三角函数的恒等变换及图像docx.docx
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三角函数的恒等变换及图像
基本内容:
1•角的概念的推广,弧度制,任意角三角函数值;
2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式;
3.三角函数的恒等变换(两角和差公式,倍角公式,半角公式);
4.三角函数的图像和性质.(平移伸缩变换)
5.斜三角形解法(正眩定理.余眩定理).知识点梳理:
I、同角三角函数的关系与诱导公式
I
sina=
esca
sina
tana
cosa
倒数关系:
i筍数关系:
11
coso=tana=
secacota
cosa
cota=
sina
平方关系:
•221
sinq+cos~a-l
l+tan26Z=sec2a
l+cot2or=esc2a
2、两角和与差、二倍角公式
(一)主要公式:
I•两角和与差的三角函数
sin(a-0)=sinacos0-cosasin卩
sin(a+0)=sinacos0+cosasin0
cos(a+Q=cos<7cos0-sinasin0
cos(a-0)=cosacos0+sinasin0
2.二倍角公式:
sinla=2sinacosa
2222
cos2a=cosp-sin6Z=l-2sina=2cosa-\
宀2tana
tan2a=
l-tarra
2l+cos2acosa
+0)=J,』cos(a—(p})
“々%八a.21-cos2q
降次公式:
sirra=
2
辅助角公式:
asinQ+bcosd=sin(CX
(二)重要结论:
l.sina土cosa=y/2sin(G±—).
4
2.tana±tan/3=tan(cr±0)(1+tanatan0)=士")
COSQCOS0
sinacosa0
3•tanQ+cotQ=1=2
cosasinasin2a
5.
4.(sinQ±cosQ)2=l±sin2Q・
^^=tan(^±a).
yly=cosx
1
1+tan6T4
3、三角函数的图象(重点)
(一).描点法:
五点作图法(正、余弦曲线)
(二).利用图象变换作三角函数图象.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和平移变换等,重点掌握函数y=Asin(3x+(p)+b(A>0,3>0)的作法.
(1)振幅变换:
由丫=小你的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原來的A倍,得到y=Asinx的图象.
I—|
(2)周期变换:
由『=彳小的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐变为原来的%I倍,得到y=sin (3)平移变换: 由y=sinx的图象上所有的点向左(当(p>0)或向右(当(p<0)平行移动丨 (4)上下平移: 由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动丨bI个单位,得到y=sinx+b的图象. 注意: rfly=sinx的图象利用图彖变换作函数y=Asin(cox+(p)+b(A>0,s>0)(xeR)的图象,要特別注意: 当周期变换和平移变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。 4、三角函数的化简、求值与证明 (一)、三角函数式的化简: 1直接应用公式进行降次、消项; 2切割化弦,异名化同名,异角化同角; (二)、三角函数的求值类型有三类: (1)给角求值: 一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题; (2)给值求值: 给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如a=a+0—0,2o=(Q+0)+(a—0)等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论; (3)给值求角: 实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范圉及函数的单调性求得角。 (3)、三角等式的证明: (1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端的化“异”为“同”; (2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现己知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分析法进行证明。 (4)、三角函数的最值 1、求三角函数最值的常用方法有: (1)配方法;如y=cos2x-cos兀+1或=-sin2x+2sinx-3 (2)化为一个角的三角函数形式,如y=++k等,利用三角函数的有界性解; 2、三角函数的最值都是在给左区间上取得的,因而特别要注意题设屮所给出的角的范围, 还要注意弦函数的有界性. 典型例题导讲1: 1.研究一个含三角式的函数的性质时一般先将函数化为y二Asin(u)x+e)+B或y-Acos(cox+ 4))+B的形式。 [注意]: 函数y二|Asin(cox+e)|的周期是函数y二Asin(cox+4))周期的一半。 