云南省中考数学一轮复习《第14讲二次函数的综合与应用》真题Word格式.docx
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(2)在第二象限内的抛物线上有一点P,当PA⊥BA时,求△PAB的面积.
(1)由题意,得解得
∴抛物线的解析式为y=x2-4x,
令y=0,得x2-4x=0,解得x=0或x=4,
∴点A的坐标为(4,0),
根据图象可知当y≤0时,自变量x的取值范图是0≤x≤4.
(2)设直线AB的解析式为y=mx+n,
则解得
∴y=x-4,
设直线AP的解析式为y=kx+c.
∵PA⊥BA,∴k=-1,
则有-4+c=0,解得c=4,∴y=-x+4.
∴解得或
∴点P的坐标为(-1,5),
在Rt△BAP中,AB==3,AP==5.∴S△PAB=AB·
AP=×
3×
5=15.
3.(2016·
昆明23题12分)如图1,对称轴为直线x=的抛物线经过B(2,0),C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值;
(3)如图2,若M是线段BC上一动点,在x轴上是否存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?
若存在,求出点Q的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)由对称性得点A的坐标为(-1,0),
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-2),
把C(0,4)代入得4=-2a,解得a=-2,
∴y=-2(x+1)(x-2),
∴抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4.
(2)如答图1,设点P(m,-2m2+2m+4),过P作PD⊥x轴,垂足为D,
∴S四边形COBP=S梯形CODP+S△PDB=m(-2m2+2m+4+4)+(-2m2+2m+4)(2-m)=-2m2+4m+4=-2(m-1)2+6.
0,∴S有最大值,S最大=6.
(3)存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形.
分以下两种情况:
①当∠BQM=90°
时,如答图2,
∵∠CMQ>
90°
,∴只能CM=MQ.
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
把B(2,0),C(0,4)代入y=kx+b,得
解得
∴直线BC的解析式为y=-2x+4,
设M(m,-2m+4),则MQ=-2m+4,OQ=m,BQ=2-m,
在Rt△OBC中,BC===2,
∵MQ∥OC,∴△BMQ∽△BCO,
∴=,即=,
∴BM=(2-m)=2-m,
∴CM=BC-BM=2-(2-m)=m.
∵CM=MQ,∴-2m+4=m,m==4-8,
∴Q(4-8,0);
图1 图2 图3
答图
②当∠QMB=90°
时,如答图3,∵∠CMQ=90°
,
∴只能CM=MQ,
同理可设M(m,-2m+4),
在Rt△COB和Rt△QMB中,
tan∠CBO=tan∠MBQ===2.
又∵tan∠MBQ=,由①知BM=2-m,
MQ=CM=m,
∴tan∠MBQ===2,
∴m=4-2m,∴m=,∴M(,).
此时BM=2-m=,MQ=,
∴BQ===,
∴OQ=BQ-OB=-2=,∴Q(-,0).
综上所述,Q点坐标为(4-8,0)或(-,0).
4.(2016·
曲靖23题12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C(0,3),tan∠OAC=.
(2)点H是线段AC上任意一点,过H作直线HN⊥x轴于点N,交抛物线于点P,求线段PH的最大值;
(3)点M是抛物线上任意一点,连接CM,以CM为边作正方形CMEF,是否存在点M使点E恰好落在对称轴上?
若存在,请求出点M的坐标;
(1)∵C(0,3),∴OC=3.
∵tan∠OAC==,∴OA=4,
∴点A的坐标为(-4,0).
把A(-4,0),C(0,3)代入y=ax2+2ax+c,
得解得
∴抛物线的解析式为y=-x2-x+3.
(2)设AC的解析式为y=kx+b,
把A(-4,0),C(0,3)代入y=kx+b,得解得
∴AC的解析式为y=x+3.
设点N的坐标为(x,0),则点H的坐标为(x,x+3),点P的坐标为(x,-x2-x+3),
∴PH=-x2-x+3-(x+3)=-x2-x=-(x+2)2+.
∵-<
0,∴PH有最大值,∴PH最大=.
即线段PH的最大值是.
(3)如答图,过点M作MK⊥y轴于点K,交对称轴于点G,则∠MGE=∠MKC=90°
∴∠MEG+∠EMG=90°
.
∵四边形CMEF是正方形,
∴EM=MC,∠EMC=90°
∴∠EMG+∠CMK=90°
∴∠MEG=∠CMK,∴△MKC≌△EGM,∴MG=CK.
由抛物线知对称轴为直线x=-1,设M点坐标为(x,-x2-x+3),则G点坐标为(-1,-x2-x+3),K点坐标为(0,-x2-x+3),
∴MG=|x+1|,CK=|-x2-x+3-3|=|-x2-x|=|x2+x|,
∴|x+1|=|x2+x|,∴x2+x=±
(x+1),
∴x2+x=-x-1或x2+x=x+1.
