成都市DHZX一元二次方程综合能力测试题含部份答案.docx
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成都市DHZX一元二次方程综合能力测试题含部份答案
成都市DHZX一元二次方程综合能力测试题
班级:
姓名:
一、填空题
1.x2-5│x│+4=0的所有实数根的和是________.
2.关于x的一元二次方程的一个根为0,则a的值为。
3.已知关于x的一元二次方程的系数满足,则此方程必有一根为。
4.方程:
的解是。
5.方程的较大根为r,方程的较小根为s,则s-r的值为。
6.已知,则.
7.若,则t的最大值为,最小值为。
8.若,,则的值为。
9.已知是方程的两个根,那么.
10.若分式的值为0,则x的值等于。
11.若方程的两根之差为1,则的值是_____.
12.设是方程的两实根,是关于的方程的两实根,则=_____,=_____.
13.已知实数满足,则=_____,=_____,=_____.
二、选择题
14.若方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0是关于x的一元二次方程,则必有().
A.a=b=cB.一根为1C.一根为-1D.以上都不对
15.若分式的值为0,则x的值为().
A.3或-2B.3C.-2D.-3或2
16.已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8,则x2+y2的值为().
A.-5或1B.1C.5D.5或-1
17.已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和-3,则x2-px+q可分解为().
A.(x+2)(x+3)B.(x-2)(x-3)
C.(x-2)(x+3)D.(x+2)(x-3)
18.已知α,β是方程x2+2006x+1=0的两个根,则(1+2008α+α2)(1+2008β+β2)的值为().
A.1B.2C.3D.4
19.已知菱形ABCD的边长为5,两条对角线交于O点,且OA、OB的长分别是关于的方程的根,则等于()
A.B.C.D.
20.若实数,且满足,则代数式的值为()
A.B.C.D.
21.已知m、n是方程的两个根,则()
A、1990B、1992C、-1992D、1999
22.已知是方程的两根,且,则的值等于()
A.-5B.5C.-9D.9
23.已知方程x2+bx+a=0有一根是-a﹙a≠0﹚,则下列代数式的值恒为常数的是﹙﹚
A.abB.C.a+bD.a-b
24.方程﹙x2+x-1﹚x+3=1的所有整数解的个数是﹙﹚
A.2B.3C.4D.5
三 解答题
25.若,关于的方程有两个相等的的正实数根,求的值.
26.已知关于的一元二次方程.
(1)求证:
不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两根为,且满足,求的值.
27已知关于的一元二次方程(为常数).
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)设,为方程的两个实数根,且,试求出方程的两个实数根和的值.
28.已知α是方程x2-1999x+1=0的一个根,求α2-1998α+的值。
29.已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长.
(1)取何值时,方程存在两个正实数根?
(2)当矩形的对角线长是时,求的值.
30.已知关于的方程有两个不相等的实数根.
(1)求的取值范围;
(2)是否存在实数,使方程的两实根互为相反数?
如果存在,求出的值;如果不存在,请您说明理由.
31.已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11.求证:
关于的方程有实数根.
32.若是关于的方程的两个实数根,且都大于1.
(1)求实数的取值范围;
(2)若,求的值.
33.已知关于x的方程
(1)求证:
无论k取何值时,方程总有实数根;
(2)若等腰ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求ABC的周长。
34.已知,求代数式的值。
35.已知是一元二次方程的一根,求的值。
36.如果关于x的方程及方程均有实数根,问这两方程
是否有相同的根?
若有,请求出这相同的根及k的值;若没有,请说明理由。
【问题一】如图,某校广场有一段25米长的旧围栏,现打算利用该围栏的一部分(或全部)为一边,围成一块100平方米的长方形草坪(如图CDEF,CD<CF)已知整修旧围栏的价格是每米1.75元,建新围栏的价格是每米4.5元。
(1)若计划修建费为150元,能否完成该草坪围栏修造任务?
(2)若计划修建费为120元,能否完成该草坪围栏修建任务?
若能完成,请算出利用旧围栏多少米;若不能完成,请说明理由。
略解:
设CF=DE=,则CD=EF=
修建总费用为:
=条件是:
10<≤25
(1)=12∴能完成
(2)
∵△<0此方程元实根∴不能完成
37.已知关于的方程,根据下列条件,分别求出的值.
