高中数学选修11人教版 练习第三章 导数及其应用含答案Word格式.docx
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4.函数y=12x-x3的单调递增区间为( C )
A.(0,+∞)B.(-∞,-2)
C.(-2,2)D.(2,+∞)
[解析] y′=12-3x2=3(4-x2)=3(2+x)(2-x),令y′>
0,得-2<
x<
2,故选C.
5.(2016·
福建宁德市高二检测)曲线f(x)=在x=e处的切线方程为( A )
A.y=B.y=e
C.y=xD.y=x-e+
[解析] f′(x)=,∴f′(e)==0,
∴曲线在x=e处的切线的斜率k=0.
又切点坐标为(e,),∴切线方程为y=.
6.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a=( D )
A.2B.3
C.4D.5
[解析] f′(x)=3x2+2ax+3,由条件知,x=-3是方程f′(x)=0的实数根,∴a=5.
7.三次函数f(x)=mx3-x在(-∞,+∞)上是减函数,则m的取值范围是( C )
A.m<
0B.m<
1
C.m≤0D.m≤1
[解析] f′(x)=3mx2-1,由题意知3mx2-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,当m=0时,-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立;
当m≠0时,由题意得m<
0,综上可知m≤0.
8.已知抛物线y=-2x2+bx+c在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,则b+c的值为( C )
A.20B.9
C.-2D.2
[解析] 由题意得y′|x=2=1,又y′=-4x+b,
∴-4×
2+b=1,∴b=9,
又点(2,-1)在抛物线上,
∴c=-11,∴b+c=-2,故选C.
9.三次函数当x=1时,有极大值4;
当x=3时,有极小值0,且函数过原点,则此函数是( B )
A.y=x3+6x2+9xB.y=x3-6x2+9x
C.y=x3-6x2-9xD.y=x3+6x2-9x
[解析] 设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),
∵函数图象过原点,∴d=0.f′(x)=3ax2+2bx+c,
由题意得,,即,解得,
∴f(x)=x3-6x2+9x,故应选B.
10.(2016·
山西大同高二月考)某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为P元,销售量为Q,则销售量Q(单位:
件)与零售价P(单位:
元)有如下关系Q=8300-170P-P2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( D )
A.30元B.60元
C.28000元D.23000元
[解析] 设毛利润为L(P),由题意知L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)=(8300-170P-P2)(P-20)=-P3-150P2+11700P-166000,所以L′(P)=-3P2-300P+11700.令L′(P)=0,解得P=30或-130(舍).此时L(30)=23000,因为在P=30附近的左侧L′(P)>
0,右侧L′(P)<
0.所以L(30)是极大值也是最大值.
11.(2016·
山东滕州市高二检测)已知f′(x)是函数f(x)在R上的导函数,且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( C )
[解析] ∵x=-2时,f(x)取得极小值,∴在点(-2,0)左侧,f′(x)<
0,∴xf′(x)>
0,在点(-2,0)右侧f′(x)>
0,∴xf′(x)<
0,故选C.
12.(2016·
山西晋城月考)已知f(x)=x3-3x,过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则实数m的取值范围是( D )
A.(-1,1)B.(-2,3)
C.(-1,2)D.(-3,-2)
[解析] 设切点为(t,t3-3t),f′(x)=3x2-3,则切线方程为y=(3t2-3)(x-t)+t3-3t,整理得y=(3t2-3)x-2t3.把A(1,m)代入整理,得2t3-3t2+m+3=0 ①.因为过点A可作三条切线,所以①有三个解.记g(t)=2t3-3t2+m+3,则g′(t)=6t2-6t=6t(t-1),所以当t=0时,极大值g(0)=m+3,当t=1时,极小值g
(1)=m+2.要使g(t)有三个零点,只需m+3>
0且m+2<
0,即-3<
m<
-2.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,将正确答案填在题中横线上)
13.若函数f(x)=x3-f′
(1)x2+2x-5,则f′
(2)= .
[解析] ∵f′(x)=3x2-2f′
(1)x+2,
∴f′
(1)=3-2f′
(1)+2,∴f′
(1)=.
