人B版数学选修22讲义第2章 212 演绎推理文档格式.docx
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教材整理2 三段论
阅读教材P60~P61,完成下列问题.
1.三段论推理
(1)三段论推理是演绎推理的一般模式.
(2)三段论的构成:
①__________:
提供一般性原理;
②__________:
指出一个特殊的对象;
③__________:
结合大前提和小前提,得出一般性原理和特殊对象之间的内在联系.
(3)“三段论”的常用格式
大前提:
M是P;
小前提:
S是M;
结论:
__________.
【答案】 1.
(2)①大前提 ②小前提 ③结论 (3)S是P
2.演绎推理的常见模式
(1)三段论推理
(2)传递性关系推理
用符号表示推理规则是“如果aRb,bRc,则_________________________”,
其中“R”表示具有传递性的关系.
(3)完全归纳推理
把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理.
【答案】 2.
(2)aRc
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)“三段论”就是演绎推理.( )
(2)演绎推理的结论是一定正确的.( )
(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.( )
【答案】
(1)×
(2)×
(3)×
2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理中“三段论”中的__________是错误的.
【解析】 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,故小前提错误.
【答案】 小前提
[质疑·
手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
解惑:
疑问2:
疑问3:
[小组合作型]
把演绎推理写成三段论的形式
将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)一切奇数都不能被2整除,75不能被2整除,所以75是奇数;
(2)三角形的内角和为180°
,Rt△ABC的内角和为180°
;
(3)通项公式为an=3n+2(n≥2)的数列{an}为等差数列.
【自主解答】
(1)一切奇数都不能被2整除.(大前提)
75不能被2整除.(小前提)
75是奇数.(结论)
.(大前提)
Rt△ABC是三角形.(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°
.(结论)
(3)数列{an}中,如果当n≥2时,an-an-1为常数,则{an}为等差数列.(大前提)
通项公式an=3n+2,n≥2时,
an-an-1=3n+2-[3(n-1)+2]=3(常数).(小前提)
通项公式为an=3n+2(n≥2)的数列{an}为等差数列.(结论)
把演绎推理写成“三段论”的一般方法:
(1)用“三段论”写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中大前提提供了一个一般性原理,小前提提供了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示一般性原理与特殊情况的内在联系.
(2)在寻找大前提时,要保证推理的正确性,可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
[再练一题]
1.将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分;
(2)等腰三角形的两底角相等,∠A,∠B是等腰三角形的两底角,则∠A=∠B.
【解】
(1)平行四边形的对角线互相平分,大前提
菱形是平行四边形,小前提
菱形的对角线互相平分.结论
(2)等腰三角形的两底角相等,大前提
∠A,∠B是等腰三角形的两底角,小前提
∠A=∠B.结论
演绎推理的综合应用
如图2112所示,D,E,F分别是BC,CA,AB边上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:
DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理.
图2112
【精彩点拨】 用三段论的模式依次证明:
(1)DF∥AE,
(2)四边形AEDF为平行四边形,(3)DE=AF.
【自主解答】
(1)同位角相等,两直线平行,(大前提)
∠BFD和∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)
所以DF∥AE.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)
DE∥BA且DF∥EA,(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形.(结论)
(3)平行四边形的对边相等,(大前提)
DE和AF为平行四边形的对边,(小前提)
所以DE=AF.(结论)
1.用“三段论”证明命题的步骤
(1)理清证明命题的一般思路;
(2)找出每一个结论得出的原因;
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.
2.几何证明问题中,每一步都包含着一般性原理,都可以分析出大前提和小前提,将一般性原理应用于特殊情况,就能得出相应结论.
2.证明:
如果梯形的两腰和一底相等,那么它的对角线必平分另一底上的两个角.
【证明】 已知在梯形ABCD中(如图所示),AB=DC=AD,AC和BD是它的对角线,求证:
CA平分∠BCD,BD平分∠CBA.
