版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数223第2课时对数函数的图象和性质的应用学案湘教版必修1文档格式.docx
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[预习导引]
形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)函数的性质
(1)函数y=logaf(x)的定义域须满足f(x)>0.
(2)当a>1时,函数y=logaf(x)与y=f(x)具有相同的单调性;
当0<a<1时,函数y=logaf(x)与函数y=f(x)的单调性相反.
解决学生疑难点________________________________________
_______________________________________________________
______________________________________________________
要点一 对数值的大小比较
例1 比较下列各组中两个值的大小:
(1)ln0.3,ln2;
(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);
(3)log30.2,log40.2;
(4)log3π,logπ3.
解
(1)因为函数y=lnx是增函数,且0.3<2,
所以ln0.3<ln2.
(2)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2;
当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.
(3)方法一 因为0>log0.23>log0.24,所以<,即log30.2<log40.2.
方法二 如图所示
由图可知log40.2>log30.2.
(4)因为函数y=log3x是增函数,且π>3,所以log3π>log33=1.
同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.
规律方法 比较对数式的大小,主要依据对数函数的单调性.
1.若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较.
2.若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
3.若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象,再进行比较.
4.若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
跟踪演练1
(1)设a=log32,b=log52,c=log23,则( )
A.a>c>b B.b>c>a
C.c>b>aD.c>a>b
(2)已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( )
A.a>b>cB.a>c>b
C.b>a>cD.c>a>b
答案
(1)D
(2)B
解析
(1)利用对数函数的性质求解.
a=log32<log33=1;
c=log23>log22=1,
由对数函数的性质可知log52<log32,∴b<a<c,故选D.
(2)a=log23.6=log43.62,函数y=log4x在(0,+∞)上为增函数,3.62>3.6>3.2,所以a>c>b,故选B.
要点二 对数函数单调性的应用
例2 求函数y=(1-x2)的单调增区间,并求函数的最小值.
解 要使y=(1-x2)有意义,则1-x2>0,
∴x2<1,则-1<x<1,
因此函数的定义域为(-1,1).令t=1-x2,x∈(-1,1).
当x∈(-1,0]时,x增大,t增大,y=t减小,
∴x∈(-1,0]时,y=(1-x2)是减函数;
同理当x∈[0,1)时,y=(1-x2)是增函数.
故函数y=(1-x2)的单调增区间为[0,1),且函数的最小值ymin=(1-02)=0.
规律方法 1.求形如y=logaf(x)的函数的单调区间,一定树立定义域优先意识,即由f(x)>0,先求定义域.
2.求此类型函数单调区间的两种思路:
(1)利用定义求证;
(2)借助函数的性质,研究函数t=f(x)和y=logat在定义域上的单调性,从而判定y=logaf(x)的单调性.
跟踪演练2
(1)函数f(x)=|x|的单调递增区间是( )
A.B.(0,1]
C.(0,+∞)D.[1,+∞)
(2)设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A.[-1,2]B.[0,2]
C.[1,+∞)D.[0,+∞)
答案
(1)D
(2)D
解析
(1)f(x)=
当x≥1时,t=x是减函数,
f(x)=-x是增函数.
∴f(x)的单调增区间为[1,+∞).
(2)f(x)≤2⇔或⇔0≤x≤1或x>1,故选D.
要点三 对数函数的综合应用
例3 已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1),
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断函数的奇偶性和单调性.
解
(1)要使此函数有意义,
则有或
解得x>1或x<-1,
此函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(2)f(-x)=loga=loga
=-loga=-f(x).
又由
(1)知f(x)的定义域关于原点对称,
∴f(x)为奇函数.
f(x)=loga=loga(1+),
函数u=1+在区间(-∞,-1)和区间(1,+∞)上单调递减.所以当a>1时,f(x)=loga在(-∞,-1),(1,+∞)上递减;
当0<a<1时,f(x)=loga在(-∞,-1),(1,+∞)上递增.
规律方法 1.判断函数的奇偶性,首先应求出定义域,看是否关于原点对称.
2.求函数的单调区间有两种思路:
(1)易得到单调区间的,可用定义法来求证;
(2)利用复合函数的单调性求得单调区间.
跟踪演练3 已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中(a>0且a≠1),设h(x)=f(x)-g(x).
