一元二次方程综合训练.docx
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一元二次方程综合训练
阶段训练二
一.选择题(共4小题)
1.下列方程中:
①x2+1=x+3,②x=0,③x﹣1=2,④,⑤x+y=6,⑥+1=0.其中是一元一次方程的有( )个.
A.2B.3C.4D.5
2.将一元二次方程3x2+4x=7化成一般式后,一次项系数和常数项分别为( )
A.4,7B.﹣4,7C.4,﹣7D.﹣4,﹣7
3.已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为( )
A.10B.14C.10或14D.8或10
4.如图,将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,若两个三角形重叠部分的面积为1cm2,则它移动的距离AA′等于( )
A.0.5cmB.1cmC.1.5cmD.2cm
二.填空题(共5小题)
5.已知(m+3)x2﹣3mx﹣1=0是一元二次方程,则m的取值范围是 .
6.受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素,我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高,据统计,2014年利润为2亿元,2016年利润为2.88亿元.则该企业从2014年到2016年利润的平均增长率为 ;若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变,该企业2017年的利润 (填“能”或“不能”)超过34亿元.
7.若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根,则一次函数y=(m+1)x+m﹣1的图象不经过第 象限.
8.已知实数m,n满足3m2+6m﹣5=0,3n2+6n﹣5=0,且m≠n,则= .
9.当x= 时,代数式﹣2x2+6x+4有最大值,最大值= .
三.解答题(共5小题)
10.已知a,b,c是△ABC的三边长,且关于x的方程a(1+x2)+2bx﹣c(1﹣x2)=0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状.
11.解方程
(1)x2+4x-5=0
(2)2x2+8x-1=0(3)(2x+3)2=(3x-1)2(4)(x2+x)2-4(x2+x)-12=0
12.某商店准备进一批季节性小家电,单价40元,经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个.定价每增加1元,销售量净减少10个;定价每减少1元,销售量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个.
(1)商店若将准备获利2000元,则定价应增加多少元?
(2)若商店要获得最大利润,则应进货多少台?
最大利润是多少?
13.已知关于x的方程(k﹣1)x2+2kx+2=0
(1)求证:
无论k为何值,方程总有实数根
(2)设x1,x2是上述方程的两个实数根,记,S的值能为6吗?
若能,求出此时的k值,若不能请说明理由.
14.如图所示,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.
(1)点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时出发,经过几秒,使△PBQ的面积等于8cm2?
(2)点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时出发,线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分?
若能,求出运动时间;若不能说明理由.
(3)若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动,点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动,P,Q同时出发,问几秒后,△PBQ的面积为1?
阶段训练二
参考答案与试题解析
一.选择题(共4小题)
1.下列方程中:
①x2+1=x+3,②x=0,③x﹣1=2,④,⑤x+y=6,⑥+1=0.其中是一元一次方程的有( )个.
A.2B.3C.4D.5
【解答】解:
①x2+1=x+3是一元二次方程,故①错误;
②x=0,是一元一次方程,故②正确;
③x﹣1=2是元一次方程,故③正确;
④是整式,故④错误;
⑤x+y=6是二元一次方程,故⑤错误;
⑥+1=0是分式方程,故⑥错误;
故选:
A.
2.将一元二次方程3x2+4x=7化成一般式后,一次项系数和常数项分别为( )
A.4,7B.﹣4,7C.4,﹣7D.﹣4,﹣7
【解答】解:
方程整理得:
3x2+4x﹣7=0,
一次项系数为4,常数项为﹣7.
故选:
C.
3.已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为( )
A.10B.14C.10或14D.8或10
【解答】解:
∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根,
∴22﹣4m+3m=0,m=4,
∴x2﹣8x+12=0,
解得x1=2,x2=6.
①当6是腰时,2是底边,此时周长=6+6+2=14;
②当6是底边时,2是腰,2+2<6,不能构成三角形.
所以它的周长是14.
故选:
B.
4.如图,将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,若两个三角形重叠部分的面积为1cm2,则它移动的距离AA′等于( )
A.0.5cmB.1cmC.1.5cmD.2cm
【解答】解:
设AC交A′B′于H,
∵∠A=45°,∠D=90°
∴△A′HA是等腰直角三角形
设AA′=x,则阴影部分的底长为x,高A′D=2﹣x
∴x•(2﹣x)=1
∴x=1
即AA′=1cm.
故选:
B.
二.填空题(共5小题)
5.已知(m+3)x2﹣3mx﹣1=0是一元二次方程,则m的取值范围是 m≠﹣3 .
【解答】解:
依题意,得
m+3≠0,
解得,m≠﹣3.
故答案是:
m≠﹣3.
6.受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素,我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高,据统计,2014年利润为2亿元,2016年利润为2.88亿元.则该企业从2014年到2016年利润的平均增长率为 20% ;若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变,该企业2017年的利润 能 (填“能”或“不能”)超过34亿元.
