届江苏省徐州市铜山中学高三上学期期中考试数学试题Word格式文档下载.docx
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16.如图,在三棱锥中,,,为的中点,为上一点,且平面,求证:
(1)直线平面;
(2)平面平面.
17.如图,有一块半圆形空地,开发商计划建一个矩形游泳池及其附属设施,并将剩余空地进行绿化,园林局要求绿化面积应最大化,其中半圆的圆心为,半径为,矩形的一边在直线上,点在圆周上,在边上,且,设.
(1)记游泳池及其附属设施的占地面积为,求的表达式;
(2)求符合园林局要求的的余弦值.
18.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左顶点为,离心率为,过点的直线与椭圆交于另一点,点为轴上的一点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若是以点为直角顶点的等腰直角三角形,求直线的方程.
19.已知数列的前项和为,满足,,数列满足,,且.
(1)求数列和的通项公式;
(2)若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围.
(3)是否存在正正数,使成等差数列?
若存在,求出所有满足条件的;
若不存在,请说明理由.
20.已知函数(,是自然对数的底数).
(1)若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围;
(2)求函数的极值;
(3)设函数图像上任意一点处的切线为,求在轴上的截距的取值范围.
21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
A.【选修4-1:
几何证明选讲】
如图,是圆的切线,切点为,是过圆心的割线且交圆于点,过作圆的切线交于点,.求证:
.
B.【选修4-2:
矩阵与变换】
已知矩阵,若直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线过点,求实数的值.
C.【选修4-4:
坐标系与参数方程】
在极坐标系中,圆的方程为,以极点为坐标原点,极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线的参数方程为(为参数),若直线与圆恒有公共点,求实数的取值范围.
D.【选修4-5:
不等式选讲】
设均为正数,且,求证:
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.如图,在三棱锥中,两两互相垂直,点分别为棱的中点,在棱上,且满足,已知,.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)求二面角的正弦值.
23.某同学在上学路上要经过三个带有红绿灯的路口,已知他在三个路口遇到红灯的概率依次是,遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒,且在各个路口是否遇到红灯是相互独立的.
(1)求这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(2)记这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间为随机事件,求的概率分布与期望.
试卷答案
一、填空题
1.2.3.64.5.6.7.48.9.88
10.11.12.13.14.
二、解答题
15.
(1)因为,由正弦定理,得.
因为,所以.
即,
所以.
因为,所以
又因为,所以.
(2)由余弦定理及得,,
即.
又因为,所以,
16.
(1)因为平面,平面,
平面平面,所以.
因为平面,平面,
所以平面.
(2)因为为的中点,,所以为的中点.
又因为,所以,
又,,所以.又平面,,
因为平面,所以平面平面.
17.
(1)由题意,,,且为等边三角形,
所以,,
,.
(2)要符合园林局的要求,只要最小,
由
(1)知,,
令,即,
解得或(舍去),
令,,
当时,是单调减函数;
当时,是单调增函数,
所以当时,取得最小值.
答:
符合园林局要求的的余弦值为.
18.
(1)由题意可得:
即
从而有,
所以椭圆的标准方程为:
.
(2)设直线的方程为,代入,
得,
因为为该方程的一个根,解得,
设,由,得:
,
即:
由,即,得,
所以或,
当时,直线的方程为,
当时,代入得,解得,
此时直线的方程为.
综上,直线的方程为,.
19.
(1)当时,,所以.
当时,,,
两式相减得,又,所以,
从而数列为首项,公比的等比数列,
从而数列的通项公式为.
由两边同除以,得,
从而数列为首项,公差的等差数列,所以,
从而数列的通项公式为.
(2)由
(1)得,
于是,
所以,
两式相减得,
由
(1)得,
因为对,都有,即恒成立,
所以恒成立,
记,
所以,
因为,从而数列为递增数列,
所以当时,取最小值,于是.
(3)假设存在正整数,使()成等差数列,则,
若为偶数,则为奇数,而为偶数,上式不成立.
若为奇数,设,则,
于是,即,
当时,,此时与矛盾;
当时,上式左边为奇数,右边为偶数,显然不成立.
综上所述,满足条件的不存在.
20.
(1)函数的导函数,
则在区间上恒成立,且等号不恒成立,
又,所以在区间上恒成立,
记,只需,即解得.
经检验,时,是上的单调减函数,
又,所以实数的取值范围是.
(2)由,得,
①当时,有;
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
所以函数在取得极大值,没有极小值.
②当时,有;
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以函数在取得极小值,没有极大值.
综上可知:
当时,函数在取得极大值,没有极小值;
当时,函数在取得极小值,没有极大值.
(3)设切点为,
则曲线在点处的切线方程为,
当时,切线的方程为,其在轴上的截距不存在.
当时,令,得切线在轴上的截距为
,
令,,考虑函数,则,
列表如下:
↗
极大值
↘
极小值
所以.
故切线在轴上的截距的取值范围是.
数学Ⅱ(附加题)参考答案
21A.∵是圆的切线,∴,
连结,则,
∵是圆的切线,∴,
又,∴,∴,
则,
而,∴,∴,
由得,代入得,
故.
21B.矩阵,得,
将点代入直线得.
21C.由(为参数),可得直线的普通方程为,
由得,
所以,圆的标准方程为,
因为直线与圆恒有公共点,所以,
又因为,所以,解之得,
所以,实数的取值范围为.
21D.证明:
因为,所以,
因为,
当且仅当时等号成立,所以.
22.
(1)如图,以为原点,分别以方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系.
依题意可得:
,,,,,,
所以.
因此异面直线与所成角的余弦值为.
(2)平面的一个法向量为.
设为平面的一个法向量,
又,
则即
不妨取,则,
所以为平面的一个法向量,
从而,
设二面角的大小为,则.
因为,所以.
因此二面角的正弦值为.
23.
(1)设这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯为事件,
因为事件等于事件“这名同学在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以.
这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯的概率为.
(2)的所有可能取值为0,40,20,80,60,100,120,140(单位:
秒).
的分布列是:
;
;
.
徐州市2017-2018学年度高三年级摸底考试
数学I参考答案
15.
(1)因为,由正弦定理,得.·
·
2分
所以.·
4分
因为,所以.·
6分
又因为,所以.·
7分
即.·
10分
又因为,所以,·
12分
所以.·
14分
平面平面,所以.·
3分
因为平面,平面,
所以平面.·
又因为,所以,·
8分
又,,所以.·
又平面,,
因为平面,所以平面平面.·
所
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