(1)求函数h(x)的定义域,判断h(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(3)=2,求使h(x)<0成立的x的集合.
解
(1)∵f(x)=loga(1+x)的定义域为{x|x>-1},
g(x)=loga(1-x)的定义域为{x|x<1},
∴h(x)=f(x)-g(x)的定义域为{x|x>
-1}∩
{x|x<1}={x|-1<x<1}.
函数h(x)为奇函数,理由如下:
∵h(x)=f(x)-g(x)=loga(1+x)-loga(1-x),
∴h(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)
=-[loga(1+x)-loga(1-x)]=-h(x),
∴h(x)为奇函数.
(2)∵f(3)=loga(1+3)=loga4=2,∴a=2.
∴h(x)=log2(1+x)-log2(1-x),
∴h(x)<0等价于log2(1+x)<log2(1-x),
∴解之得-1<x<0.
∴使得h(x)<0成立的x的集合为{x|-1<x<0}.
1.函数y=lnx的单调递增区间是( )
A.[e,+∞)B.(0,+∞)
C.(-∞,+∞)D.[1,+∞)
答案 B
解析 函数y=lnx的定义域为(0,+∞),在(0,+∞)上是增函数,故该函数的单调递增区间为(0,+∞).
2.设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( )
A.a<c<bB.b<c<a
C.a<b<cD.b<a<c
答案 D
解析 ∵1=log55>log54>log53>log51=0,
∴1>a=log54>log53>b=(log53)2.
又∵c=log45>log44=1.∴c>a>b.
3.函数f(x)=的定义域是( )
A.(1,+∞)B.(2,+∞)
C.(-∞,2)D.(1,2]
解析 由题意有解得1<x≤2.
4.函数f(x)=的值域为________.
答案 (-∞,2)
解析 当x≥1时,x≤1=0,
∴当x≥1时,f(x)≤0.当x<1时,0<2x<21,
即0<f(x)<2.因此函数f(x)的值域为(-∞,2).
5.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.
答案
解析 要使y=log5(2x+1)有意义,则2x+1>0,
即x>-,而y=log5u为(0,+∞)上的增函数,
当x>-时,u=2x+1也为(-,+∞)上的增函数,
故原函数的单调增区间是.
1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题,其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确,一般要分a>1和0<a<1两类分别求解.
2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则,同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.
一、基础达标
1.若集合A=,则∁RA等于( )
A.(-∞,0]∪
B.
C.(-∞,0]∪
D.
答案 A
解析 x≥,即x≥,
∴0<x≤,即A=,
∴∁RA=.故选A.
2.设a=log3π,b=log2,c=log3,则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>cD.b>c>a
解析 a=log3π>1,
b=log2=log23∈,
c=log3=log32∈,
故有a>b>c.
3.函数f(x)=logax(0<a<1)在[a2,a]上的最大值是( )
A.0 B.1C.2 D.a
答案 C
解析 ∵0<a<1,∴f(x)=logax在[a2,a]上是减函数,
∴f(x)max=f(a2)=logaa2=2.
4.函数f(x)=lg()是( )
A.奇函数B.偶函数
C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数
解析 f(x)定义域为R,
f(-x)+f(x)
=lg()+lg()
=lg=lg1=0,
∴f(x)为奇函数,选A.
5.函数y=(-x2+4x+12)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2)B.(2,+∞)
C.(-2,2)D.(-2,6)
解析 y=u,u=-x2+4x+12.
令u=-x2+4x+12>0,得-2<x<6.
∴x∈(-2,2)时,u=-x2+4x+12为增函数,
∵y=u为减函数,
∴函数的单调减区间是(-2,2).
6.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f()=0,则不等式f(log4x)<0的解集是________.
答案 {x|<x<2}
解析 由题意可知,f(log4x)<0⇔-<log4x<⇔log44<log4x<log44⇔<x<2.
7.已知f(x)=(x)2-3x,x∈[2,4].试求f(x)的最大值与最小值.
解 令t=x,
则y=t2-3t=(t-)2-,
∵2≤x≤4,∴4≤x≤2,
即-2≤t≤-1.
可知y=(t-)2-在[-2,-1]上单调递减.
∴当t=-2时,y取最大值为10;
当t=-1时,y取最小值为4.
故f(x)的最大值为10,最小值为4.
二、能力提升
8.设a=log36,b=lo
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