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(4)动量守恒定律
若
则常矢量
2功
(1)定义:
力在位移方向上的分量和位移大小的乘积。
(2)质点沿路径从到,力对它做的功
3.动能
(1)质点
(2)质点系
4.势能
(1)定义:
系统在任一位置时的势能等于它从此位置运动到势能零点时保守力所作的功。
(2)力学中的三种势能
重力场中,通常选地面为零势能点,则
万有引力场中,通常选,则
弹性力场中,选弹簧的平衡位置为零势能点,则
5机械能
6功和能的关系
(1)动能定理
质点
质点系
(2)功能原理
(3)机械能守恒定律
若,则
重点和难点分析
1、关于动量定理,动量守恒定律的应用
(1)在运用动量定理解题时,通常要注意以下几点:
a明确研究对象并进行受力分析。
若是变力,则须明确力函数的形式,在碰撞问题中,若碰撞时间很短,重力等有限大小的主动外力可略去不计,但随碰撞而变化的被动外力(例如支持力)一般是不能忽略的。
b正确分析出对象始、末态的动量,并向选定的坐标轴进行投影;
列出坐标轴的分量式方程。
由于动量是矢量,因此要特别注意始、末态动量在坐标轴上分量的正、负号;
若遇到的是变质量系统,则要正确的分析出时刻和时刻的动量。
(2)在应用质点系的动量守恒定律时要注意:
a首先应明确系统的范围以便正确的分析出内力和外力;
b若系统所受合外力不为零,但合外力在某一方向的分量为零,则系统总动量在该方向的分量守恒。
c动量守恒定律只在惯性系中才成立。
在运用系统的动量定理和动量守恒定律时,系统内各物体的动量都是相对于同一惯性系而言的.
2.关于功的计算
(1)变力的功:
此处难点有二。
其一,已知的力函数的变量与元位移的变量不一致;
其二是如何选取积分元。
例如一物体按在介质中作直线运动,设介质的阻力正比于速度的平方,即,求物体由运动到时阻力所做的功。
题中力函数与积分元的变量就不一致,应进行如下变换:
因为
所以
由,得
故,这时被积函数与积分元的变量一致,故有
再如,有一地下蓄水池,面积为S,蓄水深为。
如水面低于地面高度为,要将这些水全部抽到地面至少需做功多少(假定将水匀速提升到地面)?
功的定义源于恒力的功,那么在选取积分元时,必须使积分元内的功可视为恒力的功。
如在本题中,以地面为坐标原点,向上为y轴的正向,向下在y处取厚度为的一层水为研究对象,则有
匀速将的水提至地面需加的外力为
而且把这部分水提至地面所做功可视为恒力做功,即
(2)作用力与反作用力的功
有一种错误认识,认为作用力与反作用力大小相等、方向相反,因此作用力的功与反作用力的功之和,就像作用力与反作用力的冲量之和一样,其和为零。
这种认识之所以错误,是因为在作用力作用下的质点的位移与在反作用力作用下的质点的位移在一般情况下各不相同。
因此作用力的功和反作用力的功之和不一定为零。
例如,将一物体在地面上拖到,若以地面为参照系,地面给运动物体的摩擦力做了功,而运动物体给地面的摩擦力就没有做功。
因此,物体与地面之间的一对作用力与反作用力的功之和不为零。
那么作用力与反作用力做功之和为多少呢?
如图所示(见赵近芳学习指导P22),设与为一对内力,则它们功之和为
因为
式中就是两质点的相对位移。
由此可知,一对作用力与反作用力作功之和等于力与相对位移的标积。
欲使一对内力功之和为零,须使一对内力处处与他们的相对位移垂直或者相互作用的两质点之间没有相对位移。
3.关于势能函数
势能函数的形式不仅取决于保守力的力函数,还与势能零点的选取有关。
求势能函数的通式为
例如已知地球的半径为,质量为,一质量为的物体,在距地面高为处。
若取地面为引力势能零点,则地球、物体系统的引力势能应取什么形式?
