∴AC=2cosθ∈(,).
【答案】 2 (,)
16.(2014·全国卷Ⅰ)如图3,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.
图3
【解析】根据图示,AC=100m.
在△MAC中,∠CMA=180°-75°-60°=45°.
由正弦定理得=⇒AM=100m.
在△AMN中,=sin60°,
∴MN=100×=150(m).
【答案】150
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a.
(1)求;
(2)若c2=b2+a2,求B.
【解】
(1)由正弦定理得,sin2AsinB+sinBcos2A=sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=sinA.
故sinB=sinA,所以=.
(2)由余弦定理和c2=b2+a2,
得cosB=.
由
(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2.
可得cos2B=,又cosB>0,
故cosB=,所以B=45°.
18.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,cosB=.
(1)若b=4,求sinA的值;
(2)若△ABC的面积S△ABC=4,求b,c的值.
【解】
(1)∵cosB=>0,且0
∴sinB==.
由正弦定理得=,
sinA===.
(2)∵S△ABC=acsinB=4,
∴×2×c×=4,∴c=5.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=22+52-2×2×5×=17,∴b=.
19.(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.
【解】设△ABC的内角∠BAC,B,C所对边的长分别是a,b,c,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,
所以a=3.
又由正弦定理得sinB===,
由题设知0
所以cosB===.
在△ABD中,因为AD=BD,所以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π-2B,故由正弦定理得AD====.
20.(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时C、D间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?
【解】 如图所示,
设∠ACD=α,∠CDB=β.
在△CBD中,由余弦定理得cosβ===-,
∴sinβ=.
而sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ=×+×=.
在△ACD中,=,
∴AD==15(千米).
所以这人还要再走15千米可到达城A.
21.(本小题满分12分)(2016·洛阳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2C+2cosC+2=0.
(1)求角C的大小;
(2)若b=a,△ABC的面积为sinAsinB,求sinA及c的值.【导学号:
05920081】
【解】
(1)∵cos2C+2cosC+2=0,
∴2cos2C+2cosC+1=0,即(cosC+1)2=0,
∴cosC=-.
又C∈(0,π),∴C=.
(2)∵c2=a2+b2-2abcosC=3a2+2a2=5a2,
∴c=a,即sinC=sinA,
∴sinA=sinC=.
∵S△ABC=absinC,且S△ABC=sinAsinB,
∴absinC=sinAsinB,
∴sinC=,由正弦定理得
2sinC=,解得c=1.
22.(本小题满分10分)已知函数f(x)=msinx+cosx(m>0)的最大值为2.
(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间;
(2)若△ABC中,f+f=4sinAsinB,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且C=60°,c=3,求△ABC的面积.
【解】
(1)由题意,f(x)的最大值为,所以=2.
又m>0,所以m=,f(x)=2sin.
令2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).
所以f(x)在[0,π]上的单调递减区间为.
(2)设△ABC的外接圆半径为R,
由题意,得2R===2.
化简f+f=4sinAsinB,
得sinA+sinB=2sinAsinB.
由正弦定理,得2R(a+b)=2ab,a+b=ab.①
由余弦定理,得a2+b2-ab=9,
即(a+b)2-3ab-9=0.②
将①式代入②,得2(ab)2-3ab-9=0,
解得ab=3或ab=-(舍去),
故S△ABC=absinC=.