离散数学复习题及答案Word格式文档下载.docx
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11、(D)。
12、(B)。
为有向图,为的邻接矩阵,则。
、邻接到的边的条数是5、接到的长度为4的通路数是5
、长度为4的通路总数是5、长度为4的回路总数是5
13、(C)。
在无向完全图中有个结点,则该图的边数为()。
A、B、C、D、
14、(C)。
任意平面图最多是()色的。
A、3B、4C、5D、6
15、(A)。
对与10个结点的完全图,对其着色时,需要的最少颜色数为()。
A、10B、9C、11D、12
16、(C)。
对于任意的连通的平面图,且每个面的次数至少为有,其中,分别为的阶数、边数。
、、
二.判断题
1、(A)。
有向图的关联矩阵要求图是无环图。
( )
是某图的度数序列。
3、(A)。
无向连通图的点的连通关系是等价关系( )
5、(A)。
V和E分别为无向连通图G1的点割集和边割集.G1-E的连通分支个数为2。
()
6、(A)。
彼得森图不是哈密尔顿图。
7、(B)。
是平面图。
8、(B)。
设是平面图,若,则它们的对偶图。
9、(A)。
10、(A)。
一个简单图的闭包是汉密尔顿图时,这个简单图是汉密尔顿图。
()
11、(B)。
平面图中,任何两条边除端点外可以有其他交点。
余树一定是树。
13、(A)。
为无向连通图,是的生成子图,并且是树,则是的生成树。
14、(A)。
是非平凡的无向树,则至少有两片树叶( )
15、(B)。
无向树有3个3度、2个2度顶点,其余顶点都是树叶,共有4片树叶。
16、(A)。
无向树有3个3度、2个2度顶点,其余顶点都是树叶,共有5片树叶。
()
17、(B)。
已知n(n>
=2)阶无向简单树具有n-1条边,他一定是树。
18、(A)。
一个连通无向图中,存在两个结点和,如果结点和的每一条路都通过结点,则结点比为割点。
19、(A)。
一个有向图,如果中有一个回路,至少包含每个结点一次,则是强连通。
20、(A)。
给定图,则关于树的定义是每一对结点之间有且仅有一条路。
21、(A)。
完全叉树是每一个结点的出度等于或0的根树。
22、(A)。
在正则叉树中,所有的树叶层次相同。
23、(B)。
树中分支点的通路长度为外部通路长度。
24、(B)。
树中树叶的通路长度为内部通路长度。
25、(A)。
任何一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码。
26、(A)。
任何一个前缀码都对应一棵二叉树。
三.综合题
1.证明:
若图是自对偶的,则.
2.T是一棵树,有两个2度结点,一个3度结点,三个4度结点,T有几片树叶?
解:
设树T有x片树叶,则T的结点数
n=2+1+3+x
T的边数m=n-1=5+x
又由得2·
(5+x)=2·
2+3·
1+4·
3+x
所以x=9,即树T有9片树叶。
3.图所示的赋权图G表示七个城市a,b,c,d,e,f,g及架起城市间直接通讯线路的预测造价。
试给出一个设计方案使得各城市间能够通讯且总造价最小,并计算出最小造价。
最小生成树为
因此如图TG架线使各城市间能够通讯,且总造价最小,最小造价为:
W(T)=1+3+4+8+9+23=48
4.求出下所示图的邻接矩阵和可达性矩阵,并找出
。
邻接矩阵
答案错误
5.求下图的一棵最小生成树.
因为图中n=8,所以按算法要执行n-1=7次,其过程见下图中
(1)~(7)。
6.v1到v4,v4到v1长为3的通路各有多少条?
求出下所示图的邻接矩阵和可达性矩阵
v1到v4长为3的通路0条,v4到v1长为3的通路3条。
总复习题二
1、(B)。
设是半群,其中为非空集合,如果是上满足交换律的二元运算,则称为。
、半群、可交换半群、可交换群、域
2、(D)。
设是代数系统,其中为非空集合,如果,+是上的二元运算,则称环
、为半群、为阿贝尔群、乘法对加法适合分配律、满足A、B、C三条
设是环,如果乘法适合交换律,则称环。
、整环、除环、域、交换环
设代数系统是个独异点,对任意,且均有逆元,则为()。
设代数系统是个独异点,则还需满足()条件,代数系统为群。
A、运算封闭B、运算可结合C、运算可交换D、每个元素有逆元
6、(B)。
代数系统中,如果存在为等幂元,则()。
设是个群,是的平凡子群,则=()。
在群中,对于,必存在,使得,则为()。
9、(C)。
设代数系统是群,则运算满足()条件,是阿贝尔群。
判断题
1、(A)。
为独异点,且中任意元素都存在逆元,则为一个群。
2、(A)。
为代数系统,为二元运算,如果是可结合的,且中任意元素都存在逆元,则为一个群。
3、(B)。
为独异点,且中任意元素都存在逆元,则为一个半群。
1.设∘运算为Q上的二元运算,
(1)指出∘运算的性质.