(1)方程两实根的积为5;
(2)方程的两实根满足.
分析:
(1)由韦达定理即可求之;
(2)有两种可能,一是,二是,所以要分类讨论.
解:
(1)∵方程两实根的积为5
∴
所以,当时,方程两实根的积为5.
(2)由得知:
①当时,,所以方程有两相等实数根,故;
②当时,,由于
,故不合题意,舍去.
综上可得,时,方程的两实根满足.
38.已知是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数,使成立?
若存在,求出的值;若不存在,请您说明理由.
(2)求使的值为整数的实数的整数值.
解:
(1)假设存在实数,使成立.
∵一元二次方程的两个实数根
∴,
又是一元二次方程的两个实数根
∴
∴
,但.
∴不存在实数,使成立.
(2)∵
∴要使其值是整数,只需能被4整除,故,注意到,
要使的值为整数的实数的整数值为.
39.设a,b,c是△ABC的三条边,关于x的方程x2+x+c-a=0有两个相等的实数根,方程3cx+2b=2a的根为x=0.
(1)试判断△ABC的形状.
(2)若a,b为方程x2+mx-3m=0的两个根,求m的值.
23.已知关于x的方程a2x2+(2a-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使方程的两个实数根互为相反数?
如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.
40.如图,A、B、C、D为矩形的4个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;点Q以2cm/s的速度向点B移动,经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?
41.如图,在△ABC中,∠B=90°,BC=12cm,AB=6cm,点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动(不与B点重合),动直线QD从AB开始以2cm/s速度向上平行移动,并且分别与BC、AC交于Q、D点,连结DP,设动点P与动直线QD同时出发,运动时间为t秒,
(1)试判断四边形BPDQ是什么特殊的四边形?
如果P点的速度是以1cm/s,
则四边形BPDQ还会是梯形吗?
那又是什么特殊的四边形呢?
(2)求t为何值时,四边形BPDQ的面积最大,最大面积是多少?
42.如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒,
(1)当t为何值时,△APQ与△AOB相似?
(2)当t为何值时,△APQ的面积为个平方单位?
43.有一边为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一直线l上,当C、Q两点重合时,等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方向匀速运动,
(1)t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5,求时间t;
(2)当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为7,求时间t;
解:
(1)s=(cm2)
(2)当t=5s时,CR=3,设PR与DC交于点G,过点P 作P⊥l于E点,
由△RCQ∽△REP→S△ROG= S=12-=(cm2)
(3)当5s≤t≤8s时,QB=t-5,RC=8-t. 设PQ交AB于点H.
由△QBH∽△QEP→S△QBH=(t-5)2.
由△RCG∽△REP→S△ROG=(8-t)2.
∴S=12-(t-5)2-(8-t)2
即S=-t+t-. 当t=时,s最大,最大值为(cm2).
44.如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,点P为x轴上的—个动点,点P不与点0、点A重合.连结CP,过点P作PD交AB于点D,
(1)求点B的坐标;
(2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标;(3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,
且,求这时点P的坐标;
解:
(1)过C作CM⊥x轴,垂足M,过B作BN⊥x轴,垂足N
因为四边形OABC是等腰梯形,AB=4,∠COA=60°
故:
OC=AB=4,∠OAB=60°,AN=OM,CM=BN
故:
OM=1/2•OC=2=AN,CM=2√3=BN
因为BC//OA,OA=7
故:
MN=OA-OM-AN=3
故:
ON=OM+MN=5
故:
B(5,2√3)
(2)如果△OCP为等腰三角形,因为∠COA=60°
则:
△OCP为正三角形或P在x轴的负半轴上
①当△OCP为正三角形时
故:
OP=OC=4
故:
P(4,0)
②P在x轴的负半轴上时
也有OP=OC=4
故:
P(-4,0)
(3)∠CPD=∠OAB=∠COA=60°
故:
∠OPC+∠DPA=∠DPA+∠ADP=120°
故:
∠OPC=∠ADP
故:
△OPC∽△ADP
故:
OP/AD=OC/PA
因为8*BD=5*AB,AB=4
故:
BD=5/2
故:
AD=AB-BD=3/2
设OP=x,故:
PA=OA-OP=7-x
故:
x/(3/2)=4/(7-x)
故:
x=1或x=6
故:
P(1,0)或P(6,0)
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