过点作垂直轴,垂足为,显然.
于是13分
14分
注:
第(3)小题中,只写出点的坐标,无任何说明者不得分.
4、(福州)如图12,已知直线与双曲线交于两点,且点的横坐标为.
(2)若双曲线上一点的纵坐标为8,求的面积;
(3)过原点的另一条直线交双曲线于两点(点在第一象限),若由点为顶点组成的四边形面积为,求点的坐标.
(1)∵点A横坐标为4,∴当=4时,=2.
∴点A的坐标为(4,2).
∵点A是直线与双曲线(k>
0)的交点,
∴k=4×
2=8.
(2)解法一:
如图12-1,
∵点C在双曲线上,当=8时,=1
∴点C的坐标为(1,8).
过点A、C分别做轴、轴的垂线,垂足为M、N,得矩形DMON.
S矩形ONDM=32,S△ONC=4,S△CDA=9,S△OAM=4.
S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15.
解法二:
如图12-2,
过点C、A分别做轴的垂线,垂足为E、F,
∵点C在双曲线上,当=8时,=1.
∴点C的坐标为(1,8).
∵点C、A都在双曲线上,
∴S△COE=S△AOF=4。
∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.
∴S△COA=S梯形CEFA.
∵S梯形CEFA=×
(2+8)×
3=15,
∴S△COA=15.
(3)∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形,
∴OP=OQ,OA=OB.
∴四边形APBQ是平行四边形.
∴S△POA=S平行四边形APBQ=×
24=6.
设点P的横坐标为(>
0且),
得P(,).
过点P、A分别做轴的垂线,垂足为E、F,
∵点P、A在双曲线上,∴S△POE=S△AOF=4.
若0<<4,如图12-3,
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF,
∴S梯形PEFA=S△POA=6.
∴.
解得=2,=-8(舍去).
∴P(2,4).
若>4,如图12-4,
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE,
∴,
解得=8,=-2(舍去).
∴P(8,1).
∴点P的坐标是P(2,4)或P(8,1).
5、(甘肃陇南)如图,抛物线交轴于A、B两点,交轴于点C,点P是它的
顶点,点A的横坐标是3,点B的横坐标是1.
(1)求、的值;
(2)求直线PC的解析式;
(3)请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线
PC的位置关系,并说明理由.(参考数:
,,)
(1)由已知条件可知:
抛物线经过A(-3,0)、B(1,0)两点.
∴……………………………………2分
解得.………………………3分
(2)∵,∴P(-1,-2),C.…………………4分
设直线PC的解析式是,则解得.
∴直线PC的解析式是.…………………………6分
说明:
只要求对,不写最后一步,不扣分.
(3)如图,过点A作AE⊥PC,垂足为E.
设直线PC与轴交于点D,则点D的坐标为(3,0).………………………7分
在Rt△OCD中,∵OC=,,
∴.…………8分
∵OA=3,,∴AD=6.…………9分
∵∠COD=∠AED=90o,∠CDO公用,
∴△COD∽△AED.……………10分
∴,即.∴.…………………11分
∵,
∴以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离.…………12分
6、(贵阳)如图14,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形.
(1)求这个扇形的面积(结果保留).(3分)
(2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?
请说明理由.(4分)
(3)当的半径为任意值时,
(2)中的结论是否仍然成立?
请说明理由.(5分)
(1)连接,由勾股定理求得:
1分
2分
(2)连接并延长,与弧和交于,
弧的长:
圆锥的底面直径为:
3分
,不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.4分
(3)由勾股定理求得:
且
即无论半径为何值,4分
不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.
7、(河南)如图,对称轴为直线x=的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)①当四边形OEAF的面积为24时,请判断OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使四边形OEAF为正方形?
若存在,求出点E的坐标;
8、(湖北黄岗)已知:
如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°
,点B的坐标是,点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动,设秒后,直线PQ交OB于点D.
(1)求∠AOB的度数及线段OA的长;
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)当时,求t的值及此时直线PQ的解析式;
(4)当a为何值时,以O,P,Q,D为顶点的三角形与相似?
当a为何值时,以O,P,Q,D为顶点的三角形与不相似?
请给出你的结论,并加以证明.
9、(湖北荆门)如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;
再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合.
(1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;
(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;
(3)在
(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?
若不存在,说明理由;
若存在,求出点Q的坐标.
(1)由已知PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且PD、PF重合,则∠BPE=90°
.∴∠OPE+∠APB=90°
.又∠APB+∠ABP=90°
,∴∠OPE=∠PBA.
∴Rt△POE∽Rt△BPA.…………………………………………………………2分
∴.即.∴y=(0<x<4).
且当x=2时,y有最大值.…………………………………………………4分
(2)由已知,△PAB、△POE均为等腰三角形,可得P(1,0),E(0,1),B(4,3).……6分
设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c,则∴
y=.…………………………………………………………8分
(3)由
(2)知∠EPB=90°
,即点Q与点B重合时满足条件.……………………9分
直线PB为y=x-1,与y轴交于点(0,-1).
将PB向上平移2个单位则过点E(0,1),
∴该直线为y=x+1.……………………………………………………………10分
由得∴Q(5,6).
故该抛物线上存在两点Q(4,3)、(5,6)满足条件.……………………………12分
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