北师大九年级上《13正方形的性质与判定》同步练习有答案Word下载.docx
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北师大九年级上《13正方形的性质与判定》同步练习有答案Word下载.docx
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D.当AC=BD时,四边形ABCD是正方形
6.如图所示,两个含有30°
角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动,下列说法错误的是( )
A.四边形ACDF是平行四边形
B.当点E为BC中点时,四边形ACDF是矩形
C.当点B与点E重合时,四边形ACDF是菱形
D.四边形ACDF不可能是正方形
7.从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形,正确的选择为( )
A.①B.②C.③D.④
8.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,添加下列一个条件,能使菱形ABCD成为正方形的是( )
A.BD=ABB.AC=ADC.∠ABC=90°
D.OD=AC
9.下列说法错误的是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
D.邻边相等的矩形是正方形
10.如图,在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作:
连结AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于M、O、N,连结AN,CM,则四边形ANCM是( )
A.矩形B.菱形C.正方形D.无法判断
11.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下面四个结论:
①OA=OD;
②AD⊥EF;
③当∠BAC=90°
时,四边形AEDF是正方形;
④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是( )
A.②③B.②④C.②③④D.①③④
12.在一次数学课上,张老师出示了一个题目:
“如图,▱ABCD的对角线相交于点O,过点O作EF垂直于BD交AB,CD分别于点F,E,连接DF,BE.请根据上述条件,写出一个正确结论.”其中四位同学写出的结论如下:
小青:
OE=OF;
小何:
四边形DFBE是正方形;
小夏:
S四边形AFED=S四边形FBCE;
小雨:
∠ACE=∠CAF.
这四位同学写出的结论中不正确的是( )
A.小青B.小何C.小夏D.小雨
二.填空题(共6小题)
13.如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为 .
14.如图,正方形ABCD中,点E为对角线AC上一点,且AE=AB,则∠BEA的度数是 度.
15.如图,正方形ABCD中,扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E,AB=2cm.则图中阴影部分面积为 .
16.如图,以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF,则下列结论:
:
①△EBF≌△DFC;
②四边形AEFD为平行四边形;
③当AB=AC,∠BAC=120°
时,四边形AEFD是正方形.其中正确的结论是 .(请写出正确结论的序号).
17.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°
,AD=CD,DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18,则DP的长是 .
18.如图,在正方形ABCD中,过B作一直线与CD相交于点E,过A作AF垂直BE于点F,过C作CG垂直BE于点G,在FA上截取FH=FB,再过H作HP垂直AF交AB于P.若CG=3.则△CGE与四边形BFHP的面积之和为 .
三.解答题(共5小题)
19.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF,求证:
△ABE≌△BCF.
20.已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.
(1)求证:
△BGF≌△FHC;
(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.
21.如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A、B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.
GF=GC;
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.
22.如图,已知:
在四边形ABFC中,∠ACB=90°
,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE;
(1)试判断四边形BECF是什么四边形?
并说明理由.
(2)当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?
请回答并证明你的结论.
23.四边形ABCD为正方形,点E为线段AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)如图1,求证:
矩形DEFG是正方形;
(2)若AB=2,CE=,求CG的长度;
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°
时,直接写出∠EFC的度数.
参考答案
1.D.
2.B.
3.A.
4.C.
5.D.
6.B.
7.C.
8.C.
9.B.
10.B.
11.C.
12.B.
13.(﹣1,5).
14.67.5.
15..
16.①②.
17.3.
18.9
19.证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°
,
在△ABE和△BCF中,
∴△ABE≌△BCF.
20.解:
(1)∵点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点,
∴FH∥BE,FH=BE,FH=BG,
∴∠CFH=∠CBG,
∵BF=CF,
∴△BGF≌△FHC,
(2)当四边形EGFH是正方形时,可得:
EF⊥GH且EF=GH,
∵在△BEC中,点,H分别是BE,CE的中点,
∴GH=,且GH∥BC,
∴EF⊥BC,
∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴AB=EF=GH=a,
∴矩形ABCD的面积=.
21.证明:
(1)如图1,连接DF,
∴DA=DC,∠A=∠C=90°
∵点A关于直线DE的对称点为F,
∴△ADE≌△FDE,
∴DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90°
∴∠DFG=90°
在Rt△DFG和Rt△DCG中,
∵,
∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL),
∴GF=GC;
(2)BH=AE,理由是:
证法一:
如图2,在线段AD上截取AM,使AM=AE,
∵AD=AB,
∴DM=BE,
由
(1)知:
∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠ADC=90°
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°
∴2∠2+2∠3=90°
∴∠2+∠3=45°
即∠EDG=45°
∵EH⊥DE,
∴∠DEH=90°
,△DEH是等腰直角三角形,
∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°
,DE=EH,
∴∠1=∠BEH,
在△DME和△EBH中,
∴△DME≌△EBH,
∴EM=BH,
Rt△AEM中,∠A=90°
,AM=AE,
∴EM=AE,
∴BH=AE;
证法二:
如图3,过点H作HN⊥AB于N,
∴∠ENH=90°
由方法一可知:
DE=EH,∠1=∠NEH,
在△DAE和△ENH中,
∴△DAE≌△ENH,
∴AE=HN,AD=EN,
∴AB=EN=AE+BE=BE+BN,
∴AE=BN=HN,
∴△BNH是等腰直角三角形,
∴BH=HN=AE.
22.解:
(1)四边形BECF是菱形.
∵EF垂直平分BC,
∴BF=FC,BE=EC,
∴∠3=∠1,
∵∠ACB=90°
∴∠3+∠4=90°
,∠1+∠2=90°
∴∠2=∠4,
∴EC=AE,
∴BE=AE,
∵CF=AE,
∴BE=EC=CF=BF,
∴四边形BECF是菱形.
(2)当∠A=45°
时,菱形BECF是正方形.
证明:
∵∠A=45°
,∠ACB=90°
∴∠1=45°
∴∠EBF=2∠A=90°
∴菱形BECF是正方形.
23.
(1)证明:
作EP⊥CD于P,EQ⊥BC于Q,
∵∠DCA=∠BCA,
∴EQ=EP,
∵∠QEF+∠FEC=45°
,∠PED+∠FEC=45°
∴∠QEF=∠PED,
在Rt△EQF和Rt△EPD中,
∴Rt△EQF≌Rt△EPD,
∴EF=ED,
∴矩形DEFG是正方形;
(2)如图2中,在Rt△ABC中.AC=AB=2,
∵EC=,
∴AE=CE,
∴点F与C重合,此时△DCG是等腰直角三角形,易知CG=.
(3)①当DE与AD的夹角为30°
时,∠EFC=120°
②当DE与DC的夹角为30°
时,∠EFC=30°
综上所述,∠EFC=120°
或30°
.
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