证明:
①等腰三角形的两底角相等,
大前提
△DAC是等腰三角形,DC=DA,
小前提
∠1=∠2.结论
②两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,大前提
∠1和∠3是平行线AD,BC被AC所截的内错角,小前提
∠1=∠3.结论
③等于同一个量的两个量相等,
∠2,∠3都等于∠1,小前提
∠2和∠3相等.结论
即CA平分∠BCD.
④同理BD平分∠CBA.
[探究共研型]
利用完全归纳推理证明问题
探究1 演绎推理的结论一定正确吗?
【提示】 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围,所以在演绎推理中,只要前提和推理形式正确,其结论一定正确.
探究2 利用完全归纳推理证明方程ax2+2x-a=0有实根,a的值应分哪几种情况?
【提示】 分a=0和a≠0两种情况.
试证明函数f(x)=ln(x+)的定义域为R,并判断其奇偶性.
【精彩点拨】 只须对x>
0,x=0,x<
0分别说明对数的真数均大于0即可.
【自主解答】 当x>
0时,x+>
0显然成立;
当x=0时,x+=1>
0成立;
当x<
0时,>
=|x|=-x,
所以x+>
x+(-x)=0.
因此对x∈R,都有x+>
0,即函数的定义域为R.
又因为f(-x)=ln(-x+)
=ln(-x)
=ln
=ln=-ln(+x)=-f(x).
故f(x)是奇函数.
1.完全归纳推理不同于归纳推理,后者仅仅说明了几种特殊情况,它不能说明结论的正确性,但完全归纳推理则把所有情况都作了证明,因此结论一定是正确的.
2.在利用完全归纳推理证明问题时,要对证明的对象进行合理的分类,且必须把所有情况都考虑在内.
3.求证:
n∈N,当1≤n≤4时,f(n)=(2n+7)·
3n+9能被36整除.
【证明】 当n=1时,f
(1)=(2+7)·
3+9=36,能被36整除;
当n=2时,f
(2)=(2×
2+7)·
32+9=108=36×
3,能被36整除;
当n=3时,f(3)=(2×
3+7)·
33+9=360=36×
10,能被36整除;
当n=4时,f(4)=(2×
4+7)·
34+9=1224=36×
34,能被36整除.
综上,当1≤n≤4时,f(n)=(2n+7)·
[构建·
体系]
1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=π
B.某校高三
(1)班有55人,
(2)班有54人,(3)班有52人,由此得出高三所有班级的人数都超过50人
C.由平面三角形的性质,推测出空间四面体的性质
D.在数列{an}中,a1=1,an=(n≥2),通过计算a2,a3,a4猜想出an的通项公式
【解析】 A是演绎推理,B,D是归纳推理,C是类比推理.
【答案】 A
2.用三段论证明命题:
“任何实数的平方大于0,因为a是实数,所以a2>0”,你认为这个推理( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误D.是正确的
【解析】 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”,小前提是“a是实数”,结论是“a2>0”,显然结论错误,原因是大前提错误.
3.函数y=2x+5的图象是一条直线,用三段论表示为:
______________________________________________________;
________________________________________________________.
【答案】 一次函数的图象是一条直线
函数y=2x+5是一次函数
函数y=2x+5的图象是一条直线
4.如图2113所示,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,BC=AD.
图2113
又因为△ABC和△CDA的三边对应相等,所以△ABC≌△CDA.
上述推理的两个步骤中分别省略了________、________.
【答案】 大前提 大前提
5.用三段论的形式写出下列演绎推理.
(1)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线相等;
(2)y=x2(x∈R)是偶函数.
【解】
(1)因为矩形的对角线相等,大前提
而正方形是矩形,小前提
所以正方形的对角线相等.结论
(2)因为∀x∈R,函数f(x)有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数,大前提
而y=x2满足∀x∈R,f(-x)=f(x),小前提
∴y=x2(x∈R)是偶函数.结论
我还有这些不足:
(1)
(2)
我的课下提升方案:
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