人教高中数学选修22课件第1章导数及其应用131Word下载.docx
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•2.求导数/a)・
•3.由几兀)>0(或/©
)vO),解岀”相应的兀的范围
・当%0>0时,比)在相应腳奁间上是
;
当觸<0时,兀0在相应的区间上是.
•4.结合定义域写岀单调区间.
•利用导数求函数的单调区间注意的问题
•
(1)在利用导数求函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
•
(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间中间不能用
连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开.
自主练习
•1.函数y=W—3兀的单调减区间是()
•A.(—°
%0)B.(0,+°
°
)
•C.(—1,1)D・(—°
%-1),(1,+7
•解析:
y'
=3x2-3,
•由=3x2-3v0得-1<
x<
1,
•・・•函数y二八3兀的单调减区间是(-1,1)・
•答案:
C
2.y=x\nx在(0,5)上的单调性是()
A.单调递增
B.单调递减
(仃)、、
C.在0,匚上单调递减,在匚,5上单调递增
Ie丿
((\\
D.在0,匚上单调递增,在「5上单调递减
Ie丿7
Jg析:
函数的定义域为(0,+°
)・
F1
因为=111x+L令>
0,侍x>
y
E1
g'
<
0,得xVg
/i\仃)、、
所以函数y=x\nx在、0,&
上递减,在I,〔上递览.
•3.函数f(Q=(兀一3)7的单调递增区间是
•角军析:
/(%)=(%-3)®
+(%-3)(7)'
=(%-20,令他)>
0,解得x>
2.
(2,+°
•4・证明函数心尸兀+sin兀在R上是增函数.•证明:
/(X)=1+cosX,
•-IScosxSl,.*.0^1+cos兀S2,
•当且仅当cos兀二-1,艮卩兀二(2£
+])兀伙WZ)时//U)=0.
.*./(%)=x+sin兀在R上是增函数
□□
合作探究课堂互动
导数与单调性的关系
•例如果函数丁=/(兀)的图象如图所示,那么导函数y=/(X)的图象可能是()
•[思路点拨]由函数y=A兀)的图象可得到函数的单调情况,进而确定导数的正负,再“按图索骥”•
•解析:
由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正-负-正—负,只有选项A满足.
A
法:
•利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多,只需判断导数在该区间内的正负即可.
•2・通过图象研究函数单调性的方法:
•⑴观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析函数值的变化趋势
/
•
(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与兀
4—ir»
I—八丄LI_I1—
变式训综^
•r设禹数心)在定义域内可导,^=»
的图象如图所示,则导函数丁=/(兀)可能为()
解析:
由函数心)的图象知心)在(-00Z0)
••丁(兀)>0,故排除A、C.X/W在(0,+8)上有三个单调区间,故排除B,故选D.
D
题型二
求函数的单调区间
•例邸M求下列函数的单调区间:
2
(1)y——2x2+3;
(2)y=ln(2x+3)+x2・
[思路点拨]I求定义域I-尿融
f|解不等式VO和w>
o|f|写单调区间
•”=2x2-4x=2x(x-2)•令)/>
0,贝!
]2x(x-2)>
0,
•解得兀<0孤>2.
•所以函数的单调递增区间为(-J0),(2,+8)•
•令/v0,则2x(x-2)<
0,解得0<
x<
2.
•所以函数的单调递减区间为(02)•
3
⑵函数y=ln(2x+3)+x2的定义域为]一审+°
I24x2+6x+22(2兀+1)(兀+1)
V=2x+3+lx=2x+3=2x+3-
3I
令>
0,解得一㊁VxV—1或x>
~2-
令V0,解得一lVxV—
所以函数的单调递减区间为一1,
\
•⑴求定义域;
•
(2)解不等式f(x)>
0(或怠)<
0);
•(3)把不等式的解集与定义域求交集得单调区
•特别提醒:
(1)单调区间不能“并”,即不能用“U”符号连接,只能用J”或“和”隔开.
•
(2)导数法求得的单调区间一般用开区间表示
册变式训练)
•2.
(1)求函^f(x)=3x2—21nx的单调区间;
•
(2)设函数/(兀)=111(兀+61)+兀2,若几—i)=o,求。
的值,并讨论/(兀)的单调区间.
(1)函数的定义域为(0,+^),
令f(x)>
0,即2•技二^>
解得一专<
%<
0或
3%2—1
令f(x)<
0,即2・<
解得x<
—3'
或0<
xv*,
、3
乂Tx>
0,•:
0<
^~.
・•・/«
的单调递增区间为]¥
单调递减区间为0,
⑵f⑴=止+"
依题意,有f(—1)=0,故a=j.
