浅析系统函数对离散LTI系统特性的分析毕业论文1 精品Word下载.docx

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Analysessystemfunctioncharacteristicsofdiscrete-timeLTIsystemsanalysis

FuXuchao,PhysicsandElectronicInformationCollege

Abstract:

Inadiscretesystem,themainanalysismethodoftransformdomainisZchangeanalysis.Ztransformationcanbeusedtoanalyzevariouscharacteristicsofsignalsandsystems,includingcausalityandstabilityofthesystem,usingthefrequencycharacteristicofthesystemanalysisofthezeropoledistributionsystem,theminimumphasesystemandall-passsystem.ButtheuseofmanualcalculationmethodtoachievehighorderdiscretecharacteristicanalysisofLTIsystemisverydifficult,verylargeamountofcalculationanddifficulttoachieve.Inthispaper,usingMATLABsimulationsoftwareanalysisseveralcharacteristicsandhowtorealizethesimulationofsignalandsystem,etc.

Keywords:

Systemfunctions；

Ztransformation；

MATLAB;

0引言

信号与系统的分析在通信与信息系统、信号处理、自动控制和检测技术等领域都有着十分重要的作用。

信号与系统的分析一般先抽象为数学模型，然后讨论系统本身的初始状态和稳定程度.随着科学技术的发展，对通信系统的要求越来越高，越来越精密，通信信号的形式也越来越复杂。

但是系统函数却不会受到这些以因素变化的影响，它反应的是系统特定的特性。

本文介绍了系统函数对信号和系统的分析应用，系统函数通常用于单输入，单输出的模拟电路的分析，其通过系统的输入量和输出量之间的关系来描述系统固有的特性，这就是系统函数的基本思想。

当一个系统内部结构不清楚，或者根本无法弄清楚它的内部结构时，对系统的输入、输出量进行动态观测以建立系统的数学模型。

本文主要利用Z变换和MATLAB仿真软件分析信号与系统的各种特性，包括系统的因果性和稳定性，利用系统函数的零极点分布分析系统的频率特性，最小相位系统以及全通系统的特点等。

为了分析系统函数对离散LTI系统的特性分析，由于高阶离散LTI分析人工的计算量太大，必须借助计算机软件MATLAB来实现仿真和分析。

而且离散时间信号的高精度、可靠性好、便于集成等优点在很多领域得以运用，通过系统函数和计算机软件仿真分析系统特性成了掌握离散LTI信号系统的重要基本的内容。

本文主要讨论和求解系统函数对离散LTI信号响应的几种方法以及用MATLAB软件的实现。

MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。

它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。

1系统函数和离散系统

1.1系统函数的定义

离散信号与系统中，变换域的分析方法有Z变化法和傅里叶变化法。

利用Z变换可以分析信号与系统的复频域特性，而和傅里叶变化法可以分析系统的频域特性。

我们知道，用单位脉冲响应h（n）可以表示线性时不变离散系统，这时y（n）=x（n）*h（n）两边取Z变换:

H（z）=Y（z）/X（z）,定义为系统函数。

它是单位脉冲响应的Z变换。

单位圆上的系统函数就是系统的频率响应。

所以可以用单位脉冲响应的Z变换来描述线性时不变离散系统。

因h（n）与H（z）是Z的变换对，H（z）称为离散系统的系统函数.系统函数H（z）还可以用差分方程来定义，离散系统的数学模型一般为[1]:

对上式两边进行Z变换，在零状态情况下，有[1]:

（1-1）

比较上面两式可得[2]：

（1-2）

上式说明离散系统的系统函数H（z）等于零状态响应的输出信号的系统函数Y（z）与激励信号的系统函数函数X（z）之比值.其分子与分母都是的多项式，故可以分解成因式.式中K为常数，是H（z）的零点，而是H（z）的极点。

他们取决于差分方程的系数。

与拉氏变换类似，H（z）的极点决定了h（n）的性质，而零点只影响h（n）的幅值和相位。

1.2系统函数的零极点

定义：

极点（Pole）是传输函数分母为0时z的取值；

零点（Zero）是传输函数分子为0时z的取值。

传输函数H（z）的一般表示为分子多项式除以分母多项式的有理函数[3]：

（1-3）

负指数使得求零极点很困难，因此把H（z）表示成分子分母的指数都为正，从数学角度看，这样并没有改变传输函数。

但这并不意味着计算零极点一定要表示成正指数，只是这样使得求根过程更加直接。

分子分母因式分解，得：

（1-4）

此处K为系统的增益，是系统的零点，是系统的极点。

因此,H（z）函数可在Z域中用零极点图的形式来描述。

这个事实在设计简单的滤波器时很重要，只要正确地配置零极点就可达到目的。

零极点中，极点对数字滤波器的特性影响最大，零点可以用来调整极点所引起的滤波器特性，调整的大小取决于它与极点的相对位置。

分别对负指数的有理函数H（z）的分子分母多项式使用MATLAB的roots函数，就可求得其零极点。

（前面讨论roots的逆向函数poly，用它可通过其根求得多项式的系数。

）也可利用DSPToolsbox中的zplane（b,a）函数，由给定的分子行向量b和分母行向量a绘制出系统的零极点图，同前面一样，用符号“o”表示零点“x”表示极点，图中还给出用作参考的单位圆。

