人教A版高中数学必修四巩固训练15函数yAsinωx+φ的图象一Word文件下载.docx
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D.向右平移个单位长度
【解析】选A.y=3sin=3sin2,所以只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位长度即可.
【变式训练】函数y=sin的图象可看成是把函数y=sin2x的图象做以下平移得到 ( )
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
【解析】选B.因为y=sin=sin2,因此只要把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度,可得函数y=sin的图象.
3.(2013·
瑞安高一检测)要得到函数y=cos2x的图象,可由函数y=cos的图象 ( )
【解析】选C.y=cos
y=cos=cos
=cos2x.
【误区警示】本题易将平移对象搞错而误选A.
4.要得到y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos2x的图象 ( )
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
【解题指南】先将函数y=cos(2x+1)中的x的系数化为1,再确定平移的方向和大小.
【解析】选C.y=cos2xy=cos2=cos(2x+1),所以选C.
5.要得到函数y=sinx的图象,只需将函数y=cosx-的图象 ( )
A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度
【解析】选A.y=sinx=cos=cos
=cos,
所以将函数y=cos的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sinx的图象.
【拓展提升】正弦与余弦异名函数图象的平移技巧
一般地,正弦与余弦异名函数图象平移时,由cosx为偶函数知,将正弦函数利用sinx=cos化余弦后,结合cosx为偶函数可调整x系数的符号,再考虑平移单位长度数较简便.本题也可以先作变形y=cos=sin再平移,但此解法不具有一般性.
6.(2014·
安庆高一检测)要得到函数y=sin2x-的图象,只需将函数y=-cos(2x-π)的图象 ( )
B.向左平移π个单位长度
C.向右平移π个单位长度
【解析】选C.由于y=-cos(2x-π)=cos2x=sin=sin2,
y=sin=sin2
=sin2.
故只需将函数y=-cos(2x-π)的图象向右平移π个单位长度得到函数y=sin的图象.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.将y=cos2x的图象向右平移个单位长度,得到的图象对应的解析式为 .
【解析】y=cos2x
y=cos2=cos.
答案:
y=cos
【变式训练】函数y=sinx的图象向右平移个单位长度,所得的图象对应的函数解析式是 .
【解析】将函数y=sinx的图象向右平移个单位长度,可得函数y=sin=sinx-的图象.
y=sin
8.将函数y=sinx的图象向左平移φ(0≤φ<
2π)个单位长度得到y=sin的图象,则φ等于 .
【解析】y=sinxy=sin(x+φ),
由题意知y=sin(x+φ)可化为
y=sin=sin,
又0≤φ<
2π,所以φ=π.
π
【举一反三】若将本题改为向右平移φ(0≤φ<
π)个单位长度得到y=sin的图象,则φ等于 .
【解析】将函数y=sinx的图象向右平移φ(0≤φ<
π)个单位长度得到y=sin(x-φ)=sin,故φ=.
9.(2014·
重庆高考)将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象,则f= .
【解题指南】先根据三角函数图象变换求出ω,φ的值,然后求出f的值.
【解析】函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,则函数变为y=sin(2ωx+φ),再向右平移个单位长度得到的函数为y=sin=sin=sinx,
所以
又因为ω>
0,-≤φ<
,
可求得ω=,φ=,
所以f(x)=sin,
所以f=sin=sin=.
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2014·
成都高一检测)已知函数f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度,这样得到的图象与y=sinx的图象相同,求函数f(x)的解析式.
【解析】反过来想,
y=sinx
y=sin.
故函数f(x)的解析式为f(x)=sin
=-cos2x.
11.由y=sinx怎样变换得到y=-2sin的图象?
【解析】方法一:
y=sinx向右平移个单位长度得到y=sin,横坐标缩短为原来的得到y=sin,纵坐标再伸长为原来的2倍得到y=2sin,再关于x轴对称,即得到y=-2sin.
方法二:
y=-2sin=2sin
=2sin.
①y=sinx向左平移π个单位长度得到y=sin;
②y=sin横坐标缩短为原来的得到
y=sin;
③纵坐标伸长为原来的2倍得到y=2sin即
y=-2sin.
一、选择题(每小题4分,共16分)
南平高一检测)函数y=3sin3x的图象可看作是由y=sinx的图象按下列哪种变换得到的 ( )
A.横坐标不变,纵坐标变为原来的倍
B.横坐标变为原来的倍,纵坐标变为原来的3倍
C.横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍
D.横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的倍
【解析】选B.y=sinxy=sin3xy=3sin3x.
湖南师大附中高一检测)为得到函数y=cos的图象,只需将函数y=sinx的图象 ( )
【解析】选A.y=sinx
y=sin=sin=cos.
3.(2014·
营口高一检测)把y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标不变,再把图象向左平移个单位长度,这时对应于这个图象的解析式为 ( )
A.y=cos2xB.y=-sin2x
C.y=sinD.y=sin
【解析】选A.y=sinxy=sin2x
y=sin2=cos2x.
【变式训练】若将某正弦函数的图象向右平移个单位长度后,所得到的图象的函数解析式是y=sin,则原来的函数解析式为 ( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=sinD.y=sin-
【解析】选A.y=sin向左平移个单位长度后,得到原函数y=sin.
4.设函数f(x)=cosωx(ω>
0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于 ( )
A.B.3C.6D.9
【解题指南】解答此题理解好三角函数周期的概念至关重要,将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明了是此函数周期的整数倍.
【解析】选C.由题=·
k(k∈Z),解得w=6k,令k=1,即得wmin=6.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.将函数y=sin(-2x)的图象向右平移个单位长度,所得函数的解析式为 .
【解析】y=sin(-2x)
y=sin=sin.
【误区警示】本题极易出现y=sin(-2x)y=sin的错误.
安徽高考)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,过点A作BC的垂线,垂足为A1;
过点A1作AC的垂线,垂足为A2;
过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;
…,以此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7= .
【解析】由题意可得a1=2,a2=2×
sin45°
=,a3=a2×
=1,
a4=a3×
=,
a5=a4×
a6=a5×
a7=a6×
=×
=.
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.(2014·
烟台高一检测)怎样由y=cos的图象变换得到函数y=sinx的图象?
【解析】因为cos=cos
=cos=sinx,
所以将函数y=cos的图象向右平移个单位长度即可得y=sinx,然后横坐标不变,将纵坐标扩大2倍,即可得y=sinx的图象.
【变式训练】函数y=sin的图象,可由函数y=sinx的图象怎样变换得到?
【解析】答案不唯一,将y=sinx的图象先向左平移个单位长度,再将横坐标缩小到原来的一半而得到.
8.将函数y=lgx的图象向左平移一个单位长度,可得函数f(x)的图象;
将函数y=cos的图象向左平移个单位长度,可得函数g(x)的图象.
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象.
(2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.
【解题指南】解答本题
(1)利用平移变换法画出两个函数的图象.
(2)根据弦函数的“有界性”及lg10=1确定两个函数图象的交点个数,即为方程f(x)=g(x)解的个数.
【解析】函数y=lgx的图象向左平移一个单位长度,
可得函数f(x)=lg(x+1)的图象,即图象C1;
函数y=cos的图象向左平移个单位长度,可得函数g(x)=cos=cos2x的图象,即图象C2.
(1)画出图象C1和C2的图象如图.
(2)由图象可知:
两个图象共有5个交点.
即方程f(x)=g(x)解的个数为5.
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