最新高中数学第二章空间向量与立体几何23向量的坐标表示和空间向量基本定理教学案北师大版选修2Word文档下载推荐.docx
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(2)标准正交分解:
设i,j,k为标准正交基,对空间任意向量a,存在唯一一组三元有序实数(x,y,z),使得a=xi+yj+zk,叫作a的标准正交分解.
(3)向量的坐标表示:
在a的标准正交分解中三元有序实数(x,y,z)叫作空间向量a的坐标,a=(x,y,z)叫作向量a的坐标表示.
(4)向量坐标与投影:
①i,j,k为标准正交基,a=xi+yj+zk,那么a·
i=x,a·
j=y,a·
k=z.把x,y,z分别称为向量a在x轴、y轴、z轴正方向上的投影.
②向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影.
③一般地,若b0为b的单位向量,则称a·
b0=|a|cos〈a,b〉为向量a在向量b上的投影.
空间向量基本定理
空间中任给三个向量a,b,c.
什么情况下,向量a,b,c可以作为一个基底?
它们不共面时.
若a,b,c是基底,则空间任一向量v都可以由a,b,c表示吗?
可以.
如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量,a是空间任一向量,那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3.
其中e1,e2,e3叫作这个空间的一个基底.
a=λ1e1+λ2e2+λ3e3表示向量a关于基底e1,e2,e3的分解.
空间向量基本定理表明,用空间三个不共面的已知向量a,b,c可以表示出空间任一向量;
空间中的基底是不唯一的,空间任意三个不共面的向量均可作为空间向量的基底.
空间向量的坐标表示
[例1] 如图,在空间直角坐标系中,有长方体ABCD-A′B′C′D′,AB=3,BC=4,AA′=6.
(1)写出C′的坐标,给出关于i,j,k的分解式;
(2)求的坐标.
[思路点拨]
(1)C′的坐标(也是的坐标),即为C′在x轴、y轴、z轴正方向上的投影,即|OD|,|OB||OA′|.
(2)写出关于i,j,k的分解式,即可求得的坐标.
[精解详析]
(1)∵AB=3,BC=4,AA′=6,
∴C′的坐标为(4,3,6).
∴=(4,3,6)=4i+3j+6k.
(2)=-.
∵=+=4i+6k,
∴=-=-++=4i-3j+6k,
∴=(4,-3,6).
[一点通]
1.建立恰当的空间直角坐标系是准确表达空间向量坐标的前提,应充分利用已知图形的特点,寻找三条两两垂直的直线,并分别为x,y,z轴进行建系.
2.若表示向量的坐标,只要写出向量关于i,j,k的标准正交分解式,即可得坐标.
1.在如图所示的空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,B1E1=A1B1,则的坐标为________.
解析:
显然D为原点,设E1(x,y,z),
易知x=1,y=,z=1,
∴=.
答案:
2.已知点A的坐标是(1,2,-1),且向量与向量关于坐标平面xOy对称,向量与向量关于x轴对称,求向量和向量的坐标.
解:
如图,过A点作AM⊥平面xOy于M,则直线AM过点C,且CM=AM,则点C的坐标为(1,2,1),此时=(1,2,1),该向量与=(1,2,-1)关于平面xOy对称.
过A点作AN⊥x轴于N,则直线AN过点B,且BN=AN,则B(1,-2,1),此时=(1,-2,1),该向量与关于x轴对称.
3.在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求,的坐标.
(1)∵=-=-(+)
=-[+(+)]
=---=-4k-2i-j.
∴=(-2,-1,-4).
(2)∵=-=-(+)
=--=2j-4i-4k.
∴=(-4,2,-4).
向量a在b上的投影
[例2] 如图,已知单位正方体ABCD-A′B′C′D′.
(1)求向量在上的投影;
(2)是单位向量,且垂直于平面ADD′A′,求向量在上的投影.
[思路点拨] a在b上的投影为|a|cos〈a,b〉,只要求出|a|及〈a,b〉即可.
[精解详析]
(1)法一:
向量在上的投影为||cos〈,〉,
又正方体棱长为1,
∴|CA′|==,∴||=,
∠DCA′即为与的夹角,在Rt△A′CD中,
cos∠A′CD==,
∴在上的投影为
||cos〈,〉=·
=1.
法二:
在正方体ABCD-A′B′C′D′中,
DC⊥AD,〈,〉=∠DCA′.
∴在上的投影为:
||cos〈,〉=||cos∠DCA′=||=1.
(2)与的夹角为180°
-∠A′CD,
||cos(180°
-∠A′CD)=-||cos∠D′CA=-1.
