全国通用届高考数学大一轮复习第十四章系列4选讲141坐标系与参数方程第1课时坐标系学案Word文件下载.docx
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图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为r的圆
ρ=r(0≤θ<
2π)
圆心为(r,0),半径为r的圆
ρ=2rcos_θ
圆心为,半径为r的圆
ρ=2rsin_θ(0≤θ<
π)
过极点,倾斜角为α的直线
θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)
过点(a,0),与极轴垂直的直线
ρcosθ=a
过点,与极轴平行的直线
ρsin_θ=a(0<
θ<
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( ×
)
(2)若点P的直角坐标为(1,-),则点P的一个极坐标是.( √ )
(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.( √ )
(4)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ×
题组二 教材改编
2.[P15T3]若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ=,0≤θ≤
B.ρ=,0≤θ≤
C.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤
D.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤
答案 A
解析 ∵y=1-x(0≤x≤1),
∴ρsinθ=1-ρcosθ(0≤ρcosθ≤1);
∴ρ=.
3.[P15T4]在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是( )
A.B.
C.(1,0)D.(1,π)
答案 B
解析 方法一 由ρ=-2sinθ,得ρ2=-2ρsinθ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y,化成标准方程为x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为.
方法二 由ρ=-2sinθ=2cos,知圆心的极坐标为,故选B.
题组三 易错自纠
4.在极坐标系中,已知点P,则过点P且平行于极轴的直线方程是( )
A.ρsinθ=1B.ρsinθ=
C.ρcosθ=1D.ρcosθ=
解析 先将极坐标化成直角坐标表示,P转化为直角坐标为x=ρcosθ=2cos=,y=ρsinθ=2sin=1,即(,1),过点(,1)且平行于x轴的直线为y=1,再化为极坐标为ρsinθ=1.
5.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,则曲线C的直角坐标方程为____________.
答案 x2+y2-2y=0
解析 由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.
6.在极坐标系下,若点P(ρ,θ)的一个极坐标为,求以为坐标的不同的点的极坐标.
解 ∵为点P(ρ,θ)的一个极坐标,
∴ρ=4或ρ=-4.
当ρ=4时,θ=2kπ+(k∈Z),
∴=2,=kπ+(k∈Z).
当ρ=-4时,θ=2kπ+(k∈Z),
∴=-2,=kπ+(k∈Z).
∴有四个不同的点:
P1(k∈Z),P2(k∈Z),
P3(k∈Z),P4(k∈Z).
题型一 极坐标与直角坐标的互化
1.(2016·
北京改编)在极坐标系中,已知曲线C1:
ρcosθ-ρsinθ-1=0,C2:
ρ=2cosθ.
(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程,并判断两曲线的形状;
(2)若曲线C1,C2交于A,B两点,求两交点间的距离.
解
(1)∵C1:
ρcosθ-ρsinθ-1=0,
∴x-y-1=0,表示一条直线.
由C2:
ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,
∴x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.
∴C2是圆心为(1,0),半径为1的圆.
(2)由
(1)知,点(1,0)在直线x-y-1=0上,
∴直线C1过圆C2的圆心.
因此两交点A,B的连线是圆C2的直径.
∴两交点A,B间的距离|AB|=2r=2.
2.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中φ为参数),曲线C2:
x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:
θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).
(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;
(2)当0<
α<
时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.
解
(1)∵∴+y2=1,由
得曲线C1的极坐标方程为ρ=;
∵x2+y2-2y=0,
∴曲线C2的极坐标方程为ρ2=2sinθ.
(2)由
(1)得|OA|2=ρ=,
|OB|2=ρ=4sin2α,
∴|OA|2+|OB|2=+4sin2α
=+4(1+sin2α)-4,
∵0<
,∴1<
1+sin2α<
2,
∴6<
+4(1+sin2α)<
9,
∴|OA|2+|OB|2的取值范围为(2,5).
思维升华
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:
①极点与原点重合;
②极轴与x轴的正半轴重合;
③取相同的单位长度.
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化简即可;
而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体代换.
题型二 求曲线的极坐标方程
典例将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得到曲线C.
(1)求曲线C的标准方程;
(2)设直线l:
2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程.
解
(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,得
由x21+y=1,得x2+2=1,
即曲线C的标准方程为x2+=1.
(2)由解得或
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线的斜率为k=,
于是所求直线方程为y-1=,
化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,
故所求直线的极坐标方程为ρ=.
思维升华求曲线的极坐标方程的步骤
(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.
(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.
跟踪训练已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x-2y=0,直线l的参数方程为(t为参数),射线OM的极坐标方程为θ=.
(1)求圆C和直线l的极坐标方程;
(2)已知射线OM与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
解
(1)∵ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,
圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x-2y=0,
∴ρ2+2ρcosθ-2ρsinθ=0,
∴圆C的极坐标方程为ρ=2sin.
又直线l的参数方程为(t为参数),
消去t后得y=x+1,
∴直线l的极坐标方程为sinθ-cosθ=.
(2)当θ=时,|OP|=2sin=2,
∴点P的极坐标为,|OQ|==,
∴点Q的极坐标为,故线段PQ的长为.
题型三 极坐标方程的应用
典例(2017·
全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·
|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
解
(1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>
0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>
0).由题意知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·
|OP|=16,得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ>
0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>
由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,
于是△OAB的面积S=|OA|·
ρB·
sin∠AOB
=4cosα·
=2≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△OAB面积的最大值为2+.
思维升华极坐标应用中的注意事项
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:
②极轴与x轴正半轴重合;
③取相同的长度单位.
(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时,应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.
(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的,如果限定ρ取正值,θ∈[0,2π),平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.
跟踪训练(2017·
广州调研)在极坐标系中,求直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长.
解 由ρsin=2,得(ρsinθ+ρcosθ)=2,可化为x+y-2=0.圆ρ=4可化为x2+y2=16,
圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离d==2,
由圆中的弦长公式,得弦长
l=2=2=4.
故所求弦长为4.
1.(2018·
武汉模拟)在极坐标系下,已知圆O:
ρ=cosθ+sinθ和直线l:
ρsin=.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.
解
(1)圆O:
ρ=cosθ+sinθ,
即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,
圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,
即x2+y2-x-y=0,
直线l:
ρsin=,
即ρsinθ-ρcosθ=1,
则直线l的直角坐标方程为y-x=1,
即x-y+1=0.
(2)由得
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.
2.已
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- 全国 通用 高考 数学 一轮 复习 第十四 系列 141 坐标系 参数 方程 课时
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