解得x1=-4,x2=-,x3=-,x4=2.
代入抛物线解析式得y1=0,y2=,y3=,y4=0.
∴点M的坐标是M1(-4,0),M2(-,),
M3(-,),M4(2,0).
5.(2015·
昆明23题9分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(4,0),抛物线的对称轴是直线x=.
(2)M为第一象限内的抛物线上的一个点,过点M作MG⊥x轴于点G,交AC于点H,当线段CM=CH时,求点M的坐标;
(3)在
(2)的条件下,将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α(0°
<
α<
90°
),在旋转过程中,设线段MG与抛物线交于点N,在线段GA上是否存在点P,使得以P,N,G为顶点的三角形与△ABC相似?
如果存在,请求出点P的坐标;
如果不存在,请说明理由.
(1)∵x=-=,b=,∴a=-,
把A(4,0),a=-代入y=ax2+x+c,可得(-)×
42+×
4+c=0,解得c=2,
则抛物线的解析式为y=-x2+x+2.
(2)如答图1,连接CM,过C点作CE⊥MH于点E.
答图1
∵y=-x2+x+2,
∴当x=0时,y=2,∴C点的坐标是(0,2),
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),把A(4,0),C(0,2)代入y=kx+b,
∴直线AC的解析式为y=-x+2.
∵点M在抛物线上,点H在AC上,MG⊥x轴,
∴设点M的坐标为(m,-m2+m+2),
点H的坐标为(m,-m+2),
∴MH=-m2+m+2-(-m+2)=-m2+2m.
∵CM=CH,OC=GE=2,
∴MH=2EH=2×
[2-(-m+2)]=m.
又∵MH=-m2+2m,∴-m2+2m=m,
即m(m-2)=0,解得m=2或m=0(不符合题意,舍去),∴m=2,
当m=2时,y=-×
22+×
2+2=3,
∴点M的坐标为(2,3).
(3)存在点P,使得以P,N,G为顶点的三角形与△ABC相似,理由如下:
∵抛物线与x轴交于A,B两点,A(4,0),A,B两点关于直线x=对称,∴B(-1,0).
∵AC==2,BC==,AB=5,
∴AC2+BC2=
(2)2+()2=25,AB2=52=25.
∵AC2+BC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形,∴∠ACB=90°
线段MG绕G点旋转过程中,与抛物线交于点N,当NP⊥x轴时,∠NPG=90°
,设P点坐标为(n,0),则N点坐标为(n,-n2+n+2),
如答图2,①当=时,
答图2
∵∠N1P1G=∠ACB=90°
∴△N1P1G∽△ACB,
∴=,
解得n1=3,n2=-4(不符合题意,舍去),
∴点P1的坐标为(3,0);
②当=时,∵∠N2P2G=∠BCA=90°
∴△N2P2G∽△BCA,∴=,
解得n1=1+,n2=1-(不符合题意,舍去),
∴点P2的坐标为(1+,0).
综上所述:
存在点P,使得以P,N,G为顶点的三角形与△ABC相似,点P的坐标为(3,0)或(1+,0).
1.已知,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0)和C(0,3).
(2)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,使PA+PC的值最小?
如果不存在,请说明理由;
(3)设点M在抛物线的对称轴上,当△MAC是直角三角形时,求点M的坐标.
(1)将A(-1,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c中,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)连接BC交抛物线对称轴于点P,此时PA+PC取最小值,如答图1所示.
当y=0时,有-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴点B的坐标为(3,0).
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
设直线BC的解析式为y=kx+d(k≠0),
将B(3,0),C(0,3)代入y=kx+d中,
∴直线BC的解析式为y=-x+3.
∵当x=1时,y=-x+3=2,
∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2).
(3)设点M的坐标为(1,m),
则CM2=1+(m-3)2,
AC2=10,
AM2=4+m2,
分三种情况讨论:
①当∠AMC=90°
时,有AC2=AM2+CM2,即10=4+m2+1+(m-3)2,
解得m1=1,m2=2,
∴点M的坐标为(1,1)或(1,2);
②当∠ACM=90°
时,有AM2=AC2+CM2,即4+m2=10+1+(m-3)2,解得m=,
∴点M的坐标为(1,);
③当∠CAM=90°
时,有CM2=AM2+AC2,即1+(m-3)2=4+m2+10,
解得m=-,
∴点M的坐标为(1,-).
当△MAC是直角三角形时,点M的坐标为(1,1),(1,2),(1,)或(1,-).
2.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(
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