教师用书高中数学 1123 四种命题 四种命题间的相互关系教案 新人教a版选修Word文档下载推荐.docx

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正确区分命题的否定形式及否命题．

通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；

最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．

●教学建议

这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此采用以讲解和练习强化为主要方法，并在讲解过程中引导和启发学生的思维，让学生充分地思考和动手演练．宜采取的教学方法：

（1）启发式教学．这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动建构，从而发现数学规律；

（2）讲练结合法．这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高．

学习方法：

（1）由特殊到一般的化归方法：

学习中学生在教师的引导下，通过具体的实例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括；

（2）讲练结合法：

让学生知道数学重生在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救．

通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想．

●教学流程

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

（对应学生用书第4页）

课标解读

1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．（重点）

2．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．（难点）

3．利用命题真假的等价性解决简单问题．（难点，易错点）

四种命题的概念

【问题导思】　

给出以下四个命题：

（1）对顶角相等；

（2）相等的两个角是对顶角；

（3）不是对顶角的两个角不相等；

（4）不相等的两个角不是对顶角；

1．你能说出命题

（1）与

（2）的条件与结论有什么关系吗？

【提示】　它们的条件和结论恰好互换了．

2．命题

（1）与（3）的条件与结论有什么关系？

命题

（1）与（4）呢？

【提示】　命题

（1）的条件与结论恰好是命题（3）条件的否定和结论的否定．命题

（1）的条件和结论恰好是命题（4）结论的否定和条件的否定．

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把两个命题叫做互否命题．如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题．把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．

四种命题的关系

1．为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题该如何表示？

【提示】　逆命题：

若q，则p.

否命题：

若綈p，则綈q.

逆否命题：

若綈q，则綈p.

2．原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？

原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？

原命题的逆命题与其否命题呢？

【提示】　互逆、互否、互为逆否．

　四种命题的相互关系

四种命题的真假关系

1．知识1的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的？

【提示】　

（1）真命题，

（2）假命题，（3）假命题，（4）真命题．

2．如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？

它的逆否命题呢？

【提示】　原命题为真，其逆命题不一定为真，但其逆否命题一定为真．

1．在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．

2．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.

（对应学生用书第5页）

　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

（1）全等三角形的对应边相等；

（2）当x＝2时，x2－3x＋2＝0.

【思路探究】　

（1）原命题的条件与结论分别是什么？

（2）把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题？

【自主解答】　

（1）原命题：

若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．

逆命题：

若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．

若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．

若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．

（2）原命题：

若x＝2，则x2－3x＋2＝0，

若x2－3x＋2＝0，则x＝2，

若x≠2，则x2－3x＋2≠0，

若x2－3x＋2≠0，则x≠2.

1．给出一个命题，写出该命题的其他三种命题时，首先考虑弄清所给命题的条件与结论，若给出的命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式．

2．把原命题的结论作为条件，条件作为结论就得到逆命题；

否定条件作为条件，否定结论作为结论便得到否命题；

否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．

分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．

（1）负数的平方是正数；

（2）若a＞b，则ac2＞bc2.

【解】　

（1）原命题可以改写成：

若一个数是负数，则它的平方是正数；

若一个数的平方是正数，则它是负数；

若一个数不是负数，则它的平方不是正数；

若一个数的平方不是正数，则它不是负数．

（2）逆命题：

若ac2＞bc2，则a＞b；

若a≤b，则ac2≤bc2；

若ac2≤bc2，则a≤b.

四种命题真假的判断

　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．

（1）菱形的对角线互相垂直；

（2）等高的两个三角形是全等三角形；

（3）弦的垂直平分线平分弦所对的弧．

【思路探究】　→→

【自主解答】　

（1）逆命题：

若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题．

若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题．

若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题．

若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题．

若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题．

若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．

（3）逆命题：

若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题．

若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题．

若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．

1．本例题目中命题的条件和结论不明显，为了不出错误，可以先改写成“若p，则q”的形式，再写另外三种命题，进而判断真假．

2．要判定四种命题的真假，首先，要正确理解四种命题间的相互关系；

其次，正确利用相关知识进行判断推理．若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；

确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．

3．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通过判定其逆否命题的真假来判断．

下列命题中正确的是（　　）

①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

A．①②③B．①③

C．②③D．①

【解析】　①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．

②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形．”假命题．

③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．

∵方程x2＋x－m＝0无实根，

∴判别式Δ＝1＋4m＜0，m＜－.

故m≤0，为真命题．

故正确的命题是①，③选B.

【答案】　B

等价命题的应用

　若a2＋b2＝c2，求证：

a，b，c不可能都是奇数．

【思路探究】　

（1）a，b，c不可能都是奇数包含几种情况？

（2）它的反面是什么？

能否考虑证它的逆否命题？

【自主解答】　若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，所以a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2.即原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真，所以若a2＋b2＝c2，则a、b、c不可能都是奇数．

1．因为“a、b、c不可能都是奇数”这一结论包含多种情况，而其否定只有一种情况，即“a、b、c都是奇数，”故应选择证明它的逆否命题为真命题，以使问题简单化．

2．当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略．

3．四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．

“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”，判断其逆否命题的真假．

【解】　∵a，x∈R，且x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集是空集．

∴Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）＜0，

则4a－7＜0，解得a＜.

因此a＜2，原命题是真命题．

又互为逆否命题的命题等价，故逆否命题是真命题.

（对应学生用书第6页）

因否定错误致误

　写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的逆命题、否命题，并判断它们的真假．

【错解】　逆命题：

若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题；

若x2＋y2≠0，则x，y全不为零，是假命题．

【错因分析】　本题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误．对“x，y全为零”的否定，应为“x，y不全为零”，而不是“x，y全不为零”．

【防范措施】　要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论，否定时一定要注意一些词语，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等．

【正解】　逆命题：

若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，是真命题．

1．写出四种命题的方法：

（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．

2．四种命题的真假关系：

若原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，它的逆否命题一定为真；

互为逆否命题的两个命题的真假性相同．因此，若一个命题的真假不易判断时，我们可借助它的逆否命题进行判断.

（对应学生用书第7页）

1．（2013·

福州高二检测）已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥”的否命题是（　　）

A．若a2＋b2＜，则a＋b≠1

B．若a＋b＝1，则a2＋b2＜

C．若a＋b≠1，则a2＋b2＜

D．若a2＋b2≥，则a＋b＝1

【解析】　“a＋b＝1”，“a2＋b2≥”的否定分别是“a＋