U由d/、2#+3兀+1(2x+l)(x+l)
从而于(兀)一3一a
%+㊁x~^2
(3)
则兀x)的定义域为[―刁+°
z
当一,<
xv—1时,f(x)>
0;
当一1<
¥
—㊁时,f(%)<
0;
当x>
—g时,f(x)>
0.
从而/w在区间[―乞
1
—刍+-上单调递增,在区
Jz丿
例❸《试讨论函数»
=^3-3%2+1-^的单调性.
•[思路点拨]函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往往要转化为解含参数的不等式问题,这时应对所含参数进行适当的分类讨论,做到不重不漏,最后要将各种情况分别进行表述.
a)
2
(1)当a>
0时,->
若XW(—OO,0)时,则f(x)>
0,所以在(-OO,0)上是增函数;
(2)
(2)
若0,-,则f(%)<
0,所以沧)在0,匚上是减函数;
\u丿\u丿
(2}(2}
若+oo,则f(%)>
0,所以几¥
)在匚,+°
上是增
丿\Cl丿
函数.
(2)当xO时,—vO
22
若用—°
-,则f(x)<0,所以心)在一-上是减
\a丿\a丿
函数;
o],贝护⑴>0,所以/⑴在[I,o]上是增函数;
丿W丿
10分
若XG(O,+oo),贝护(%)<0,所以您0在(0,+oo)上是减
综上讨论可知:
当d>
o时,函数/(X)在(―°
0)上是增函数;
(2)(2}
在0,方上是减函数,在力+°
上是增函数;
(2、
当x0时,函数沧)在一°
,;
上是减函数;
(2)、
12分
在70上是增函数,在(0,+°
)上是减函数.
丿
通常归结为求含参不等式的解集问题,而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论,但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.
❶变式训练〕
3.已知函数f(x)=^x2-[-a\nx(a^R,aHO),求几兀)的单调区间.
由于f(x)=^x2-[-a\nx,所以f(x)=^+|.
(1)当a>
0时,函数的定义域是(0,+s),于是有f(x)=x+¥
•A
所以函数只有单调递增区间(0,+-).
(2)当ovO时,函数的定义域是(0,4-oo),
由f(%)=%+->
0,得x>
\j—a;
由f(%)=%+-<
0,得0<
rv寸_a・
所以当avO时,函数的单调递增区间是(尸,+-),单调递减区间是(0,\j~a)•
综上所述:
当a>
0时,几劝只有单调递增区间(0,+°
);
当«
00^,»
的单调递增区间是(\戸,+-),单调递减区间是(0,
•例若函=ax3—x2+x—5在R上单调递增,求实数。
的取值范围.
[思路点拨]|对函数求导|『(劝三0恒成立]判别或
I实数。
的取值范围I
解:
若/(x)=ax3~x2-\-x—5在R上单调递增,
则f(x)=3ax2-2x~bl^0在R上恒成立,对于3处2—2兀+1=0,
△=4—4X3°
W0,
开口向上,则°
0,
如何求参数的取值范围?
函数在区间s切上单调递增(减)
f(x)20(f(x)<
0)f在区间S切上
恒成立
利用分离参数法—-或函数性质求解恒成立问题
对等号单独验证
•2.注意事项:
•—般地,最后要检验参数的取值能否使心)恒等于0.奇(兀)恒等于0,则参数的这个值应舍去;
若只有在个别点处有心)二0,则由几OR(或/G)SO)恒成立解出的参数取值范围为最后解・
•4.已知函数/(兀)=2ax~x3,xG(O,l],d>
0,若您0在(0,1]上是增函数,求d的取值范围.
由题意知fa)=2a—3/,且方程fa)=o的根
为有限个,则沧)在(0,1]上为增函数等价于f(x)=2a—3/20
一3一(3)
对xe(o,l]恒成立•即°
三|^对%$©
1]恒成立,只需q$[|x2Jmax即可.由兀丘(0,1]得討切0,㊁,从而Q三]所以Q的取值范围为|,+°
.
误区警示
•◎已知函数/S)=ln(l+兀)一兀,求几兀)的单调区间•1r
【错解】f⑴二币-1=币・
由f⑴>
0,得一l<
0,所以几劝的单调递增区间为(一
1,0);
由f⑴v0,得Q0或XV—1,所以几r)的单调递减区间为
(0,+oo)U(-oo,-1).
•【错因】错解的原因是忽视了函数的定义播・本题中含肴对薮函数/首先应确定函数的定义域z再耒导舸(兀)Z进而判断单调区间
【正解】因为»
=lnd+.)-x,所以函数的定义域为(一
1._Z2L
1,且f⑴二占=
由f(x)>
0,得一1ovO,所以»
的单调递增区间为(—1;
由fW<
0,得QO,所以妙的单调递减区间为(°
,+6
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- 高中数学 选修 22 课件 导数 及其 应用 131