东城区学年度第一学期期末教学统一检测Word文件下载.docx
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视图的面积为
(A) (B)(C)(D)
(5)在平面直角坐标系内,若曲线:
上所有的点均在第二象限内,则实数的取值范围为
(A)(B)(C)(D)
(6)如图所示,点是函数的图象的最高点,,是该图象与轴的交点,若,则的值为
(A)(B)(C)(D)
(7)对于函数,有如下三个命题:
①是偶函数;
②在区间上是减函数,在区间上是增函数;
③在区间上是增函数.
其中正确命题的序号是
(A)①②(B)①③(C)②③(D)①②③
(8)已知函数的定义域为,值域为,则在平面直角坐标系内,点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为
(A)(B)(C)(D)
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)已知,那么的值为 .
(10)若非零向量,满足,则与的夹角为.
(11)已知函数那么的值为.
(12)在等差数列中,若,,则数列的公差等于;
其前项和的最大值为.
(13)如图,已知椭圆的左顶点为,左焦点为,
上顶点为,若,则该椭圆的离心率是.
(14)已知不等式≤,若对任意且,该不等式恒成立,则实
数的取值范围是.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题共13分)
已知△中,角,,的对边分别为,,,且,.
(Ⅰ)若,求;
(Ⅱ)若,求△的面积.
(16)(本小题共13分)
在等差数列中,,其前项和为,等比数列的各项均为正数,,公比为,且,.
(Ⅰ)求与;
(Ⅱ)证明:
≤.
(17)(本小题共14分)
如图,在四棱锥中,底面为菱形,,为的
中点,.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)点在线段上,,试确定的值,
使平面;
(Ⅲ)若平面,平面平面,
求二面角的大小.
(18)(本小题共13分)
已知函数,其中.
(Ⅰ)求证:
函数在区间上是增函数;
(Ⅱ)若函数在处取得最大值,求的取值范围.
(19)(本小题共13分)
已知椭圆的右焦点为,为椭圆的上顶点,为坐标原点,且△是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在直线交椭圆于,两点,且使点为△的垂心(垂心:
三角形三边高线的交点)?
若存在,求出直线的方程;
若不存在,请说明理由.
(20)(本小题共14分)
已知是由满足下述条件的函数构成的集合:
对任意,①方程有实数根;
②函数的导数满足.
(Ⅰ)判断函数是否是集合中的元素,并说明理由;
(Ⅱ)集合中的元素具有下面的性质:
若的定义域为,则对于任意,都存在,使得等式成立.试用这一性质证明:
方程有且只有一个实数根;
(Ⅲ)对任意,且,求证:
对于定义域中任意的,,,当,且时,.
高三数学参考答案及评分标准(理科)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
(1)B
(2)A(3)D(4)C
(5)D(6)B(7)A(8)C
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
(9)(10)(11)
(12)57(13)(14)≥
注:
两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:
(Ⅰ)由已知,
整理得.………………2分
因为,
所以.
故,解得.……………4分
由,且,得.
由,即,
解得.………………7分
(Ⅱ)因为,又,
所以,解得.………………10分
由此得,故△为直角三角形,,.
其面积.………………13分
(16)(共13分)
(Ⅰ)设的公差为,
因为所以
解得或(舍),.
故,.……………6分
(Ⅱ)因为,
所以.………9分
故
.………11分
因为≥,所以≤,于是≤,
所以≤.
即≤.……………13分
(17)(共14分)
证明:
(Ⅰ)连接.
因为四边形为菱形,,
所以△为正三角形.又为中点,
所以.
因为,为的中点,
又,
所以平面.………………4分
(Ⅱ)当时,∥平面.
下面证明:
连接交于,连接.
因为∥,
所以.
因为∥平面,平面,平面平面,
所以∥.
所以,即.
所以,
所以∥.
又平面,平面,
所以∥平面.…………9分
(Ⅲ)因为,
又平面平面,交线为,
所以平面.
以为坐标原点,分别以所在的直
线为轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
由===2,
则有,,.
设平面的法向量为=,
由,
且,,
可得
令得.
所以=为平面的一个法向量.
取平面的法向量=,
则,
故二面角的大小为60°
.…………14分
(18)(共13分)
(Ⅰ).
因为且,所以.
所以函数在区间上是增函数.…………6分
(Ⅱ)由题意.
则.…………8分
令,即.①
由于,可设方程①的两个根为,,
由①得,
由于所以,不妨设,
.
当时,为极小值,
所以在区间上,在或处取得最大值;
当≥时,由于在区间上是单调递减函数,所以最大值为,
综上,函数只能在或处取得最大值.…………10分
又已知在处取得最大值,所以≥,
即≥,解得≤,又因为,
所以(].………13分
(19)(共13分)
解:
(Ⅰ)由△是等腰直角三角形,得,,
故椭圆方程为. …………5分
(Ⅱ)假设存在直线交椭圆于,两点,且为△的垂心,
设,
因为,,故.…………7分
于是设直线的方程为,
由得.
由,得,且,.……9分
由题意应有,又,
故,
得.
即.
整理得.
解得或.…………12分
经检验,当时,△不存在,故舍去.
当时,所求直线存在,且直线的方程为.
…………13分
(20)(共14分)
(Ⅰ)因为①当时,,
所以方程有实数根0;
②,
所以,满足条件;
由①②,函数是集合中的元素.…………5分
(Ⅱ)假设方程存在两个实数根,,
则,.
不妨设,根据题意存在,
满足.
因为,,且,所以.
与已知矛盾.又有实数根,
所以方程有且只有一个实数根.…………10分
(Ⅲ)当时,结论显然成立;
当,不妨设.
因为,且所以为增函数,那么.
又因为,所以函数为减函数,
所以.
所以,即.
因为,所以,
(1)
又因为,所以,
(2)
(1)
(2)得即.
综上,对于任意符合条件的,总有成立.……14分
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