高中数学同步练习题合集附答案分析 命题量词逻辑联结词文档格式.docx
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[答案] B
(理)(2011·
湖南湘西州联考)命题“∃x∈R,2x+x2≤1”的否定是( )
A.∀x∈R,2x+x2>
1,假命题
B.∀x∈R,2x+x2>
1,真命题
C.∃x∈R,2x+x2>
D.∃x∈R,2x+x2>
[答案] A
[解析] 因为x=0时,20+02=1,所以“∀x∈R,2x+x2>
1”是假命题.
3.(2012·
东北三校联考)已知命题p:
对于x∈R,恒有2x+2-x≥2成立;
命题q:
奇函数f(x)的图象必过原点,则下列结论正确的是( )
A.p∧q为真B.(綈p)∨q为真
C.p∧(綈q)为真D.(綈p)∧q为真
[答案] C
[分析] 先判断命题p、q的真假,再按照或、且、非的定义及真值表做出判断.
[解析] ∵x∈R,∴2x>
0,2-x>
0,∴2x+2-x≥2=2,∴p为真命题;
q为假命题(如y=为奇函数,但其图象不过原点),∴p∧q为假,(綈p)∨q为假,p∧(綈q)为真,(綈p)∧q为假,故选C.
4.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
[解析] “都是”的否定是“不都是”,故其逆否命题是:
“若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数”.
5.(2012·
安阳模拟)已知命题p:
∃m∈R,m+1≤0,命题q:
∀x∈R,x2+mx+1>
0恒成立.若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是( )
A.m≥2B.m≤-2
C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2
[解析] 由p∨q为假命题可知p和q都是假命题,即非p是真命题,所以m>
-1;
再由q:
0恒成立为假命题知m≥2或m≤-2,∴m≥2,故选A.
6.(2011·
广东省东莞市一模)已知命题p:
∃x∈(-∞,0),2x<
3x;
∀x∈(0,),cosx<
1,则下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.p∨(綈q)
C.(綈p)∧qD.p∧(綈q)
[解析] 在x∈(-∞,0)上,y=2x的图象恒在y=3x的上方,所以不存在这样的x使得2x<
3x成立,命题p为假命题,命题q为真命题,所以(綈p)∧q为真命题,故选C.
7.(2011·
南京一调)设p:
函数f(x)=2|x-a|在区间(4,+∞)上单调递增;
q:
loga2<
1.如果“非p”是真命题,“p或q”也是真命题,那么实数a的取值范围是________.
[答案] (4,+∞)
[解析] ∵“非p”为真命题,∴p为假命题,又p或q为真命题,∴q为真命题.
若a>
1,由loga2<
1知a>
2,又f(x)=2|x-a|在(a,+∞)上单调递增,且p为假命题,∴a>
4,因此得,a>
4;
若0<
a<
1,则p、q都是真命题,不合题意.
综上,a的取值范围是(4,+∞).
8.(2012·
洛阳部分重点中学教学检测)给出下列命题:
①y=1是幂函数;
②函数f(x)=2x-log2x的零点有1个;
③(x-2)≥0的解集为[2,+∞);
④“x<
1”是“x<
2”的充分不必要条件;
⑤函数y=x3是在O(0,0)处的切线是x轴.
其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号).
[答案] ④⑤
[解析] y=1不是幂函数,①是假命题;
作出函数y=2x与y=log2x的图象,由两图象没有交点知函数f(x)=2x-log2x没有零点,②错误;
x=1是不等式(x-2)≥0的解,③错误;
x<
1⇒x<
2,而x<
2⇒/x<
1,④正确;
y′=(x3)′=3x2,∴切线的斜率k=0,过原点的切线方程为y=0,⑤正确.
9.(2011·
长沙调研)下列结论:
①若命题p:
∃x∈R,tanx=1;
∀x∈R,x2-x+1>
0.则命题“p∧(綈q)”是假命题;
②已知直线l1:
ax+3y-1=0,l2:
x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;
③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:
“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为________.(把你认为正确结论的序号都填上)
[答案] ①③
[解析] ①中命题p为真命题,命题q为真命题,所以p∧(綈q)为假命题,故①正确;
②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;
③正确.所以正确结论的序号为①③.
10.已知命题p:
“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:
“∃x0∈R,x+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.
[解析] ∵“p且q”是真命题,
∴p为真命题,q也为真命题.
若p为真命题,∵x∈[1,2]时,a≤x2恒成立,
∴a≤1.
若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根,Δ=4a2-4(2-a)≥0,
∴a≥1或a≤-2,
综上知所求实数a的取值范围是a≤-2或a=1.
能力拓展提升
11.(2012·
合肥第一次质检)下列命题:
①∀x∈R,不等式x2+2x>
4x-3均成立;
②若log2x+logx2≥2,则x>
1;
③“若a>
b>
0且c<
0,则>
”的逆否命题是真命题;
④若命题p:
∀x∈R,x2+1≥1,命题q:
∃x∈R,x2-x-1≤0,则命题p∧(綈q)是真命题.其中真命题为( )
A.①②③B.①②④
C.①③④D.②③④
[解析] 由x2+2x>
4x-3推得x2-2x+3=(x-1)2+2>
0恒成立,故①正确;
根据基本不等式可知要使不等式log2x+logx2≥2成立需要log2x>
0,∴x>
1,故②正确;
由a>
0得0<
<
,又c<
0,可得>
,则可知其逆否命题为真命题,故③正确;
命题p是真命题,命题q是真命题,所以p∧(綈q)为假命题,故④错误.所以选A.
