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考点 等比数列的性质
题点 利用项数的规律解题
解析 ∵a3·
a11=a=16,∴a7=4,∴a5===1.
4.等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a2+a8+a11是一个定值,则下列各数也为定值的是( )
A.S7B.S8C.S13D.S15
考点 等差数列前n项和
题点 等差数列前n项和有关的基本量计算问题
答案 C
解析 ∵a2+a8+a11=(a1+d)+(a1+7d)+(a1+10d)=3a1+18d=3(a1+6d)为常数,
∴a1+6d为常数.
∴S13=13a1+d=13(a1+6d)也为常数.
5.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项的和S11等于( )
A.58B.88C.143D.176
考点 等差数列前n项和性质运用
题点 等差数列前n项和与中间项的关系
解析 S11====88.
6.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为( )
A.81B.120C.168D.192
考点 等比数列前n项和
题点 等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
解析 由a5=a2q3得q=3.
∴a1==3,S4===120.
7.数列{(-1)n·
n}的前2017项的和S2017为( )
A.-2015B.-1009C.2015D.1009
考点 数列前n项和的求法
题点 并项求和法
解析 S2017=-1+2-3+4-5+…+2016-2017
=(-1)+(2-3)+(4-5)+…+(2016-2017)
=(-1)+(-1)×
1008=-1009.
8.若{an}是等比数列,其公比是q,且-a5,a4,a6成等差数列,则q等于( )
A.1或2B.1或-2
C.-1或2D.-1或-2
考点 等差等比数列综合应用
题点 等差等比基本量问题综合
解析 由题意得2a4=a6-a5,
即2a4=a4q2-a4q,而a4≠0,
∴q2-q-2=0,即(q-2)(q+1)=0.
∴q=-1或q=2.
9.一个首项为23,公差为整数的等差数列,从第7项开始为负数,则它的公差是( )
A.-2B.-3C.-4D.-6
解析 由题意,知a6≥0,a7<
0.
∴
∴-≤d<
-.
∵d∈Z,∴d=-4.
10.设{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且S5<
S6,S6=S7>
S8,则下列结论错误的是( )
A.d<
B.a7=0
C.S9>
S5
D.S6与S7均为Sn的最大值
题点 等差数列前n项和有关的不等式问题
解析 由S5<
S6,得a6=S6-S5>
又S6=S7⇒a7=0,所以d<
由S7>
S8⇒a8<
0,
因此,S9-S5=a6+a7+a8+a9
=2(a7+a8)<
即S9<
S5.
11.在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+1,则其通项公式为an等于( )
A.2n-1B.2n-1-1
C.2n-1D.2(n-1)
考点 递推数列通项公式求法
题点 一阶线性递推数列
解析 等式两边加1,an+1+1=2(an+1),所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项,q=2为公比的等比数列,所以an+1=2×
2n-1=2n,所以an=2n-1.
12.某人为了观看2018年世界杯足球赛,从2014年起,每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄,若年利率为p且保持不变,并约定每年到期,存款的本息均自动转为新的一年的定期,到2018年的5月1日将所有存款及利息全部取出,则可取出钱(元)的总数为( )
A.a(1+p)4B.a(1+p)5
C.[(1+p)4-(1+p)]D.[(1+p)5-(1+p)]
考点 等比数列前n项和应用题
题点 等比数列前n项和的应用题
答案 D
解析 设自2015年起每年到5月1日存款本息合计为a1,a2,a3,a4.
则a1=a+a·
p=a(1+p),
a2=a(1+p)(1+p)+a(1+p)=a(1+p)2+a(1+p),
a3=a2(1+p)+a(1+p)=a(1+p)3+a(1+p)2+a(1+p),
a4=a3(1+p)+a(1+p)=a[(1+p)4+(1+p)3+(1+p)2+(1+p)]=a·
=[(1+p)5-(1+p)].
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.在数列{an}中,an+1=can(c为非零常数),且前n项和为Sn=3n+k,则实数k=________.
