年高考真题理科数学江苏卷Word文件下载.doc

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将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列。

记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为。

二．解答题（本大题共6小题，共90分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）

15．（本小题14分）在平行六面体中，，。

求证：

⑴平面；

⑵平面平面。

16．（本小题14分）已知为锐角，，。

⑴求；

⑵求。

17．（本小题14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧

的中点）和线段构成。

已知圆的半径为40米，点到的距离为50米。

现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上。

设与所成的角为。

⑴用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；

⑵若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为。

求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大。

18．（本小题16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆点，焦点，圆的直径为。

⑴求椭圆及圆的方程；

⑵设直线与圆相切于第一象限内的点。

①若直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；

②直线与椭圆交于两点，若的面积为，求直线的方程。

19．（本小题16分）记分别为函数的导函数。

若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”。

⑴证明：

函数与不存在“点”；

⑵若函数与存在“点”，求实数的值；

⑶已知函数，。

对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由。

20．（本小题16分）设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列。

⑴设，，，若对均成立，求的取值范围；

⑵若，，，证明：

存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）。

数学II卷

【选做题】本题包括四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答。

若多做，则按作答的前两小题评分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

21—A．[选修4—1：

几何证明选讲]如图，圆的半径为2，为圆的直径，为延长线上一点，过作圆的切线，切点为。

若，求的长。

21—B．[选修4—2：

矩阵与变换]已知矩阵。

⑴求的逆矩阵；

⑵若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标。

21—C．[选修4—4：

坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线的方程为，曲线的方程为，求直线被曲线截得的弦长。

21—D．[选修4—5：

不等式选讲]若为实数，且，求的最小值。

【必做题】两题，每题10分，共计20分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22．如图，在正三棱柱中，，点分别为的中点。

⑴求异面直线与所成角的余弦值；

⑵求直线与平面所成角的正弦值。

23．设，对的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数。

例如：

对的一个排列，只有两个逆序，，则排列的逆序数为2。

记为的所有排列中逆序数为的全部排列的个数。

⑴求的值；

⑵求的表达式（用表示）。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）解答

1．；

2．2；

3．90；

4．8；

5．；

6．；

7．；

8．2；

9．；

10．；

11．；

12．3；

13．9；

14．27

15．证明：

⑴在平行六面体中，。

因为平面，平面，所以平面；

⑵在平行六面体中，四边形为平行四边形。

又因为，所以四边形为菱形，因此。

又因为，，所以。

又，平面，平面，故平面。

因为平面，所以平面平面。

16．解：

⑴因，故。

又，故，因此；

⑵因为锐角，故。

又，故，因此

。

因，故。

而，因此。

17．解：

⑴连并延长交于，则，故。

过作于，则，故，从而，。

因此矩形的面积为，的面积为。

过作，分别交圆弧和的延长线于和，则。

令，则。

当

时，才能作出满足条件的矩形，所以；

⑵由题设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，则年总产值为

，

设，则。

令，得。

当时，为增函数；

当时，为减函数。

因此，当时，取到最大值，从而能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大。

18．解：

⑴因为椭圆的焦点为，可设椭圆：

又点在椭圆上，所以，解得。

因此，椭圆的方程为。

因为圆的直径为，所以其方程为；

⑵①设直线与圆相切于，则。

因：

，即。

由得（*）。

因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以。

因，故，。

因此，点的坐标为；

②因，故。

设，由（*）得，所以

因，故，即，解得（舍）或，则，因此，从而直线的方程为。

19．解：

⑴由题，。

由且，得，此方程组无解。

因此，与不存在“点”；

⑵由题，。

设是与的“点”，则，即

（*），可得，故，从而。

当时，满足方程组（*），即是与的“点”因此，；

⑶对任意，设。

因，，且的图象是不间断的，所以存在，使得。

由题，

，故，即（**）。

此时，满足方程组（**），即是函数与在内的一个“点”。

因此，对任意，存在，使函数与在内存在“点”。

20．解：

⑴由条件知：

，。

因即对均成立，故，，，，得；

若存在，使得成立，即

因此当时，。

因，故，从而，对均成立。

所以，取时，均成立。

下面讨论数列的最小值。

①当时，，当时，有，从而。

因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为；

②设，当时，，故单减，从而。

当时，。

因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为。

因此，的取值范围为。

21—A．解：

连结，因为与圆相切，所以。

又因为，，所以

因为，所以为斜边的中点，从而。

21—B．解：

⑴因为，，所以可逆，从而；

⑵设，则，所以，因此，点P的坐标为。

21—C．解：

由题知曲线是以为圆心，半径为2的圆。

由得，故直线经过点，倾斜角为。

因此点为直线与圆的一个交点，设另一个交点为，则

连，因为直径，故，所以，因此直线被圆截得的弦长为。

21—D．解：

由柯西不等式得，故，当且仅当即，时取等号，所以的最小值为4。

22．解：

如图，在正三棱柱中，设的中点分别为，则，，。

以为基底，建立空间直角坐标系。

因，故，，，，，。

⑴因为的中点，故，从而，，所以，即与所成角的余弦值为；

⑵因为的中点，故，因此，，。

设为平面的法向量，则，即，取得。

，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为。

23．解：

⑴记为排列的逆序数，对的所有排列，有，，，，，，所以，。

对的排列，利用已有的的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置。

因此，；

⑵对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：

，故。

逆序数为1的排列只能是将排列中任意相邻两个数字调换位置得到的排列，故。

为计算，当的排列及其逆序数确定后，将添进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置，故。

当时，

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