因为与之间的引力大小为,式中是到地心的距离。
3.关于功能原理、机械能守恒定律的应用
对于质点系的动能定理和质点系的功能原理,二者在本质上是一致的。
动能定理中功是一切力做的功,它包括作用于系统的外力的功,系统内保守力的功和非保守力的功,即,而功能原理中的功不能包含系统内部保守力的功,这时系统内部保守力的功已有相关的势能表示了。
在应用机械能守恒定律时,要明确以下几点:
(1)守恒条件:
作用于系统的外力和非保守内力对系统不作功,或作功的代数和为零,或只有保守内力作功。
(注意合外力为零,合外力的功不一定为零)
(2)系统的总机械能不变,但动能和势能可以相互转化。
(3)应用该定律时,首先应指明所选择的系统。
4.关于角动量守恒定律
角动量守恒的条件是,质点所受外力对某固定点的力矩为零,则质点对该固定点的角动量守恒。
由此可知,在应用角动量守恒定律时,除了要选择惯性系以外,还必须指明是对哪一点的角动量守恒。
例题分析
例3-1体重为80kg的飞行员,跳伞后在1.5s内的张伞过程中,降落速度由50m. 变为5m.,求飞行员在张伞过程中所受到的平均阻力。
解 本题知道质量及速度变化(即知人的动量变化)求平均阻力,可用动量定理来求解。
取向下为正,则有
(N)
方向铅直向上。
例3-2如图所示,在平滑的路面上停有质量为M、长为L的平板车;
一质量为m的小孩从车上的一端由静止开始走到车的另一端,求平板车在路面上移动的距离。
解将小孩与车组成系统,则系统在水平方向的合外力为零。
因此,系统在水平方向动量守恒。
本题人对车运动,车对地运动,要注意将人的速度转换成对地的速度(利用相对运动公式),设人对车的速度(相对速度)为,车对地的速度(牵连速度)为,则人对地的速度(绝对速度)。
于是有
“–”号说明车速方向与人的运动方向相反。
-车对地的速度
-人对车的速度
车后退距离
式中, 为车长,“–”号表示车后退。
例3-3一质量为2吨的卡车启动时在牵引力FX=6×
103t(N)的作用下,自原点从静止开始沿X轴作直线运动,求牵引力在前10内所做的功。
解功的计算宜分两步走:
第一定计算(写出)元功,第二步积分求总功
由题意知,其元功
(1)
上式右端含变量t,x,必须“统一”成一个变量才能积分
由运动学关系知
(2)
由牛顿第二定律,得
两边积分,得
解之得
(3)
(3)代入
(2),再代入
(1),得
例3-4利用阿特伍德机测量重力加速度的实验装置如图所示,将质量为和的两物体A,B用轻绳联结,挂在定滑轮上。
假设定滑轮无阻力,其质量可忽略,且开始时B静止于O处。
实验测得B下降距离时速度的大小为,求重力加速度的大小。
解取A,B滑轮及绳为系统
外力:
内力:
滑轮轴的支撑力N
功:
(无位移)
据定理立方程
例3-5用机械能守恒定律求第二宇宙速度(使飞行器脱离地球引力所需的速度)
解①取地球,飞行器为系统,则系统仅受重力作用,故机械能守恒。
②过程状态
地面→无限远,脱离地球
无限远——地、器脱离相互作用,
③列解方程
例3-6一质点位于固定的光滑半球面上的任意一点P,在重力作用下由静止开始下滑,在Q点处离开球面,证明P,Q两点的高度差等于P点到球心高度差的1/3。
证明:
取系统:
地球,质点
重力
支撑力,但不做功
故在P→Q的过程中机械能守恒。
于是有
(—质点质量,—P点高度,—Q点高度,V—Q点速度)
Q点处脱离球面,该处动力学方程为
(2)
由
(1)得
(3)
由
(2)得
(4)
由(3),(4)得
(5)
即
(6)
由(5),(6)得
例3-7如图所示,一粒子以速度与另一处于静止的同类粒子发生弹性碰撞,后在水平方向与原运动方向成角的方向运动,求碰撞后两粒子的速度大小及第二个粒子的运动方向。
解∵水平向无外力
∴其动量守恒,即
由弹性碰撞概念知系统动能守恒,即
由
(1),
(2)分别可得
由(3),(4)可以推断,成直角三角关系,即
利用三角函数关系,可得
例3-8质量为m=5.6g的子弹A,以v0=501m/s的速率水平地射入一静止在水平面上的质量为M=2kg的木块B内,A射入B后,B向前移动了S=50cm后而停止,求:
(1)B与水平面间的摩擦系数.
(2)木块对子弹所作的功W1.
(3)子弹对木块所作的功W2.
(4)W1与W2的大小是否相等?
为什么?
解:
(1)设A射入B内,A与B一起运动的初速率为,则由动量守恒
①
=1.4m/s2分
根据动能定理②1分
③1分
①、②、③联立解出μ=0.1961分
(2)J2分
(3)J1分
(4)W1、W2大小不等,这是因为虽然木块与子弹之间的相互作用力等值反向,但两者的位移大小不等.
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- 质点 运动学