考点 等比数列前n项和的性质
题点 等比数列前n项和性质综合
答案 -1
解析 当n=1时,a1=S1=3+k,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+k)-(3n-1+k)
=3n-3n-1=2·
3n-1.
由题意知{an}为等比数列,所以a1=3+k=2,
所以k=-1.
14.如果数列{an}的前n项和Sn=2an-1,n∈N*,则此数列的通项公式an=________.
题点 其他递推数列问题
答案 2n-1
解析 当n=1时,S1=2a1-1,
即a1=2a1-1,∴a1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1),
∴an=2an-1,∴{an}是等比数列,
∴an=2n-1,n≥2,n∈N*,经检验n=1也符合.
15.一个直角三角形的三边成等比数列,则较小锐角的正弦值是________.
考点 等比中项
题点 利用等比中项解题
答案
解析 设三边为a,aq,aq2(q>
1),则(aq2)2=(aq)2+a2,∴q2=.较小锐角记为θ,则sinθ==.
16.定义:
如果一个列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个量,那么这个列叫作等差列,这个量叫作等差列的公差.已知向量列{an}是以a1=(1,3)为首项,公差为d=(1,0)的等差向量列,若向量an与非零向量bn=(xn,xn+1)(n∈N*)垂直,则=________.
考点 数列综合问题
题点 数列其他综合问题
解析 易知an=(1,3)+(n-1,0)=(n,3),因为向量an与非零向量bn=(xn,xn+1)(n∈N*)垂直,所以=-,所以=·
·
=×
×
=.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)设{an}是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的公比;
(2)证明:
对任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
题点 等差等比数列其他综合问题
(1)解 设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1),
由a5,a3,a4成等差数列,得2a3=a5+a4,即2a1q2=a1q4+a1q3,由a1≠0,q≠0,得q2+q-2=0,解得q=-2或q=1(舍去),所以q=-2.
(2)证明 方法一 对任意k∈N*,
Sk+2+Sk+1-2Sk
=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk)
=ak+1+ak+2+ak+1
=2ak+1+ak+1·
(-2)=0,
所以对任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
方法二 对任意k∈N*,2Sk=,
Sk+2+Sk+1=+
=,
则2Sk-(Sk+2+Sk+1)
=-
=[2(1-qk)-(2-qk+2-qk+1)]
=(q2+q-2)=0,
因此,对任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
18.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,a3=5,S10=100.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2an+2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
题点 分组求和法
解
(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意,得解得
所以an=2n-1.
(2)因为bn=2an+2n=×
4n+2n,
所以Tn=b1+b2+…+bn
=(4+42+…+4n)+2(1+2+…+n)
=+n2+n=×
4n+n2+n-.
19.(12分)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9.
++…+<
1.
题点 数列与不等式的综合
(1)解 设等差数列{log2(an-1)}的公差为d.
由a1=3,a3=9,
得log2(9-1)=log2(3-1)+2d,则d=1.
所以log2(an-1)=1+(n-1)×
1=n,
即an=2n+1.
(2)证明 因为==,
所以++…+
=+++…+
==1-<
20.(12分)某市2016年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车牌照2万张.为了节能减排和控制汽车总量,从2016年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.
(1)记2016年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an},每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{bn},完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式.
a1=10
a2=9.5
a3=____
a4=____
…
b1=2
b2=____
b3=____
b4=____
(2)从2016年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过200万张?
考点 等差数列前n项和应用题
题点 等差数列前n项和的应用题
解
(1)
a3=9
a4=8.5
b2=3
b3=4.5
b4=6.75
当1≤n≤20且n∈N*时,an=10+(n-1)×
(-0.5)=-0.5n+10.5;
当n≥21且n∈N时,an=0.
所以an=
而a4+b4=15.25>
15,
所以bn=
(2)当n=4时,Sn=a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4=53.25.
当5≤n≤21时,Sn=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+b3+b4+b5+…+bn)
=10n+·
++(n-4)
=-n2+17n-,
由Sn≥200得-n2+17n-≥200,
即n2-68n+843≤0,得34-≤n≤21.
所以结合实际情况,可
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