【解答】解:
设这两年该企业年利润平均增长率为x.根据题意得
2(1+x)2=2.88,
解得x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).
即:
这两年该企业年利润平均增长率为20%.
如果2017年仍保持相同的年平均增长率,那么2017年该企业年利润为:
2.88(1+20%)=3.456,
3.456>3.4
即:
该企业2017年的利润能超过3.4亿元.
故答案是:
20%;能.
7.若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根,则一次函数y=(m+1)x+m﹣1的图象不经过第 一 象限.
【解答】解:
∵一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根,
∴△=4+4m<0,解得m<﹣1,
∴m+1<0,m﹣1<0,
∴一次函数y=(m+1)x+m﹣1的图象经过二三四象限,不经过第一象限.
故答案为:
一.
8.已知实数m,n满足3m2+6m﹣5=0,3n2+6n﹣5=0,且m≠n,则= ﹣ .
【解答】解:
∵m≠n时,则m,n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不相等的根,∴m+n=﹣2,mn=﹣.
∴原式====﹣,
故答案为:
﹣.
9.当x= 时,代数式﹣2x2+6x+4有最大值,最大值= .
【解答】解:
﹣2x2+6x+4=﹣2(x﹣)2+,
∵﹣2(x﹣1)2≤0,
∴当x=时,y最大,最大值为.
故答案为:
,.
三.解答题(共4小题)
10.已知a,b,c是△ABC的三边长,且关于x的方程a(1+x2)+2bx﹣c(1﹣x2)=0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状.
【解答】解:
∵方程a(1+x2)﹣2bx+c(1﹣x2)=0有两个相等的实数根,
∴△=4b2﹣4(c+a)(c﹣a)=4(b2﹣c2+a2)=0,
∴b2+a2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
11.某商店准备进一批季节性小家电,单价40元,经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个.定价每增加1元,销售量净减少10个;定价每减少1元,销售量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个.
(1)商店若将准备获利2000元,则定价应增加多少元?
(2)若商店要获得最大利润,则应进货多少台?
最大利润是多少?
【解答】解:
(1)设每个小家电的增加是x元,
由题意,得(52+x﹣40)(180﹣10x)=2000,
解得x1=8,x2=﹣2
∵180﹣10x≤180,
∴x≥0,
∴x=8,
答:
定价应增加8元;
(2)设所获利润为W元,依据题意可得:
W=(52+x﹣40)(180﹣10x)
=﹣10x2+60x+2160
=﹣10(x﹣3)2+2250
∵当且当x=3时,W有最大值2250元,
∴180﹣10x=150,
答:
商店进货150台,最大利润是2250元.
12.已知关于x的方程(k﹣1)x2+2kx+2=0
(1)求证:
无论k为何值,方程总有实数根
(2)设x1,x2是上述方程的两个实数根,记,S的值能为6吗?
若能,求出此时的k值,若不能请说明理由.
【解答】
(1)证明:
当k﹣1=0时,则k=1,方程为2x+2=0,解得x=﹣1,方程有实数根;
当k﹣1≠0时,则△=(2k)2﹣4(k﹣1)×2=4k2﹣8k+8=4(k﹣1)2+4>0恒成立,即方程有两个实数根,
综上可知,无论k为何值,方程总有实数根;
(2)解:
∵x1,x2是上述方程的两个实数根,
∴x1+x2=﹣,x1x2=,
∴=+x1+x2=+x1+x2=﹣,
令S=6,即﹣=6,解得k=4,
即当k的值为4时,S的值为6.
13.如图所示,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.
(1)点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时出发,经过几秒,使△PBQ的面积等于8cm2?
(2)点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时出发,线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分?
若能,求出运动时间;若不能说明理由.
(3)若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动,点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动,P,Q同时出发,问几秒后,△PBQ的面积为1?
【解答】解:
(1)设经过x秒,使△PBQ的面积等于8cm2,依题意有
(6﹣x)•2x=8,
解得x1=2,x2=4,
经检验,x1,x2均符合题意.
故经过2秒或4秒,△PBQ的面积等于8cm2;
(2)设经过y秒,线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分,依题意有
△ABC的面积=×6×8=24,
(6﹣y)•2y=12,
y2﹣6y+12=0,
∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12<0,
∴此方程无实数根,
∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分;
(3)①点P在线段AB上,点Q在线段CB上(0<x<4),
设经过m秒,依题意有
(6﹣m)(8﹣2m)=1,
m2﹣10m+23=0,
解得m1=5+,m2=5﹣,
经检验,m1=5+不符合题意,舍去,
∴m=5﹣;
②点P在线段AB上,点Q在射线CB上(4<x<6),
设经过n秒,依题意有
(6﹣n)(2n﹣8)=1,
n2﹣10n+25=0,
解得n1
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- 一元 二次方程 综合 训练