12.(2011·
山东潍坊一模)下列命题中是真命题的是( )
A.若向量a、b满足a·
b=0,则a=0或b=0
B.若a<
b,则>
C.若b2=ac,则a、b、c成等比数列
D.∃x∈R,使得sinx+cosx=成立
[解析] 对于A,当a⊥b时,a·
b=0也成立,此时不一定是a=0或b=0;
对于B,当a=0,b=1时,该命题就不成立;
对于C,b2=ac是a,b,c成等比数列的必要不充分条件;
对于D,因为sinx+cosx=sin(x+)∈[-,],且∈[-,],所以该命题正确.
13.(2012·
南昌市一模)已知a、b、c是三条不同的直线,命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是正确的,如果把a、b、c中的两个或三个换成平面,在所得的命题中,真命题有________个.
[答案] 3
[解析] a、b、c换成平面α、β、γ,则“α∥β且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题;
a、b换成平面α、β,则“α∥β且c⊥α⇒c⊥β”是真命题;
b、c换成平面β、γ,则“a∥β且a⊥γ⇒β⊥γ”是真命题;
a、c换成平面α、γ,则“b∥α且α⊥γ⇒b⊥γ”是假命题.
14.(文)(2012·
南通市调研)已知命题p1:
函数y=ln(x+)是奇函数,p2:
函数y=x为偶函数,则在下列四个命题:
①p1∨p2;
②p1∧p2;
③(綈p1)∨p2;
④p1∧(綈p2)中,
真命题的序号是________.
[答案] ①④
[解析] ∵ln(-x+)=ln=-ln(x+),∴p1是真命题,又函数y=x的定义域为{x|x≥0},∴p2为假命题,∴綈p1假,綈p2真,∴p1∨p2真,p1∧p2假,(綈p1)∨p2假,p1∧(綈p2)真.
(理)方程+=1表示曲线C,给出以下命题:
①曲线C不可能为圆;
②若1<
t<
4,则曲线C为椭圆;
③若曲线C为双曲线,则t<
1或t>
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则1<
.
其中真命题的序号是______(写出所有正确命题的序号).
[答案] ③④
[解析] 显然当t=时,曲线方程为x2+y2=,方程表示一个圆;
而当1<
4,且t≠时,方程表示椭圆;
当t<
4时,方程表示双曲线,而当1<
时,4-t>
t-1>
0,方程表示焦点在x轴上的椭圆,故选项为③④.
15.在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.
(1)求证:
“如果直线l过点T(3,0),那么·
=3”是真命题;
(2)写出
(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
[解析]
(1)证明:
设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1),B(x2,y2).
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A(3,)、B(3,-).
∴·
=3.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-3),其中k≠0.
由得ky2-2y-6k=0,则y1y2=-6.
又∵x1=y,x2=y,
=x1x2+y1y2
=(y1y2)2+y1y2=3.
综上所述,命题“如果直线l过点T(3,0),那么·
=3”是真命题.
(2)逆命题是:
设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果·
=3,那么直线过点T(3,0).
该命题是假命题.
例如:
取抛物线上的点A(2,2),B,此时·
=3,
直线AB的方程为y=(x+1),而T(3,0)不在直线AB上.
16.已知命题p:
在x∈[1,2]时,不等式x2+ax-2>
0恒成立;
函数f(x)=log(x2-2ax+3a)是区间[1,+∞)上的减函数.若命题“p∨q”是真命题,求实数a的取值范围.
[解析] ∵x∈[1,2]时,不等式x2+ax-2>
0恒成立,
∴a>
=-x在x∈[1,2]上恒成立,
令g(x)=-x,则g(x)在[1,2]上是减函数,
∴g(x)max=g
(1)=1,
1.即若命题p真,则a>
1.
又∵函数f(x)=log(x2-2ax+3a)是区间[1,+∞)上的减函数,
∴u(x)=x2-2ax+3a是[1,+∞)上的增函数,且u(x)=x2-2ax+3a>
0在[1,+∞)上恒成立,
∴a≤1,u
(1)>
0,∴-1<
a≤1,
即若命题q真,则-1<
a≤1.
综上知,若命题“p∨q”是真命题,则a>
-1.
备选题库
1.有四个关于三角函数的命题:
p1:
∃x∈R,sin2+cos2=
p2:
∃x、y∈R,sin(x-y)=sinx-siny
p3:
∀x∈[0,π],=sinx
p4:
sinx=cosy⇒x+y=
其中假命题的是( )
A.p1,p4B.p2,p4
C.p1,p3D.p3,p4
[解析] ∀x∈R,sin2+cos2=1,故p1为假命题.
∵∀x∈[0,π],sinx
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