1.3离散系统

离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统，它有多种类型，其中线性时不变离散时间系统是最基本、最重要的系统。

如果离散系统中乘法器的系数不随时间变化，这种系统便称为时不变离散系统。

线性时不变系统：

既满足叠加原理又具有时不变特性，它可以用单位脉冲响应来表示。

单位脉冲响应是输入端为单位脉冲序列时的系统输出，一般表示为h（n），即[4]

（1-5）

任一输入序列x（n）的相应；

由于系统是线性的，所以上式可以写成

（1-6）

又由于系统是时不变的，即有,从而得

；

（1-7）

图1.1离散LTI系统的线性

2系统函数对离散系统稳定性和因果性的分析

2.1稳定性

系统的稳定性是系统实现其功能的前提。

因此，对系统进行稳定性判断就显得十分必要，根据连续时间和离散时间LTI系统的和来判定LTI系统是否稳定的条件分别为[5]:

（2-1）

它和连续离散时间傅里叶变换的狄礼赫利条件1是等价的，故对连续时间和离散时间LTI系统，根据其频率响应来判定稳定系统的条件是具有有界的幅频响应，即[3]:

（2-2）

按此条件，若频率响应中成分包含了冲激成分，例如，积分器和累加器的频率响应，系统就不稳定。

另外，微分器的频率响应也不满足上式，故它也不稳定；

而离散时间差分器的幅频响应为，它满足上式，所以是稳定的LTI系统。

根据拉普拉斯变换与傅里叶变换和Z变换之间的关系，在复频域上，LTI系统是否稳定的依据分别为：

若一个连续时间和离散时间LTI系统的系统函数H（s）和H（z）的收敛域分别包含S平面的虚轴好（包括无穷远点）和Z平面的单位圆，则该LTI系统是稳定的，否则就是不稳定。

2.2因果性

在时域中，因果的连续时间和离散时间LTI系统，其单位冲激响应满足：

和（2-3）

根据拉普拉斯变换和Z变换的性质，连续时间和离散时间因果LTI系统函数收敛域分别是：

S平面上某条平行于虚轴的直线右侧的半个有限S平面（可能不包括无穷远点），和Z平面上某个圆周外部的圆外区域，包括无穷远点，即表示为[2]:

，可能包括无穷远点和。

对于因果时间函数和因果序列，它们傅里叶变换的实部和虚部分别满足各自的希尔伯特变换关系。

故在频域和上，因果性没有简单和直观的反映，但鉴于傅里叶变换和双边拉普拉斯变换或Z变换之间的关系，总可以有LTI系统的频率响应转换到复频域中，按照系统函数收敛域特性，判别LTI系统是否因果。

综合稳定性和因果性两方面的判据，连续时间和离散时间LTI系统既是因果又是稳定的系统条件为：

系统的所有极点必须位于虚轴左边半个有限S平面上和Z平面的单位圆内部。

换句话说，在虚轴及其右侧半个S平面上（包括无穷远点）和Z平面单位圆及其外部直至无穷远点处，没有系统函数的一个极点。

2.3通过系统函数零极点分析系统的因果稳定性

由前面的分析，可得若系统因果稳定，则的极点都在单位圆的内部。

换言之，一个因果稳定系统的系统函数必须在从单位圆到的整个z域内收敛，即[3]:

（2-4）

也就是说系统函数的全部极点必须在单位圆内。

设系统由下面的差分方程描述：

y（n）-1.

1）求系统的系统函数和零极点；

2）限定系统是稳定的，写出的收敛域，并求出其单位脉冲响应。

解:

将上式进行z变换，得到

由求得零点

极点：

令=0，求出极点

由于限定系统是稳定的，收敛域需选包含单位圆在内的收敛域[4]，即

，c内只有极点，只需求点的留数，

，c内只有两个极点，和z=0，因为z=0是一个n阶极点，改成求园外极点留数，园外极点只有一个,那么：

最后得到

由此可知此系统是不稳定的。

以下为利用MATLAB计算的零极点，并分析系统的稳定性。

已知离散因果系统的系统函数为：

用MATLAB绘制其零极点图。

解：

已知，若要获得系统的零极点，可直接应用zplane函数，下面给出MATLAB程序：

b=[0121];

a=[1-0.5-0.0050.3];

figure

（1）

zplane（b,a）;

%画零极点分布和单位圆

holdon

h=impz（b,a）;

%求单位序列响应

figure

（2）

stem（h）;

%画单位序列响应图

图2.1系统的零极点分布图

由图2.1可以看出，系统的极点全部分布在单位圆内，故而该系统是因果稳定的。

3利用系统函数零极点图分析系统的频率响应

3.1理论分析

线性时不变离散系统用差分方程表示，考虑N阶差分方程[5]:

（3-1）

不考虑瞬态响应（初