天津市河东区届高三数学下册第一次模拟试题1文档格式.docx
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A.B.C.D.
5.已知p:
函数f(x)=-m有零点,q:
|m|≤,则p是q的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.设F1、F2是双曲线-=1(a>
0,b>
0)的两个焦点,P在双曲线上,若·
=0,||·
||=2ac(c为半焦距),则双曲线的离心率为( )
A.B.C.2D.
7.已知,,规定:
当时,;
当时,,则()
A.有最小值,最大值1B.有最大值1,无最小值
C.有最小值,无最大值D.有最大值,无最小值
8.在平面四边形ABCD中,点E、F分别是边AD、BC的中点,且AB=1,EF=,CD=,若=15,则的值为()
A.13B.14C.15D.16
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.)
9.若,其中a、b∈R,i是虚数单位,则=________.
10.(2x+)4的展开式中x3的系数是_____.
11.如图是一个程序框图,则输出的S的值是______.
12.如图,PA切⊙O于点A,割线PBC经过圆心O,OB=PB=1,OA绕点O逆时针旋转600到OD,则PD的长为.
13.在极坐标系中,直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长为________.
14.已知x,y∈R,满足2≤y≤4-x,x≥1,则的最大值为_______.
三、解答题:
(本大题6个题,共80分)
15.(本小题满分13分)
设函数f(x)=cosx·
cos(x-θ)-cosθ,θ∈(0,π).已知当x=时,f(x)取得最大值.
(1)求θ的值;
(2)设g(x)=2f(x),求函数g(x)在[0,]上的最大值.
16.(本小题满分13分)
甲、乙两个乒乓球选手进行比赛,他们的水平相当,规定“七局四胜”,即先赢四局者胜,若已知甲先赢了前两局,
求:
(1)乙取胜的概率;
(2)比赛打满七局的概率;
(3)设比赛局数为X,求X的分布列和数学期望.
17.(本小题满分13分)
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是菱形,AC∩BD=O,△PAC是边长为2的等边三角形,PB=PD=,AP=4AF.
(1)求证:
PO⊥底面ABCD;
(2)求直线CP与平面BDF所成角的大小;
(3)线段PB上是否存在点M,使得CM∥平面BDF?
如果存在,求的值;
如果不存在,请说明理由.
18.(本小题满分13分)
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,且经过点M(1,),过点P(2,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l,满足·
=2?
若存在,求出直线l的方程;
若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=,数列{an}满足a1=1,an+1=f,n∈N*,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求Tn;
(3)令bn=(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn<
对一切n∈N*成立,求最小正整数m.
20.(本小题满分14分
已知函数.
(1)求f(x)的极值;
(2)求证:
且.
河东区2016年高三一模考试
数学(理)答案
一、选择题DBCBADCB
二、填空题
9.10.2411.6312.13.14.
15.解:
(1)f(x)=cosx(cosxcosθ+sinxsinθ)-cosθ
=cosθ+sin2xsinθ-cosθ
=-cos(2x-θ)
由[f(x)]max=f()=,得cos(-θ)=1
又θ∈(0,π),所以θ=
(2)由
(1)知f(x)=cos(2x-),则g(x)=2f(x)=cos(3x-)
因为0≤x≤,所以-≤3x-≤
所以当3x-=0,即x=时,[g(x)]max=1
16.解
(1)当甲先赢了前两局时,乙取胜的情况有两种:
第一种是乙连胜四局;
第二种是在第三局到第六局,乙赢了三局,第七局乙赢.
在第一种情况下,乙取胜的概率为4=,
在第二种情况下,乙取胜的概率为C4=,
所以当甲先赢了前两局时,乙取胜的概率为
+=.
(2)比赛打满七局有两种结果:
甲胜或乙胜,记“比赛打满七局甲胜”为事件A,记“比赛打满七局乙胜”为事件B.
则P(A)=C4=,
P(B)=C4=,
又A,B互斥,所以比赛打满七局的概率为
P(A)+P(B)=.
(3)随机变量X的所有可能取值为4,5,6,7
P(X=4)=2=,
P(X=5)=C2=,
P(X=6)=C3+4=,
P(X=7)=C4+C4·
=,
所以X的分布列为
X
4
5
6
7
P
故随机变量X的数学期望EX=4×
+5×
+6×
+7×
=.
17.解:
(1)证明:
因为底面ABCD是菱形,AC∩BD=O,
所以O为AC,BD中点.
又因为PA=PC,PB=PD,
所以PO⊥AC,PO⊥BD,
所以PO⊥底面ABCD.
(2)解:
由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD,
又由
(1)可知PO⊥AC,PO⊥BD.
如图,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.
∵PB=PD=∴PO=,OB=OD=
∴A(1,0,0),C(-1,0,0),B(0,,0),P(0,0,)D(0,-,0)
∴=(1,0,),=(-1,0,)
=4,∴F(,0,)
=(,0,)
设平面BDF的法向量=(x,y,z)
则令x=1,则z=-∴=(1,0,-)
∴cos<
>
=
∴直线CP与平面BDF所成角的大小为300
(3)设=t(0≤t≤1),则=(1,(1-t),t)
若使CM∥平面BDF,需=0
t=
所以在线段PB上存在一点M,使得CM∥平面BDF,此时=。
18.解
(1)设椭圆C的方程为+=1(a>
b>
0),
由题意得解得a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为+=1.
(2)若存在直线l满足条件,由题意可设直线l的方程为y=k(x-2)+1,由
得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0.
因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B,
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
所以Δ=[-8k(2k-1)]2-4·
(3+4k2)·
(16k2-16k-8)>
0.
整理得32(6k+3)>
0,解得k>
-.
又x1+x2=,x1x2=,
且
即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=,
所以(x1-2)(x2-2)(1+k2)=,
即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2)=.
所以[-2×
+4](1+k2)==,
解得k=±
.
所以k=.于是存在直线l满足条件,
其方程为y=x.
19.解
(1)∵an+1=f===an+,
∴{an}是以为公差的等差数列.
又a1=1,∴an=n+.
(2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1
=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1)
=-(a2+a4+…+a2n)=-·
=-(2n2+3n).
(3)当n≥2时,bn==
又b1=3=×
,
∴Sn=b1+b2+…+bn
=×
==,
∵Sn<
对一切n∈N*成立.
即<
又∵=递增,
且<
.∴≥,
即m≥2016.∴最小正整数m=2016.
20.解:
(1)f(x)的定义域为(0,+∞)
=0
当>
0时,,f(x)在(0,)是增函数
当<
0时,,f(x)在(,+∞)是减函数
∴f(x)在x=处取得极大值,f(x)极大值=f()=,无极小值。
(2)证明:
由
(1)≤,取a=1,∴lnx≤x-1,当x=1时取等号,
令x=n,∵n≥2,故
∴=
故;
;
…;
<
∴
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