(2)求∘运算的单位元、零元和所有可逆元.
(1)∘运算可交换,可结合.
任取x,y∈Q,
x∘y=x+y+2xy=y+x+2yx=y∘x,
任取x,y,z∈Q,
(x∘y)∘z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z
=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz
x∘(y∘z)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz
(2)设∘运算的单位元和零元分别为e和θ,则对于任
意x有x∘e=x成立,即
x+e+2xe=x⇒e=0
由于∘运算可交换,所以0是幺元.
对于任意x有x∘θ=θ成立,即
x+θ+2xθ=θ⇒x+2xθ=0⇒θ=-1/2
给定x,设x的逆元为y,则有x∘y=0成立,即
x+y+2xy=0⇒(x≠-1/2)
因此当x≠-1/2时,是x的逆元.
2.S=P({1,2}),⊕为对称差运算,写出<
s,⊕>
的运算表,并判断此代数系统是一个群。
⊕
∅{1}{2}{1,2}
∅
{1}
{2}
{1,2}
∅{1}{2}{1,2}
{1}∅{1.2}{2}
{2}{1,2}∅{1}
{1,2}{2}{1}∅
3.证明关于gcd,lcm运算构成的布尔代数.
解
(1)不难验证S110关于gcd和lcm运算构成格.(略)
(2)验证分配律∀x,y,z∈S110有
gcd(x,lcm(y,z))=lcm(gcd(x,y),gcd(x,z))
(3)验证它是有补格,1作为S110中的全下界,110为全上界,
1和110互为补元,2和55互为补元,5和22互为补元,10和
11互为补元,从而证明了<
S110,gcd,lcm>
为布尔代数.
总复习题三
一.证明下列公式等值
二.
(1)求(p→⌝q)∨⌝r公式的析取范式与合取范式以及成真赋值成假赋值。
解(p→⌝q)→r
⇔(p∧q)∨r(析取范式)①
(p∧q)
⇔(p∧q)∧(⌝r∨r)
⇔(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)
⇔m6∨m7②
r
⇔(⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r
⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)
⇔m1∨m3∨m5∨m7③
②,③代入①并排序,得
(p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7(主析取范式)
(p→⌝q)→r
⇔(p∨r)∧(q∨r)(合取范式)④
p∨r
⇔p∨(q∧⌝q)∨r
⇔(p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)
⇔M0∧M2⑤
q∨r
⇔(p∧⌝p)∨q∨r
⇔(p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨r)
⇔M0∧M4⑥
⑤,⑥代入④并排序,得
(p→⌝q)→r⇔M0∧M2∧M4(主合取范式)
成真赋值为001,011,101,110,111,
成假赋值为000,010,100.
(2)已知命题公式A中含3个命题变项p,q,r,并知道它的成真
赋值为001,010,111,求A的主析取范式和主合取范式,及A对应的真值函数.
A的主析取范式为m1∨m2∨m7
A的主合取范式为M0∧M3∧M4∧M5∧M6
pqrFpqrF
00001000
00111010
01011100
01101111
三.构造下面推理的证明:
(1)若明天是星期一或星期三,我明天就有课.若我明天有课,今天必备课.我今天没备课.所以,明天不是星期一、
也不是星期三.
解
(1)设命题并符号化
设p:
明天是星期一,q:
明天是星期三,
r:
我明天有课,s:
我今天备课
(2)写出证明的形式结构
前提:
(p∨q)→r,r→s,⌝s
结论:
⌝p∧⌝q
(3)证明
①r→s前提引入
②⌝s前提引入
③⌝r①②拒取式
④(p∨q)→r前提引入
⑤⌝(p∨q)③④拒取式
⑥⌝p∧⌝q⑤置换
(2)2是素数或合数.若2是素数,则是无理数.若是无理数,则4不是素数.所以,如果4是素数,则2是合数.
解用附加前提证明法构造证明
(1)设p:
2是素数,q:
2是合数,
是无理数,s:
4是素数
(2)推理的形式结构
p∨q,p→r,r→⌝s
s→q
①s附加前提引入
②p→r前提引入
③r→⌝s前提引入
④p→⌝s②③假言三段论
⑤⌝p①④拒取式
⑥p∨q前提引入
⑦q⑤⑥析
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