年高考真题与模拟题理科数学立体几何Word格式.doc
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9.【2018天津11】已知正方体的棱长为1,除面外,该正方体其余各面的中心分别为点(如图),则四棱锥的体积为__________。
10.【2018全国II卷16】已知圆锥的顶点为,母线所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为,若的面积为,则该圆锥的侧面积为__________。
11.【2018江苏15】在平行六面体中,,。
求证:
⑴平面;
⑵平面平面。
12.【2018北京16】如图,在三棱柱中,平面,分别为的中点,,。
⑴求证:
平面;
⑵求二面角的余弦值;
⑶证明:
直线与平面相交。
13.【2018天津17】如图,且,,且,且,平面,
。
⑴若为的中点,为的中点,求证:
⑵求二面角的正弦值;
⑶若点在线段上,且直线与平面所成的角为,求线段的长。
14.【2018全国I卷18】如图,四边形为正方形,分别为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且。
⑴证明:
平面平面;
⑵求与平面所成角的正弦值。
15.【2018全国III卷19】如图,边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直,是上异于的点。
⑵当三棱锥体积最大时,求面与面所成二面角的正弦值。
16.【2018浙江19】如图,已知多面体,均垂直于平面,,,,。
⑵求直线与平面所成的角的正弦值。
17.【2018全国II卷20】如图,在三棱锥中,,,为的中点。
⑵若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值。
18.【2018江苏22】如图,在正三棱柱中,,点分别为的中点。
⑴求异面直线与所成角的余弦值;
⑵求直线与平面所成角的正弦值。
二.各地模拟题
19.【安徽省宿州市2018届三模】如图所示,垂直于所在的平面,是的直径,,是上的一点,分别是点在上的投影,当三棱锥的体积最大时,与底面所成角的余弦值是()(A)(B)(C)(D)
20.【辽宁省葫芦岛市2018届二模】在长方体中,底面是边长为的正方形,侧棱。
为矩形内部(含边界)一点,为中点,,为空间任一点,且,三棱锥的体积的最大值记为,则关于函数,下列结论确的是()
(A)为奇函数(B)在上不单调(C)(D)
21.【河南省洛阳市2018届三模】在三棱锥中,平面,,,,是边上的一动点,且直线与平面所成角的最大值为,则三棱锥的外接球的表面积为()(A)(B)(C)(D)
22.【四川省2018届冲刺演练一】某几何体的三视图如图所示,三个视图中的曲线都是圆弧,则该几何体的体积为()
(A)(B)
(C)(D)
23.【山东省济南2018届二模】已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,,则三棱锥的体积的最大值为()
(A)(B)(C)(D)81
24.【安徽省示范高中(皖江八校)2018届第八联考】某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为()
25.【福建省厦门市2018届二模】已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长,其外接球体积为,三视图如图所示,则其侧视图的面积为()
(A)(B)2(C)4(D)6
26.【山东省威海市2018届二模】已知正三棱柱,侧面的面积为,则该正三棱柱外接球表面积的最小值为________。
27.【山东省烟台市2018届适应性练习二】如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的正方形的中心为,为上的点,
分别是以为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以为折痕折起,使重合得到一个四棱锥,则该四棱锥的体积的最大值为_______。
28.【湖南省益阳市5月统考】如图,在三棱锥中,两两垂直,,平面平面,且与棱分别交于三点。
⑴过作直线,使得,,请写出作法并加以证明;
⑵若将三棱锥分成体积之比为的两部分,求直线与平面所成角的正弦值。
29.【江西省南昌市2018届三模】如图,多面体中,为正方形,,,,二面角的余弦值为,且。
⑵求平面与平面所成锐二面角的余弦值。
30.【河南省郑州市2018届三模】如图,在四棱锥中,底面,,,,点为棱的中点。
;
⑵若点为棱上一点,且,求二面角的余弦值。
31.【河北省唐山市2018届三模】如图,四棱锥的底面是平行四边形,。
(2)若,为的中点,为棱上的点,平面,求二面角的余弦值。
附答案:
ACBDCBA8.;
9.;
10.。
11.证明:
⑴在平行六面体中,。
因为平面,平面,所以平面;
