多面体外接球Word文件下载.docx

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1i+'

6

M01=A01，故MO=00i=AOi=a

24i2

iabc

i.［巩固i］P在面ABC上的射影为0,贝y0A=0B=0C=0P=R,SABCabsinC=—s24R

4ahe

-Vp公BCSabcR=i0，故选B；

［巩固2］①④；

2、［巩固］450；

3、［巩固i］i:

2;

312

一2929

［巩固2］B；

4、［巩固］、.2；

5、［巩固］3:

16；

6、［巩固1］,［巩固2］C,

［迁移］设三条弦长分别为x,2x,y,则：

x2+（2x）2+y2=4,用椭圆的参数方程求3x+y的最大值为

270

；

7、［巩固］B；

&

［巩固］C

5

四面体外接球的球心、半径求法

在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：

长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c，则体对角线长为

1=、a2b2c2，几何体的外接球直径2R为体对角线长丨

即R，：

c

【例题】：

在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1,6,3，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：

因为：

长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：

四面体外接球的直径为AE的长

即：

4R2=AB2AC2AD2

2

4R2=1232•.6-16所以R=2

球的表面积为S=4二R2=16二

、出现两个垂直关系，利用直角二角形结论。

直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点

已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，AB_BC且PA=7，

PB=5，PC」51，AC=10,求球0的体积。

AB_BC且PA=7，PB=5，PC=•51，AC=10,

（2

因为7^,51102所以知AC^PA2PC2

所以PA_PC所以可得图形为:

在RtABC中斜边为AC

在RtPAC中斜边为AC

取斜边的中点O，

在RtABC中OA=OB=OC

在RtPAC中OP=OB=OC所以在几何体中OP=OB=OC=OA，即O为该四面体的外接球的球心

RAC=5

所以该外接球的体积为▼/很‘二迹

33

【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解

已知在三棱锥A-BCD中，AD_面ABC，BAC=120，

设球心坐标为O（x,y,z）则AO=BO=CO=D0,由空间两点间距离公式知

x2y2z2=（x_2）2y2z2x2y2z^=Xy2（z_2）2

x2y2z2=（x-1）2-（y-..3）2-z2

解得x=1y一z=1

3

所以半径为R-12（3）212

V33

【结论】：

空间两点间距离公式：

PQ=（xi-x2）2（yi-y2）2（乙-Z2）2

四、四面体是正四面体

外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点,

5.（2012唐山模拟）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）

C.43D.23n

［解析］根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥D-

ABC,其中平面ADC丄平面ABC,AADC为等边三角形.

取AC的中点为E,连

接DE、BE,则有DE丄AC,所以DE丄平面ABC,所以DE丄EB.由图中数据知AE=EC=EB=1,DE=3,AD=〔AE2+DE2=2=DC=DB,AB=BC=2,AC=2.设此三棱锥的外接球的球心为O,则它落在高线DE上，连接OA,则有AO2=AE2+OE2=1+OE2,AO=BO=DE-OE=3-OE,

216

表面积S=4n（3）2=n,故选B.

［答案］B

［2012•广州模拟］一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底

9

面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8

底面周长为3,则这个球的体积为.

答案：

4n

8

正八棱柱的侧棱长h==V3,

6X16

T球心在六棱柱的最长体对角线上，

二球的直径、正棱柱的侧棱、底面正六边形的最长对角线构成直角三角形，

2

V'

■

V球:

X「X1

C

由几何体的三视图知该几何体为一个底面是正方形，有一

条侧棱与底面垂直的四棱锥，由已知数据可求得该几何体外接球的半

径R=•.3,所以S=4nR=12n，故选C・