因此f′
(2)=12-4f′
(1)+2=.
14.已知函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值,则c的取值范围为 c<
.
[解析] ∵f′(x)=x2-x+c且f(x)有极值,
∴f′(x)=0有不等的实数根,即Δ=1-4c>
0.
解得c<
.
15.已知函数f(x)=x3-x2-x+m在[0,1]上的最小值为,则实数m的值为__2__.
[解析] f′(x)=x2-2x-1,
令f′(x)<
0,得1-<
1+,
∴f(x)在(1-,1+)上单调递减,即f(x)在[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f
(1)=-1-1+m=,解得m=2.
16.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围是__a<
-1__.
[解析] ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a.
当a≥0时,y不可能有极值点,故a<
由ex+a=0,得ex=-a,∴x=ln(-a).
∴x=ln(-a)即为函数的极值点.
∴ln(-a)>
0,即ln(-a)>
ln1.
∴a<
-1.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30.求g(4).
[解析] 由f(2x+1)=4g(x),
得4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d.
于是有
由f′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,∴a=c,③
由f(5)=30,得25+5a+b=30.④
由①③可得a=c=2,由④得b=-5,
再由②得d=-,∴g(x)=x2+2x-.
故g(4)=16+8-=.
18.(本题满分12分)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,求实数a的值.
[解析] 设直线与曲线y=x3的切点坐标为(x0,y0),
由题意得,
解得x0=0或x0=.
当x0=0时,切线的斜率k=0,
∴切线方程为y=0.
由,得ax2+x-9=0.
Δ=()2+36a=0,
解得a=-.
当x0=时,k=,
其切线方程为y=(x-1).
由,得ax2-3x-=0.
Δ=(-3)2+9a=0,解得a=-1.
综上可知a=-1或a=-.
19.(本题满分12分)(2016·
安徽合肥高二检测)已知函数f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的极值.
[解析] ∵f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,
∴f′(x)=48x2-40ax+8a2=8(6x2-5ax+a2)
=8(2x-a)(3x-a),
令f′(x)=0,得x1=,x2=.
(1)当a>
0时,<
,则随着x的变化,
f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,)
(,)
(,+∞)
f′(x)
+
-
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
∴当a=时,函数取得极大值f()=;
当x=时,函数取得极小值f()=0.
(2)当a<
∴当x=时,函数取得极大值f()=0;
当x=时,函数取得极小值f()=.
综上所述,当a>
0时,函数f(x)在x=处取得极大值f()=,在x=处取得极小值f()=0;
当a<
0时,函数f(x)在x=处取得极大值f()=0在x=处取得极小值f()=.
20.(本题满分12分)(2017·
全国Ⅲ文,21)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论f(x)的单调性;
0时,证明f(x)≤--2.
[解析]
(1)解:
f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=+2ax+2a+1=.
若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f′(x)>
0,
故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a<
0,则当x∈(0,-)时,f′(x)>
当x∈(-,+∞)时,f′(x)<
故f(x)在(0,-)上单调递增,在(-,+∞)上单调递减.
(2)证明:
由
(1)知,当a<
0时,f(x)在x=-处取得最大值,最大值为f(-)=ln(-)-1-.
所以f(x)≤--2等价于ln(-)-1-≤--2,
即ln(-)++1≤0.
设g(x)=lnx-x+1,
则g′(x)=-1.
当x∈(0,1)时,g′(x)>
0;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)<
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g
(1)=0.
所以当x>
0时,g(x)≤0.
从而当a<
0时,ln(-)++1≤0,
即f(x)≤--2.
21.(本题满分12分)(2017·
全国Ⅰ文,21)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
[解析]
(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),
f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).
①若a=0,则f(x)=e2x在(-∞,+∞)上单调递增.
②若a>
0,则由f′(x)=0得x=lna.
当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<
当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>
故f(x)在(-∞,lna)上单调递减.
在(lna,+∞)上单调递增.
③若a<
0,则由f′(x)=0得x=ln(-).
当x∈(-∞,ln(-))时,f′(x)<
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