⑵在平行六面体中,四边形为平行四边形。
又因为,所以四边形为菱形,因此。
又因为,,所以。
又,平面,平面,故平面。
因为平面,所以平面平面。
12.解:
⑴在三棱柱中,因平面,故四边形为矩形。
又分别为的中点,故。
因,故,所以平面;
⑵由⑴知,,。
又平面,故平面。
因平面,故。
如图建立空间直角坐称系,由题得,,,,。
故,。
设为平面的法向量,则,即,取得
又是平面的法向量,故
由图可知二面角为钝角,故其余弦值为;
⑶因,,故。
因,且,故平面的法向量与不垂直,从而与平面不平行且不在平面内,所以与平面相交。
13.解:
依题意,可以建立以为原点,分别以的方向为轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得,,,,,,,,。
⑴由题,。
设是平面的法向量,则,即,取得。
又,故。
又因为直线平面,所以平面;
⑵由题,,。
故,从而,所以二面角的正弦值为;
⑶设线段的长为,则,故。
易知,为平面的一个法向量,故。
由题意得,解得。
所以线段的长为。
14.证明:
⑴由题,,又,故平面。
又平面,所以平面平面;
⑵作,垂足为。
由⑴得,平面。
以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图空间直角坐标系。
由⑴知,又,,故。
又,,故。
可得,。
则,,,,且为平面的法向量。
设与平面所成角为,则为所求。
15.解:
⑴由题知,平面平面,交线为。
因,平面,故平面,因此。
因为上异于的点,且为直径,故。
又,所以平面。
而平面,故平面平面;
⑵以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系。
当三棱锥体积最大时,为的中点。
由题,,,,,,,。
设是平面的法向量,则,即,可取。
是平面的法向量,因此,,所以面与面所成二面角的正弦值为。
16.解:
⑴由题知,。
又,,故,所以,因此。
由,,及,得。
由,得。
由,得,所以,故。
因此平面;
⑵如图,过点作,交直线于点,连结。
因平面,故平面平面。
因,故平面。
所以是与平面所成的角。
由,,得,,故,所以。
因此,直线与平面所成的角的正弦值是。
17.解:
⑴因,为的中点,故,且。
连,因,故为等腰直角三角形,且,。
故,因此。
又,故平面;
⑵如图,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系。
由题知,,,,,。
取平面的法向量,设,则。
设平面的法向量为,则,即,可取,所以。
由题得,解得(舍)或,故。
又,故,所以与平面所成角的正弦值为。
18.解:
如图,在正三棱柱中,设的中点分别为,则,,。
以为基底,建立空间直角坐标系。
因,故,,,,,。
⑴因为的中点,故,从而,,所以
,即异面直线与所成角的余弦值为;
⑵因为的中点,故,因此,,。
设为平面的法向量,则,即,取得。
,设直线与平面所成角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值为。
19~27:
DDBBAAD26.;
27.。
28.解:
⑴作法:
取的中点,连接,则直线即为要求作的直线。
证明如下:
因,,且,故平面。
又平面平面,且平面,平面平面,故,所以平面,因此。
又,为的中点,故,从而直线即为要求作的直线;
⑵因将三棱锥分成体积之比为的两部分,故四面体的体积与三棱锥的体积之比为。
又平面平面,故。
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,,,,,,,。
故,所以直线与平面所成角的正弦值为。
29.解:
⑴因,,,故,因此。
又正方形中,且,故平面。
⑵由⑴知是二面角的平面角,作于,则,,且由平面平面,平面平面,平面,所以,平面。
取中点,连结,则。
如图建立空间直角坐标系,则,,,,故,。
因,故是的一个方向向量。
又是平面的一个法向量,且。
设平面与平面所成锐二面角为,则,因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为。
30.解:
⑴因底面,故,。
又,故两两垂直。
以为原点,为正交基底,建立空间直角坐标系。
则由题意得,,,,,,,故,所以;
⑵由⑴知,,,。
因点为棱上,故可设,则。
因,故,解得,故。
由题知是平面的法向量,故。
由图知二面角是锐角,故二面角的余弦值为。
31.解:
⑴因,,故。
又
,,故平面,因此
又,,故平面
因平面,所以平面平面;
⑵连接交于点,连接,因为的中点,,故。
因平面,平面,平面平面,故,因此,以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,,故,,,。
因,且二面角为钝角,故二面角的余弦值为。
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- 年高 考真题 模拟 理科 数学 立体几何