TT7T A、 71 4 B、 71 ~2 D、 [例1]函数y=sin(—x+0)cos(—x+0)在x=2时有最大值,则0的一个值是, 1JT 解析: 原函数可变为: 尹=—sin(加+2&),它在x=2时有最大值,即2龙+2&=2k;r+— 选A。 。 1x ②函数y=tanx—cotx的周期为;③函数y=|—+sim—|的周期为。 2.在解决函数y二Asin(3x+e)的相关问题时,一般对3x+e作“整体化”处理。 如: 用“五 兀3龙 点法”作函数y二Asin(cox+e)的图象时,应取cox+e二0、一、龙、——、2龙等,而不是取22 x等于它们;求函数y二Asin(u)x+e)的取值范B)时,应由x的范围确定cox+e的范B),再观察三角函数的图象(或单位圆上的三角函数线),注意: 只需作出y二sin&(把cox+4)视为一个整体,即0)的草图,而无需画y-Asin(cox+4))的图象;求函数y-Asin(cox+)(co>O)的单调区间时,也是视oox+e为一个整体,先指出cox+e的范围,再求x的范围;研究函数 y二Asin(u)x+e)的图象对称性时,则分别令3x+(j)=k^+—和a)x+e二(kUZ),从而得 2 到函数y二Asin(u)x+e)的图象关于直线x=-+—-^-对称,关于点(竺二£,0)对 称(kez),(正、余弦函数图象的对称轴平行于Y轴且过函数图象的最高点或最低点,而对称中心是图象与“平衡轴”的交点);对函数y二Acos(cox+e)也作完全类似的处理。 [例2]画出函数尹二sin(2x+f)在[0,龙]内的图彖并指出其有无对称轴、对称中心。 解析: 作函数y=sin(2x+-)的图象不是先作函数p=sinx的图象,再由它伸宿、平移得 6 V777377J1 到,而是直接描点作图。 但不是在[0,兀]内取—.龙这五点,而是视2x+- 4246 7人厶r兀£兀137rrgr71兀7137rc137r、人I. 为I角,2xH—丘[—9]9耳乂2x—―—、一、兀、—、2兀、7\|点, 66666226 具体列表如2 C兀 2x4-— 6 ~6 兀 71 3冗 T 271 13龙 6 X 0 71 ~6 5tt 12 2兀 3 11/T 12 71 y 1 2 1 0 -1 0 1 2 描点、作图略。 不难看出直线x=~.x=—都不是函数的对称轴,点(竺,0)、(―, 631212 0)也都不是函数图象的对称中心,因为定义域不关于它们对称,所以无对称轴、对称屮心。 [例3]已知函数y=sinxcosx-V3sin2x, (1)指出函数的对称轴.对称中心; (2)指出函数的单调递增区间;(3)函数在(一弓,一誇]上的最大、最小值,并指出取得最大、最小值吋的x的值。 对称中心: 由2心皿得"¥一彳,函数图象的对称中心为呼一彳, JT\兀 [巩固]有以下四个命题: ①函数f(x)=sin(--2x)的一个增区间是[—312 —②若函数 12 f(x)二sin(Cx+°)为奇函数,则。 为龙的整数倍;③对于函数f(x)=tg(2x+—),若f(xi)=f(x2),则x】一X2必是龙的整数倍;④函数y=2sin(2x+-)W图像关于点(-,0)对称。 33 其中止确的命题是 (填上正确命题的序号) [迁移]函数f(x)二2sir? Gx+JJsin2GxT(69>0) 1若对任意xWR恒有f(xi)Wf(x)Wf(X2),求lx】-X2I的最小值; 2若对任意xWR恒f(x)Wf(l),试判断f(x+l)的奇偶性; TT 3若f(x)在[0,丝]上是单调函数,求整数。 的值; 4 3.已知函数y二Asin(cox+e)+B(A>0,u)>0)的图象求表达式,一般先根据函数的最大值M、最小值m(最高、最低点的纵坐标),确定A、B(A+B二M,-A+B二m);根据相邻的最大、最 小值点间的距离d(最高、最低点的横坐标之差的绝对值)确定3(〃=—),最后用最高(或最低)点的坐标代入表达式确定e。 7T2龙 [例4]已知函数y=Asin(3x+e)(A>0,3>0,0veVH)的两个相邻最值点为(一,2),(, 63 —2),则这个函数的解析式为y=. T2兀7T71 解析: A=2,相邻最值点相距半个周期,即一==—>/•T==>w=2> 2362 7TTT 则函数解析式为y=2sin(2x+0),点(一,2)在函数图象.\2=2sin(—+4>)=> 63 —+4>=2k7i^r—得 3266 7171 y=4sin(——x———) 84 7171 A.y=—4sin(——x—),B. 84 C.y=—4sin(—x——),D.y=4sin(—x+—) 8484 4.三角函数图象的平移变换、伸缩变换遵循"图进标退”原理: 即图象向上(右)平移m(m>0)个单位,则表达式中的y(x)应变为y-m(x-m);图象横(纵)坐标变为原来的n倍,则表达式 中的x(y)应变为兰(上)。 关注“先伸缩后平移”与“先平移后伸缩”的结果是不同的。 nn [例5]已知函数/(x)=2acos'x+bsinxcosx-,S.f(0)=£‘/(彳)= (I)函数fCx)的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数? (II)函数/(x)的图象经过怎样的平移后得到y二cosx, 解析: 由/(。 )斗笛)斗得: "¥'刊,降次、“合二为-”后得: .心訓2x+争
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