1.求向量a在向量b上的投影,可先求出|a|,再求出两个向量a与b的夹角,最后计算|a|cos〈a,b〉,即为向量a在向量b上的投影,它可正、可负,也可以为零;
也可以利用几何图形直观转化求解.
2.在确定向量的夹角时要注意向量的方向,如本题中〈,〉与〈,〉是不同的,其和为π.
4.已知i,j,k为标准正交基,a=i+2j+3k,则a在i方向上的投影为( )
A.1 B.-1
C.D.-
a·
i=|a||i|cos〈a,i〉,
∴|a|cos〈a,i〉==(i+2j+3k)·
i=1.
A
5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=AA1=2,则向量在向量上的投影为________.
在上的投影为||cos〈,〉,
而||==2,
在Rt△AD1C1中,cos∠D1AC1==,
∴||cos〈,〉=2.
2
空间向量基本定理及其简单应用
[例3] 如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.
(1)证明A,E,C1,F四点共面;
(2)若=x+y+z,求x+y+z.
[思路点拨] 要证明四点共面只需证明可用,表示即可;
第
(2)问中求x+y+z只需先把用,,表示出来,求出x,y,z,再求x+y+z.
[精解详析]
(1)证明:
=+,
又=+=+=+,
=+=+=+,
∴=,
∴=+,
∴A,E,C1,F四点共面.
(2)∵=-
=+-(+)
=+--
=-AB++,
∴x=-1,y=1,z=.
∴x+y+z=.
1.空间向量基本定理是指用空间三个不共面的已知向量a,b,c构成的向量组{a,b,c}可以线性表示出空间任意一个向量,而且表示的结果是唯一的.
2.利用空间的一个基底a,b,c可以表示出所有向量,注意结合图形,灵活应用三角形法则、平行四边形法则,及向量的数乘运算,表示要彻底,结果只含有a,b,c,不能再有其他向量.
6.O,A,B,C为空间四边形的四个顶点,点M,N分别是边OA,BC的中点,且=a,=b,=c,且a,b,c表示为( )
A.(c+b-a)B.(a+b-c)
C.(a-b+c)D.(a+b+c)
=+=-+(+)=(+-)=(b+c-a).
7.已知e1,e2,e3是空间中不共面的三个向量,且a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3=αa+βb+γc,则α+2β+γ=________.
∵a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3=αa+βb+γc,
∴e1+2e2+3e3=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3,
∴解得
∴α+2β+γ=0.
8.如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,且=a,=b,=c,用a,b,c表示如下向量:
(1);
(2)(G在B1D1上且=).
(1)=-=+-=-a+b+c.
(2)=+,
又==(+)
=(-)=(c-b),
∴=a-b+c.
1.空间任一点P的坐标的确定:
过P作面xOy的垂线,垂足为P′.在平面xOy中,过P′分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A,C,则|x|=|P′C|,|y|=|AP′|,|z|=|PP′|.
2.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底,基底中的三个向量e1,e2,e3都不是0.
3.空间中任一向量可用空间中不共面的三个向量来唯一表示.
4.点A(a,b,c)关于x轴、y轴、z轴对称点的坐标分别为(a,-b,-c),(-a,b,-c),(-a,-b,c);
它关于xOy面、xOz面、yOz面、原点对称点的坐标分别为(a,b,-c),(a,-b,c),(-a,b,c),(-a,-b,-c).
1.在以下三个命题中,真命题的个数是( )
①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面;
②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线;
③若a,b是两个不共线的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则a,b,c构成空间的一个基底.
A.0个 B.1个
C.2个D.3个
③中向量a,b,c共面,故a,b,c不能构成空间向量的一个基底,①②均正确.
C
2.如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,E是平面A′B′C′D′的中心,a=,b=,c=,=xa+yb+zc,则( )
A.x=2,y=1,z=B.x=2,y=,z=
C.x=,y=,z=1D.x=,y=,z=
=+=+(+A′D′―→)=2a+b+c.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,则在上的投影为( )
A.-B.
C.-D.
∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,
∴||=,||=,||=.
∴△AB1C是等边三角形.
∴在上的投影为||cos〈,〉=×
cos60°
=.
B
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是面BB1C1C的中心,且=a,=b,=c,则=( )
A.a+b+cB.a-b+c
C.a+b-cD.-a+b+c
=+=+(+)
=c+(-++)
=c-a+(-c)+b
=-a+b+c.
D
5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=1,CC1=1,则在上的投影是________.
在△ABC1中,
cos∠BAC1
====,
又||=.
∴||cos〈·
〉=×
=-2.
-2
6.在三棱锥O-ABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=________(用a
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